全套更高更妙的物理競(jìng)賽課件：曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解

曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解1曲線運(yùn)動(dòng)與力曲線運(yùn)動(dòng)發(fā)生的條件合外力方向與速度方向不在一直線ΣFvΣFnΣFt切向力改變速度大小法向力改變速度方向求解曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方法做好兩項(xiàng)分析物體運(yùn)動(dòng)情況分析物體受力情況分析正交分解法曲線運(yùn)動(dòng)與力曲線運(yùn)動(dòng)發(fā)生的條件合外力方向與速度方向不2XY

如圖所示，滑塊A質(zhì)量為M，因繩子的牽引而沿水平導(dǎo)軌滑動(dòng)，繩子的另一端纏在半徑為r的鼓輪O上，鼓輪以等角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)．不計(jì)導(dǎo)軌摩擦，求繩子的拉力FT與距離x之間的關(guān)系．

專題10-例1解:BxArωO分析滑塊A受力：

AMgFNFTvvtvn重力Mg、導(dǎo)軌支持力FN，繩子拉力FT

分析滑塊A運(yùn)動(dòng)：

A沿導(dǎo)軌的運(yùn)動(dòng)可視做沿繩向繩與輪切點(diǎn)B的平動(dòng)及以切點(diǎn)B為中心的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成由牛頓第二定律:

A實(shí)際運(yùn)動(dòng)沿水平

由幾何關(guān)系

XY3BAω

如圖所示，套管A質(zhì)量為M，因受繩子牽引沿豎直桿向上滑動(dòng)．繩子另一端繞過(guò)離桿距離為L(zhǎng)的滑輪B而纏在鼓輪上．當(dāng)鼓輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其邊緣上各點(diǎn)的速度大小為v0．求繩子拉力和距離x之間的關(guān)系．XY小試身手題2解:分析滑塊A受力：

MgFNFT重力Mg、繩子拉力FT、導(dǎo)軌支持力FN分析滑塊A運(yùn)動(dòng)：

vAv0vt滑塊沿導(dǎo)軌向上的運(yùn)動(dòng)速度vA可視作沿繩向滑輪B的法向速度v0及以B為中心轉(zhuǎn)動(dòng)的切向速度vt的合成！

xL由牛頓第二定律:

A實(shí)際運(yùn)動(dòng)沿豎直，在水平方向滿足

BAω如圖所示，套管A質(zhì)量為M，因受4

如圖所示，長(zhǎng)度為l的不可伸長(zhǎng)的線系在豎直軸的頂端，在線的下端懸掛質(zhì)量為m的一重物．再在這重物上系同樣長(zhǎng)度的另一根線，線的下端懸掛質(zhì)量也為m的另一個(gè)重物．軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)．試證明第一根線與豎直線所成角度小于第二根線與豎直線所成角度．小試身手題1解:ωmgmg設(shè)第一根線上拉力為FT1，第二根線上拉力為FT2FT2FT1在豎直方向在水平方向如圖所示，長(zhǎng)度為l的不可伸長(zhǎng)的線系在5

如圖所示，小物塊質(zhì)量為m，在半徑為r的圓柱面上沿螺旋線形的滑槽滑動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的切向加速度大小為at=gsinα，式中α為螺旋線的切線與水平面的夾角，求：由于小物塊沿槽滑下而使圓柱面繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩大?。?/p>

小試身手題4解:rABCD小物塊切向加速度的水平分量為

：

gsinα產(chǎn)生這個(gè)加速度的切向水平力大小：

此力反作用力為圓柱面所受沿柱面且方向水平之力，其對(duì)軸產(chǎn)生的力矩即為使柱面繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩：如圖所示，小物塊質(zhì)量為m，在半徑為r6vv解:

如圖所示，質(zhì)量為m，半徑為r的圓木擱在兩個(gè)高度相同的支架上，右支架固定不動(dòng)，而左支架以速度v從圓木下面向外滑．求當(dāng)兩個(gè)支點(diǎn)距離時(shí)，圓木對(duì)固定支架的壓力FN．（兩支架開(kāi)始彼此靠得很近，圓木與支架之間的摩擦不計(jì)）小試身手題8BrOAr由幾何關(guān)系知分析圓木受力mgFNAFNB重力mg、支架A、B支持力FNA、

FNB

分析圓木運(yùn)動(dòng)：

圓木質(zhì)心O繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)v圓木與B接觸,故接觸點(diǎn)具有相同的法向速度O對(duì)A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度

