第6節(jié)(彎曲變形)課件

材料力學(xué)MechanicsofMaterials中南大學(xué)土木建筑學(xué)院力學(xué)系

DepartmentofMechanicsofSchoolofCivilEngineeringandArchitectureofCentralSouthUniversity

.第六章彎曲變形

第一節(jié)概述

一、梁的撓曲軸在外力作用下，受彎后梁的軸線變?yōu)橐粭l連續(xù)光滑的曲線。二、撓度、轉(zhuǎn)角1.撓度、轉(zhuǎn)角·撓度梁橫截面的形心在垂直于軸線方向的位移?！まD(zhuǎn)角梁橫截面繞其中性軸所轉(zhuǎn)的角位移。.2.撓度、轉(zhuǎn)角正負(fù)規(guī)定·撓度正負(fù)規(guī)定撓度與坐標(biāo)軸正向一致取正，反之取負(fù)?！まD(zhuǎn)角正負(fù)規(guī)定轉(zhuǎn)角順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)。.三、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系1.撓度方程2.轉(zhuǎn)角方程3.撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系撓曲線上任一點(diǎn)斜率在小撓度情況下，θ很小撓曲軸是撓度方程的函數(shù)曲線.第二節(jié)梁的撓曲線微分方程

平面彎曲時(shí)梁軸線的曲率由微積分可知，撓曲線任一點(diǎn)曲率梁的撓曲線微分方程.在小撓度條件下?lián)锨€近似微分方程近似微分方程適用于彈性范圍內(nèi)小撓度平面彎曲。梁的撓曲線微分方程.第三節(jié)用積分法求彎曲變形梁的撓曲線近似微分方程梁的轉(zhuǎn)角方程梁的撓度方程積分常數(shù)由支承條件（邊界的轉(zhuǎn)角和撓度已知）和連續(xù)條件（撓曲線連續(xù)光滑）確定。.例：圖所示懸臂梁，自由端承受集中載荷F作用，梁的彎曲剛度為EI。求梁的撓曲軸方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。解：⑴列彎矩方程，建立如圖坐標(biāo)系⑵撓曲線近似微分方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程.⑶確定積分常數(shù)解得：.⑷轉(zhuǎn)角方程撓度方程⑸確定最大撓度和最大轉(zhuǎn)角.例：圖所示簡(jiǎn)支梁，左端支座處受集中力偶M=Fl作用，梁的彎曲剛度為EI。求此梁的撓曲軸方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。解：⑴列彎矩方程，建立如圖坐標(biāo)系⑵撓曲線近似微分方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程.⑶確定積分常數(shù)解得：.⑷轉(zhuǎn)角方程撓度方程⑸確定最大撓度和最大轉(zhuǎn)角.例：簡(jiǎn)支梁AB如圖所示（圖中a>b），承受集中載荷F作用，梁的彎曲剛度為EI。求此梁的撓曲軸方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定撓度的最大值。解：⑴列彎矩方程，建立如圖坐標(biāo)系A(chǔ)C段（0≤

x≤a）CB段（a≤

x≤l）.⑵轉(zhuǎn)角方程撓度方程AC段（0≤

x≤a）CB段（a≤

x≤l）撓曲線近似微分方程彎矩方程.⑶確定積分常數(shù)解得：.撓度方程⑷

AC段（0≤x≤a）CB段（a≤

x≤l）轉(zhuǎn)角方程撓度方程轉(zhuǎn)角方程.⑸確定最大撓度所以轉(zhuǎn)角為零的點(diǎn)在AC段.第四節(jié)用疊加法求彎曲變形

梁材料服從胡克定律下的小變形，幾種載荷共同作用產(chǎn)生的變形等于各載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生變形的代數(shù)和。例：簡(jiǎn)支梁上作用均布載荷q和集中力F，設(shè)彎曲剛度為常數(shù)。試用疊加法求橫截面的撓度。解：.例：懸臂梁在段作用集度為q的均布載荷，設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。試用疊加法求自由端C的撓度和轉(zhuǎn)角。..例：圖示等截面外伸梁，設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。試用疊加法求截面B的轉(zhuǎn)角和端點(diǎn)C的撓度。解：外伸梁可看作由簡(jiǎn)支梁和固定在B處的懸臂梁組成簡(jiǎn)支梁AB的變形，將均布載荷向B處簡(jiǎn)化，得作用在B處的集中力qa和力偶M=qa2/2

.懸臂梁BC的變形，均布載荷引起C有撓度，簡(jiǎn)支梁AB在B處可以轉(zhuǎn)動(dòng)，由于轉(zhuǎn)動(dòng)引起C有撓度.第五節(jié)簡(jiǎn)單靜不定梁

例：圖所示AB梁端固定，B端活動(dòng)鉸，承受均布載荷，梁的彎曲剛度為EI。求A、B處的約束力。解：解除B端約束，用自由端和約束力FBy代替解得：變形協(xié)調(diào)條件.建立靜力平衡方程解得：.解除A端轉(zhuǎn)動(dòng)約束，用固定鉸和約束力MA代替。變形協(xié)調(diào)條件解得：建立靜力平衡方程解得：.例：懸臂梁承受集中載荷F作用，因其剛度不夠用桿CB加固。試計(jì)算梁AB的最大撓度的減少量。設(shè)梁與桿的長(zhǎng)度均為l，梁的彎曲剛度與桿的拉壓剛度分別為EI與EA，且A=3I/l2。解：將加固梁B處的約束解除，用相應(yīng)的約束力FR代替變形協(xié)調(diào)條件.解得：加固梁的最大撓度未加固梁的最大撓度.第六節(jié)提高梁抗彎剛度的措施

一、梁的剛度條件一般軸吊車(chē)梁架空管道滑動(dòng)軸承.例：簡(jiǎn)支梁跨中承受集中載荷F=35kN。已知跨度l=4m，許用應(yīng)力[σ]=160MPa，許用撓度[δ]=l/500，彈性模量E=200GPa，試選擇工字鋼型號(hào)。解：⑴按強(qiáng)度條件選擇工字鋼型號(hào)⑵按剛度條件選擇工字鋼型號(hào)查表選擇No22a工字鋼.二、提高梁彎曲剛度的措施1.選擇合理的截面形狀2.合理選擇材料影響梁剛度的截面幾何性質(zhì)是慣性矩，所以合理截面形狀是截面面積較小而慣性矩大的截面。影響梁剛度的材料性能是彈性模量，所以選擇彈性模量大的材料。3.梁的合理加強(qiáng)梁的位移與梁內(nèi)所有微段的變形均有關(guān)，所