新人教A版必修一不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異課件（22張）

指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)增長(zhǎng)速度的比較當(dāng)a>1時(shí),指數(shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù),并且當(dāng)a越大時(shí),其函數(shù)值的增長(zhǎng)就越快.當(dāng)a>1時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax是增函數(shù),并且當(dāng)a越小時(shí),其函數(shù)值的增長(zhǎng)就越快.當(dāng)x>0,n>1時(shí),冪函數(shù)y=xn顯然也是增函數(shù),并且當(dāng)x>1時(shí),n越大,其函數(shù)值的增長(zhǎng)就越快.【做一做】

四個(gè)函數(shù)在第一象限中的圖像如圖所示,a,b,c,d所表示的函數(shù)可能是(

)解析:根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖像的特點(diǎn),a,c對(duì)應(yīng)的函數(shù)分別是冪指數(shù)大于1和冪指數(shù)大于0小于1的冪函數(shù).b,d對(duì)應(yīng)的函數(shù)分別為底數(shù)大于1和底數(shù)大于0小于1的指數(shù)函數(shù).答案:C思考辨析判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)y=ax(a>1),y=xn(x>0,n>1)和y=logax(a>1)都是增函數(shù),且它們的增長(zhǎng)速度是一樣的.(

)(2)函數(shù)y=2x與函數(shù)y=x3的圖像有且只有兩個(gè)交點(diǎn).(

)(3)指數(shù)函數(shù)一定比對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的快.(

)答案:(1)×

(2)√

(3)×探究一探究二探究三函數(shù)增長(zhǎng)快慢的比較【例1】

已知函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖像如圖,設(shè)兩個(gè)函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1<x2.(1)請(qǐng)指出圖中曲線C1,C2分別對(duì)應(yīng)哪一個(gè)函數(shù);(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并說(shuō)明理由.分析:(1)由指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)不同的增長(zhǎng)速度可判斷曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù);(2)通過(guò)計(jì)算比較函數(shù)值的大小關(guān)系,求出a,b的值.探究一探究二探究三解:(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度知:C1對(duì)應(yīng)函數(shù)g(x)=x3,C2對(duì)應(yīng)函數(shù)f(x)=2x.(2)依題意知x1和x2是使兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相等的自變量x的值.當(dāng)x<x1時(shí),2x>x3,即f(x)>g(x);當(dāng)x1<x<x2時(shí),f(x)<g(x);當(dāng)x>x2時(shí),f(x)>g(x).因?yàn)閒(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,所以x1∈[1,2],即a=1.又因?yàn)閒(8)=28=256,g(8)=83=512,f(8)<g(8),f(9)=29=512,g(9)=93=729,f(9)<g(9),f(10)=210=1

024,g(10)=103=1

000,f(10)>g(10),所以x2∈[9,10],即b=9.綜上可知,a=1,b=9.探究一探究二探究三比較函數(shù)增長(zhǎng)快慢的方法:(1)利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的不同的增長(zhǎng)特點(diǎn)比較函數(shù)增長(zhǎng)的快慢;(2)借助函數(shù)圖像,通過(guò)圖像特點(diǎn)以及變化趨勢(shì)來(lái)比較函數(shù)的增長(zhǎng)快慢;(3)通過(guò)計(jì)算相同區(qū)間上函數(shù)值的增量的大小來(lái)比較函數(shù)增長(zhǎng)的快慢.探究一探究二探究三變式訓(xùn)練1(1)下列所給函數(shù),增長(zhǎng)最快的是

(

)A.y=5x B.y=x5C.y=log5x D.y=5x(2)以下是三個(gè)函數(shù)y1,y2,y3隨x變化的函數(shù)值列表:其中關(guān)于x成指數(shù)函數(shù)變化的函數(shù)是

.

解析:(1)在一次函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)中,增長(zhǎng)最快的是指數(shù)函數(shù)y=5x,故選D.(2)指數(shù)函數(shù)中的增長(zhǎng)量是成倍增加的,函數(shù)y1中增長(zhǎng)量分別為6,18,54,162,486,1

458,4

374,…,是成倍增加的,因而y1呈指數(shù)變化.答案:(1)D

(2)y1探究一探究二探究三根據(jù)函數(shù)的不同增長(zhǎng)特點(diǎn)比較大小【例2】比較下列各組數(shù)的大小:分析:先觀察各組數(shù)值的特點(diǎn),再考慮構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用函數(shù)的性質(zhì)或圖像進(jìn)行求解.探究一探究二探究三(2)令函數(shù)y1=x2,y2=log2x,y3=2x.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出上述三個(gè)函數(shù)的圖像如圖,然后作直線x=0.3,此直線必與上述三個(gè)函數(shù)圖像相交.由圖像知log20.3<0.32<20.3.探究一探究二探究三探究一探究二探究三1.比較函數(shù)值大小的關(guān)鍵在于構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),若指數(shù)相同而底數(shù)不同,則考慮冪函數(shù);若指數(shù)不同而底數(shù)相同,則考慮指數(shù)函數(shù);若底數(shù)不同,指數(shù)也不同,則需引入中間量.2.將函數(shù)值涉及的函數(shù)的圖像在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出來(lái),通過(guò)圖像位置之間的關(guān)系比較大小.探究一探究二探究三A.a<b<c B.a<c<bC.b<c<a D.b<a<c解析:由已知結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)圖像和指數(shù)函數(shù)圖像得到a<0,0<c<1,而b=log23>1,因此選B.答案:B探究一探究二探究三函數(shù)不同增長(zhǎng)特點(diǎn)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【例3】