圓木的運(yùn)動(dòng)方程vOFN否則圓木已與固定支架脫離

vv解:如圖所示，質(zhì)量為m，半徑為r的圓7

如圖所示，用手握著一繩端在水平桌面上做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O，繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量可以忽略，繩的另一端系著一個(gè)質(zhì)量為m的小球，恰好也沿著一個(gè)以O(shè)點(diǎn)為圓心的大圓在桌面上運(yùn)動(dòng)，小球和桌面之間有摩擦，求：⑴手對(duì)細(xì)繩做功的功率P；⑵小球與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ．

小試身手題10解:VrLf小球圓運(yùn)動(dòng)的半徑設(shè)為RR分析小球受力T繩拉力T；桌面摩擦力f

∵小球圓周運(yùn)動(dòng)，在法向有手拉端速度ω∵小球勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在切向有如圖所示，用手握著一繩端在水平桌8

有兩個(gè)相同的單擺，把一個(gè)拴在另一個(gè)的下面，使它們各在一個(gè)水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩條擺線(長(zhǎng)Ｌ)與豎直線所成的夾角都很小．已知在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩條擺線一直保持在同一平面內(nèi)，求此平面轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，以及兩質(zhì)點(diǎn)軌道半徑之比．小試身手題11解:兩線兩球在豎直面內(nèi)的態(tài)勢(shì)可以有左、右圖示兩種可能RmgF1F2F1mgF2R分析各球受力及運(yùn)動(dòng)軌跡

rrmgmg在α、β小角度的條件下

等號(hào)兩邊相除得

由幾何關(guān)系得

有兩個(gè)相同的單擺，把一個(gè)拴在另一個(gè)的9盤點(diǎn)豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律W=0非水平直徑以上各點(diǎn)的臨界速度⑴在水平直徑以上各點(diǎn)彈力方向是指向圓心的情況，例如系在繩端的小球，過(guò)山車……線繩vmgFT當(dāng)FT

=0時(shí)，v

臨界=

v軌道m(xù)gFN在水平直徑以上各點(diǎn)不脫離軌道因而可做完整的圓運(yùn)動(dòng)的條件是：⑵在水平直徑以上各點(diǎn)彈力方向是背離圓心的情況，例如車過(guò)拱形橋……軌道vmgFN當(dāng)FN

=0時(shí)，v

臨界=

在水平直徑以上各點(diǎn)不脫離軌道的條件是：盤點(diǎn)豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律W=010機(jī)械能守恒最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的彈力差能到達(dá)最高點(diǎn)的最低點(diǎn)速度恰能到達(dá)最高點(diǎn)，最低點(diǎn)加速度v上mgFN上v下

mgFN下機(jī)械能守恒最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的彈力差能到達(dá)最高點(diǎn)的最低點(diǎn)速度恰能11豎直面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)mgFNFfvmgFNvFf豎直面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)mgFNFfvmgFNvFf12

如圖所示，一長(zhǎng)為a的細(xì)線系著一小球懸掛在O點(diǎn)靜止不動(dòng)．若使小球獲得一個(gè)水平初速度，略去空氣阻力，證明：小球的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過(guò)懸點(diǎn)O．專題10-例2解:小球運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)通過(guò)懸點(diǎn)O，是因?yàn)榫€繩在水平直徑上方與水平成某一角度α?xí)r，繩恰不再?gòu)埦o，小球開(kāi)始脫離圓軌道而做斜上拋運(yùn)動(dòng)Ovv0yx0繩上張力為零時(shí)小球達(dá)臨界速度該過(guò)程機(jī)械能守恒:圖示h小球做斜上拋運(yùn)動(dòng)設(shè)當(dāng)y方向位移為-h時(shí)歷時(shí)t,有續(xù)解

13這段時(shí)間內(nèi)小球完成的水平位移為查閱Oyx0說(shuō)明小球做斜拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，通過(guò)了坐標(biāo)為

的懸點(diǎn)O!這段時(shí)間內(nèi)小球完成的水平位移為查閱Oyx0說(shuō)明小球14

圖中，A是一帶有豎直立柱的木塊，總質(zhì)量為M，位于水平地面上．B是一質(zhì)量為m的小球，通過(guò)一不可伸長(zhǎng)的輕繩掛于立柱的頂端．現(xiàn)拉動(dòng)小球，使繩伸直并處于水平位置.然后讓小球從靜止?fàn)顟B(tài)下擺．如在小球與立柱發(fā)生碰撞前，木塊A始終未發(fā)生移動(dòng)，則木塊與地面之間的靜摩擦因數(shù)至少為多大？

專題10-例3解:BAmgv分析小球B下擺時(shí)受力：

L小球動(dòng)力學(xué)方程

小球機(jī)械能守恒

分析木塊A受力：

AMgFN木塊靜止須滿足

由基本不等式性質(zhì)：

FT

15

如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量均勻的大球殼，正好靜止在桌邊上，球殼與桌子無(wú)摩擦，對(duì)球殼輕輕一推，使其滾下桌子，計(jì)算球殼不再接觸到桌子的瞬間，球殼中心的速率．專題10-例4解:mgFNCO球殼靜止時(shí)，與桌邊接觸的一點(diǎn)O為其支點(diǎn)，球殼二力平衡!輕推球殼，即給球殼一微擾，球殼的質(zhì)心C將以支點(diǎn)O為軸，以球半徑R為半徑在豎直面內(nèi)從初速度為零開(kāi)始做圓周運(yùn)動(dòng)，其間重力勢(shì)能減少，動(dòng)能增加；當(dāng)球殼質(zhì)心做圓運(yùn)動(dòng)所需向心力僅由重力來(lái)提供時(shí)，球與桌支持點(diǎn)間無(wú)擠壓，即開(kāi)始脫離桌子．設(shè)球殼“不再接觸桌子的瞬時(shí)”球心速度為vmgv球殼動(dòng)力學(xué)方程球殼機(jī)械能守恒

EC質(zhì)心對(duì)O的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能球殼對(duì)質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能例5

16xy用微元法計(jì)算球殼對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能ECωC將球殼面分割成寬的一條條極細(xì)的環(huán)帶第i條環(huán)帶的質(zhì)量第i條環(huán)帶的速率整個(gè)球殼對(duì)過(guò)C而垂直于豎直面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為返回xy用微元法計(jì)算球殼對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能ECωC將球殼面分割成寬17

筑路工人為了提高工作效率，把從山上挖出來(lái)的土石，盛在一個(gè)籮筐里，沿一條鋼索道滑至山下．如索道形狀為的拋物線，且籮筐及它所盛的土石可以看作質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，求籮筐自x=2a處自由滑至拋物線頂點(diǎn)時(shí)的速度，并求此時(shí)籮筐對(duì)鋼索的壓力.專題10-例5解:在以豎直向上方向?yàn)閥軸正方向建立的坐標(biāo)系中，鋼索呈頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、開(kāi)口向上的拋物線．0yxa2avvg由質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能守恒

質(zhì)點(diǎn)在拋物線頂點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程FNmg其中拋物線頂點(diǎn)的曲率半徑由

18

如圖所示，一輕繩跨越一固定水平光滑細(xì)桿，其兩端各系一小球，球a置于地面，球b從水平位置由靜止向下擺動(dòng)，設(shè)兩球質(zhì)量相同．求a球恰要離開(kāi)地面時(shí)跨越細(xì)桿的兩繩之間的夾角．小試身手題5解:balL設(shè)a球恰要離地時(shí)兩繩夾角為θ，此時(shí)a球與地面無(wú)擠壓,繩上張力恰與a球重力相等

mgmgFTFTb球機(jī)械能守恒

b球動(dòng)力學(xué)方程如圖所示，一輕繩跨越一固定水平光19

如圖所示，長(zhǎng)為l的輕桿上端有一個(gè)質(zhì)量為m的小重物，桿用鉸鏈固接在A點(diǎn)，并處于豎直位置，同時(shí)與質(zhì)量為M的物體互相接觸．由于微小擾動(dòng)使系統(tǒng)發(fā)生運(yùn)動(dòng)．試問(wèn)質(zhì)量之比M/m為多少情況下，桿在脫離物體時(shí)刻與水平面成角α＝π/6，這時(shí)物體的速度u為多少？小試身手題6解:MmlA小重物與物體恰要脫離時(shí)兩者接觸而無(wú)擠壓,

故物體的加速度為零!小重物只受重力，小重物與物體水平速度相同

mgvu過(guò)程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒小重物動(dòng)力學(xué)方程如圖所示，長(zhǎng)為l的輕桿上端有一個(gè)20