某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo),準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案:在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí),按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),且獎(jiǎng)金y(單位:萬(wàn)元)隨銷售利潤(rùn)x(單位:萬(wàn)元)的增加而增加,但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元,同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個(gè)模型符合該公司要求?探究一探究二探究三解:借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x在第一象限的圖像如圖所示:觀察圖像發(fā)現(xiàn),在區(qū)間[10,1

000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的圖像都有一部分在y=5的上方,這說(shuō)明只有按模型y=log7x+1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)才符合公司要求,下面通過(guò)計(jì)算確認(rèn)上述判斷.探究一探究二探究三首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元.對(duì)于模型y=0.25x,它在區(qū)間[10,1

000]上是單調(diào)遞增的,當(dāng)x∈(20,1

000]時(shí),y>5,因此該模型不符合要求.對(duì)于模型y=1.002x,利用計(jì)算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x在(-∞,+∞)上是增函數(shù),故當(dāng)x∈(806,1

000]時(shí),y>5,因此,也不符合要求.對(duì)于模型y=log7x+1,它在區(qū)間[10,1

000]上是增加的,且當(dāng)x=1

000時(shí),y=log71

000+1≈4.55<5,所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元的要求.探究一探究二探究三再計(jì)算按模型y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí),獎(jiǎng)金是否超過(guò)利潤(rùn)x的25%,即當(dāng)x∈[10,1

000]時(shí),利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作f(x)=log7x+1-0.25x的圖像(圖略),由圖像可知f(x)在[10,1

000]上是減少的,因此f(x)<f(10)≈-0.316

7<0,即log7x+1<0.25x.所以當(dāng)x∈[10,1

000]時(shí),y<0.25x.這說(shuō)明,按模型y=log7x+1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%.綜上所述,模型y=log7x+1符合公司要求.探究一探究二探究三1.在實(shí)際問(wèn)題中,選擇函數(shù)模型時(shí),首先要明確各種不同函數(shù)在增長(zhǎng)快慢上的差異,其次要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際需要,輔之以必要的數(shù)據(jù)計(jì)算,從而選擇最恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.2.從這個(gè)例題可以看到,底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)模型比一次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù)模型增長(zhǎng)速度要快得多,而后者又比真數(shù)大于1的對(duì)數(shù)函數(shù)模型增長(zhǎng)速度要快,從而我們可以體會(huì)到對(duì)數(shù)增長(zhǎng)、直線上升、指數(shù)爆炸等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義.探究一探究二探究三變式訓(xùn)練3某同學(xué)高三階段12次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)呈現(xiàn)前幾次與后幾次均連續(xù)上升,中間幾次連續(xù)下降的趨勢(shì).現(xiàn)有三種函數(shù)模型:①f(x)=pqx,②f(x)=logax+q,③f(x)=(x-1)(x-q)2+p(其中p,q為正常數(shù),且q>2).若要較準(zhǔn)確反映數(shù)學(xué)成績(jī)與考試次序關(guān)系,應(yīng)選

作為模擬函數(shù);若f(1)=4,f(3)=6,則所選函數(shù)f(x)的解析式為

.

解析:由于指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)迅速,而對(duì)數(shù)型函數(shù)增長(zhǎng)緩慢,因此滿足先上升后下降再上升的是f(x)=(x-1)·(x-q)2+p,當(dāng)x=1時(shí),y=4且x=3時(shí),y=6,答案:③

f(x)=(x-1)(x-4)2+41234561.當(dāng)x越來(lái)越大時(shí),下列函數(shù)中,增長(zhǎng)速度最快的應(yīng)該是

(

)A.y=100x B.y=log100xC.y=x100 D.y=100x解析:由于指數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)是爆炸式增長(zhǎng),則當(dāng)x越來(lái)越大時(shí),函數(shù)y=100x的增長(zhǎng)速度最快.答案:D123456A.f(x)的增減速度越來(lái)越慢,g(x)的增減速度越來(lái)越快B.f(x)的增減速度越來(lái)越快,g(x)的增減速度越來(lái)越慢C.f(x)的增減速度越來(lái)越慢,g(x)的增減速度越來(lái)越慢D.f(x)的增減速度越來(lái)越快,g(