如圖所示，質(zhì)量均為m的兩個(gè)小球固定在長(zhǎng)度為l的輕桿兩端，直立在相互垂直的光滑墻壁和地板交界處．突然發(fā)生微小的擾動(dòng)使桿無(wú)初速倒下，求當(dāng)桿與豎直方向成角α?xí)r，A球?qū)Φ淖饔昧Γ≡嚿硎诸}7解:BA模型回放當(dāng)A球?qū)ηo(wú)作用力時(shí)，桿與豎直所成臨界角為φ當(dāng)桿與墻夾角α≥φ時(shí)A球?qū)o(wú)作用力當(dāng)桿與墻夾角α＜φ時(shí)mgvFN過(guò)程中B球機(jī)械能守恒此時(shí)B球動(dòng)力學(xué)方程A球?qū)Φ淖饔昧︻}14如圖所示，質(zhì)量均為m的兩個(gè)小球固21R一質(zhì)點(diǎn)在光滑的固定半球面上距球心高度為H的任意點(diǎn)P，在重力作用下由靜止開(kāi)始往下滑，從Q點(diǎn)離開(kāi)球面，求PQ兩點(diǎn)的高度差h.

設(shè)球半徑為RPQHmgv由機(jī)械能守恒:Q點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程為:由幾何關(guān)系:若質(zhì)點(diǎn)從球頂部無(wú)初速滑下，則可沿球面滑下R/3的高度，釋放高度H越小，沿球面滑下的高度越短．這是一個(gè)有趣又有用的模型．

返回R一質(zhì)點(diǎn)在光滑的固定半球面上距球心高度為H的任意點(diǎn)P22xOmyR

質(zhì)量為M、半徑為R的光滑勻質(zhì)半球，靜止在光滑水平面上，在球頂有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，由靜止沿球面下滑，求m離開(kāi)M以前的軌跡方程和m繞球心O的角速度．小試身手題14解:先確定m沿球面下滑的軌跡：xMM在圖示坐標(biāo)系中，沿x

方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒

則m的坐標(biāo)xy消去參數(shù)θ即得m在M上運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡方程設(shè)對(duì)應(yīng)于θ角,m繞球心O的角速度為ω,M速度為VM則m的速度由x

方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒

續(xù)解xOmyR質(zhì)量為M、半徑為R的光23由系統(tǒng)機(jī)械能守恒查閱由系統(tǒng)機(jī)械能守恒查閱24ωml轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中的慣性力慣性離心力相對(duì)做勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的非慣性參考系靜止的物體小球受繩拉力而勻速轉(zhuǎn)動(dòng)小球受繩拉力而靜止?

在相對(duì)于慣性參考系具有向心加速度的參考系中所引入的使牛頓定律仍能適用的力就是慣性離心力!牛頓運(yùn)動(dòng)定律仍可適用科里奧利力相對(duì)做勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的非慣性參考系運(yùn)動(dòng)的物體AOurFfFNFk科里奧利力是轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中引入的假想的慣性力，其大小等于引起科里奧利加速度的真實(shí)力，方向相反．物體在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上沿任何方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，都將受到一個(gè)與運(yùn)動(dòng)方向垂直的科里奧利力:ωml轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中的慣性力慣性離心力相對(duì)做勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的非慣25

如圖所示，在以角速度ω繞中心軸O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的太空實(shí)驗(yàn)室里，一長(zhǎng)為l的細(xì)線，一端固定在中心軸O，另一端系一質(zhì)量為m的小球，小球相對(duì)實(shí)驗(yàn)室以速度v勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)方向與ω相反，求細(xì)線上的拉力FT

的大?。畬ｎ}10-例6解:Oωl

取太空實(shí)驗(yàn)室為參考系,小球受線繩拉力FT和慣性離心力Fi和科里奧利力Fk小球?qū)μ諏?shí)驗(yàn)室的轉(zhuǎn)動(dòng)速度為vFTFiFk由牛頓第二定律其中

26

如圖所示，一對(duì)繞固定水平軸O和O'同步轉(zhuǎn)動(dòng)的凸輪，使傳送裝置的水平平板發(fā)生運(yùn)動(dòng)．問(wèn)凸輪以多大角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，放在平板上的零件開(kāi)始移動(dòng)？當(dāng)凸輪按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)情況下，零件將往什么方向移動(dòng)？零件與平板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．凸輪半徑為r．小試身手題9解:O以具有加速度的板為參考系，零件處于平衡!分析零件受力：重力mg板約束力（摩擦力與支持力合力）及慣性力mrω2當(dāng)靜摩擦力達(dá)最大時(shí)，板約束力方向與豎直成摩擦角φ=tan-1μ，三力應(yīng)構(gòu)成閉合三角形如示！mgmrω2rtan-1μ零件開(kāi)始滑動(dòng)ω的臨界值

續(xù)解如圖所示，一對(duì)繞固定水平軸O和O27abcd讀題tan-1μmrω2r若凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)、角速度大于mgtan-1μ矢量端點(diǎn)從a到b時(shí)，重力,約束力與慣性力不可能構(gòu)成閉合三角形,且約束力水平分量向右!以大虛線圓矢徑表示大于的慣性力，所受慣性力方向變化如示:

零件向右滑矢量端點(diǎn)從c到d時(shí)，重力,約束力與慣性力也不可能構(gòu)成閉合三角形,且約束力水平分量向左!零件向左滑abcd讀題tan-1μmrω2r若凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)、角速度大28

輪船以等速率v沿赤道向東航行，試計(jì)算由此使船上物體重量產(chǎn)生的相對(duì)誤差，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω．小試身手題15解:

設(shè)地球半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為ω，赤道上重力加速度為g對(duì)地球參考系，船靜止在赤道上時(shí)貨物重即支持面支持力

科里奧利力當(dāng)船以速率v沿赤道向東航行時(shí)，貨物受：地心引力F引地面支持力F支慣性離心力Fi=mRω2對(duì)地球參考系，船以v沿赤道圓做勻速圓運(yùn)動(dòng)，有相對(duì)誤差為輪船以等速率v沿赤道向東航行29

半徑為R＝0.5m的空心球繞本身的豎直直徑旋轉(zhuǎn)，如圖所示，角速度為ω＝5rad/s．在空心球內(nèi)高度為R/2處有一小木塊同球一起旋轉(zhuǎn)，g取10m/s2．⒈實(shí)現(xiàn)這一情況所需的最小摩擦系數(shù)為多少？⒉求ω＝8rad/s時(shí)實(shí)現(xiàn)這一情況的條件．小試身手題16解:ω⒈以球?yàn)閰⒖枷担∧緣K靜止mgFiF分析小木塊受力情況重力mg導(dǎo)軌約束力F慣性離心力Fi

其中R代入數(shù)據(jù)解得⒉若角速度增大，F(xiàn)i增大Fi0當(dāng)Fi=Fi時(shí),摩擦力為零FN此時(shí)角速度FiωF將ω=8rad/s代入

半徑為R＝0.5m的空心球30O

如圖所示，橡皮圈掛在釘子上，這時(shí)它的長(zhǎng)度為2h．然后使橡皮圈在水平面上旋轉(zhuǎn)起來(lái)，到轉(zhuǎn)動(dòng)角速度達(dá)到ω時(shí)，它的長(zhǎng)度也為2h．求橡皮圈轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度．小試身手題3解:Rωh橡皮圈豎直懸掛時(shí)，橡皮圈的張力從上到下線性變化!TA最上端的張力最下端的張力平均張力水平面上橡皮圈水平旋轉(zhuǎn)時(shí)，在圈上取一微元B

B兩種情況下橡皮圈形變量相同

O如圖所示，橡皮圈掛在釘子上，這31

如圖所示，一個(gè)半徑為r＝10cm的小環(huán)，從高度h＝20cm處掉到桌上，此小圓環(huán)在空氣中繞其中心軸旋轉(zhuǎn)，軸在豎直方向，角速度ω0＝21rad/s．圓環(huán)與桌面的碰撞為非彈性的，且碰撞時(shí)間很短．小環(huán)與桌面間摩擦系數(shù)為μ＝0.3，求小環(huán)停止時(shí)所轉(zhuǎn)的圈數(shù)．小試身手題11解:ω0小環(huán)剛著地時(shí)豎直速度為繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)線速度為

落在桌面后，由于桌面彈力及摩擦力作用,先在極短時(shí)間Δt內(nèi)使豎直速度變?yōu)榱?同時(shí)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度減為ω,而后變?yōu)棣蘭g的摩擦力,使轉(zhuǎn)動(dòng)速度亦減為零!在碰撞短瞬由動(dòng)量定理設(shè)此后小環(huán)轉(zhuǎn)n圈停止，由動(dòng)能定理

如圖所示，一個(gè)半徑為r＝10c32

如圖所示，半徑為R的