河南省開封市五校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第19頁/共20頁開封五校2022~2023學(xué)年下學(xué)期期末聯(lián)考高一數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.4.本卷主要考查內(nèi)容：必修第二冊.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，且，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得到、，即可得解.【詳解】，，又，所以，則，.故選：D.2.在連續(xù)六次數(shù)學(xué)考試中，甲?乙兩名同學(xué)的考試成績情況如圖，則（）A.甲同學(xué)最高分與最低分的差距低于30分B.乙同學(xué)的成績一直在上升C.乙同學(xué)六次考試成績的平均分高于120分D.甲同學(xué)六次考試成績的方差低于乙同學(xué)【答案】C【解析】【分析】利用直接觀察圖表的方式，結(jié)合極差、平均數(shù)、方差的定義，可得答案.【詳解】對于A，由圖可知，甲同學(xué)的最高分大約為，最低分大約為，其差值大約為，則其差值不能確定是否低于，故A錯誤；對于B，由圖可知，乙同學(xué)在第次的考試成績是一直下降的，故B錯誤；對于C，由圖可知，乙同學(xué)在次考試中有成績在分以上，且其中有次在130分以上，另兩次成績，次約為分，次約為110分，所以乙同學(xué)這六次考試成績的平均分高于120分，故C正確；對于D，由于甲同學(xué)成績波動較大，則甲同學(xué)六次成績方差大，故D錯誤.故選：C.3.已知向量，則向量與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算求解向量與夾角的余弦值即可.【詳解】因為，所以，，所以.故選：B.4.盲盒，是指消費者不能提前得知具體產(chǎn)品款式玩具盒子，已知某盲盒產(chǎn)品共有2種玩偶.假設(shè)每種玩偶出現(xiàn)的概率相等，小明購買了這種盲盒3個，則他集齊2種玩偶的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】列舉出所有可能的情況，查出能集齊2種的情況有6種，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.【詳解】假設(shè)2種玩偶分別為，則買3個盲盒，出現(xiàn)的玩偶為，，，，，，，共八種，其中集齊2種的情況有6種，所以集齊2種的概率為，故選：A.5.在中，內(nèi)角的對邊分別為.已知，則此三角形（）A.無解 B.有一解C.有兩解 D.解的個數(shù)不確定【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理解出再根據(jù)，得到，可得角有兩個解.【詳解】由正弦定理，得，解得.因為，所以.又因為，所以或，故此三角形有兩解.故選：C.6.如圖，在正方體中，為棱的靠近上的三等分點.設(shè)與平面的交點為，則（）A.三點共線，且B.三點共線，且C.三點不共線，且D.三點不共線，且【答案】B【解析】【分析】連接，利用公理2可直接證得，并且由三角形相似得比例關(guān)系，從而求出結(jié)果.【詳解】連接連接，，直線平面平面.又平面，平面平面直線∴三點共線..故選：B.7.如圖，AB是底部不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點，某同學(xué)選擇地面CD作為水平基線，使得C，D，B在同一直線上，在C，D兩點用測角儀器測得A點的仰角分別是45°和75°，，則建筑物AB的高度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求出，再在直角三角形中求解即可.【詳解】在中，根據(jù)正弦定理可得，在中，，故選：A8.已知，是不共線的兩個向量，，，若，，則的最小值為A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】由可推得，.令，根據(jù)函數(shù)的最大值，即可得出，進(jìn)而得出答案.【詳解】由可得，，即.因為，，所以，所以，.令，因為，，所以.又對，恒成立，所以，所以.故選：B.二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.一組數(shù)據(jù)3，6，8，a，5，9的平均數(shù)為6，則對此組數(shù)據(jù)下列說法正確的是（）A.極差為6 B.中位數(shù)為5C.眾數(shù)為5 D.方差為4【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義求出的值，根據(jù)數(shù)字特征的定義即可判斷或計算各選項.【詳解】，得極差，故正確；數(shù)據(jù)從小到大進(jìn)行排序：，故中位數(shù)，故錯誤；眾數(shù)為5，故正確；，故正確.故選：10.已知，是兩個不重合的平面，，是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是A.若，，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則與所成的角和與所成的角相等【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)線面、面面關(guān)系的性質(zhì)定理與判定定理判斷即可；【詳解】解：對于A．若，，，則或與平行或，與相交不垂直，故A錯誤；對于B：，設(shè)過的平面與交于，則，又，，，B正確；對于C：，內(nèi)的所有直線都與平行，且，，C正確；對于D：根據(jù)線面角的定義，可得若，，則與所成的角和與所成的角相等，故D正確．故選：BCD．11.不透明的口袋內(nèi)裝有紅色?綠色和藍(lán)色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件有（）A.2張卡片都不是紅色 B.2張卡片恰有一張藍(lán)色C.2張卡片至少有一張紅色 D.2張卡片都為綠色【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義結(jié)合題意分析判斷即可.【詳解】6張卡片中一次取出2張卡片的所有情況有“2張都為紅色”?“2張都為綠色”?“2張都為藍(lán)色”?“1張為紅色1張為綠色”?“1張為紅色1張為藍(lán)色”?“1張為綠色1張為藍(lán)色”，選項中給出的四個事件中與“2張都為紅色”互斥而非對立的事件是“2張都不是紅色”，“2張恰有一張藍(lán)色”，“2張都為綠色”，其中“2張至少一張為紅色”包含事件“2張都為紅色”，二者并非互斥.故選：ABD.12.已知圓錐的母線長為為底面圓的一條直徑，.用一平行于底面的平面截圓錐，得到截面圓的圓心為.設(shè)圓的半徑為，點為圓上的一個動點，則（）A.圓錐的體積為B.的最小值為C.若，則圓錐與圓臺的休積之比為1:8D.若為圓臺的外接球球心，則圓的面積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圓錐的幾何性質(zhì)，求得其高，結(jié)合圓錐的體積公式、勾股定理、球的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：由圓錐的母線長為，底面圓的半徑為2，則，，可得圓錐的高.對于A：，A選項正確；對于B：已知，設(shè)點在底面的投影為，如下圖所示：則，所以，B選項正確；對于C：由題意可作圖如下：當(dāng)時，，所以，又，所以，C選項錯誤；對于D：由題意可作圖如下：若點是圓臺的外接球球心，則由，解得，所以，D選項正確.故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.甲?乙兩組共200人，現(xiàn)采取分層隨機抽樣方法抽取40人的樣本進(jìn)行問卷調(diào)查，若樣本中有16人來自甲組，則乙組的人數(shù)為__________.【答案】120【解析】【分析】根據(jù)抽取比例計算可得答案.【詳解】人.故答案為：.14.在中，，將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體的表面積為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)該幾何體的底面半徑為，高為的圓錐求解.【詳解】解：由題意得：該幾何體的底面半徑為，高為的圓錐，則母線為，所以.故答案為：15.如圖，在正三棱柱中，，則直線與直線所成角的正切值為__________.【答案】【解析】【分析】連接交于點，作點為的中點，連接，得到為與所成的角，從而在中求解即可.【詳解】如圖所示：連接交于點，作點為的中點，連接，則，故為與所成角（或補角），在中，.所以.故答案為：16.如圖，在Rt△AOC中，，圓O為單位圓．（1）若點P在圓O上，，則______________（2）若點P在△AOC與圓O的公共部分的圓弧上運動，則的取值范圍為__________【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運算律即可求出；（2）法一：根據(jù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.法二：以O(shè)為原點，OA所在直線為y軸，OC所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，設(shè)，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）在△AOP中，，，，，則，即（2）法一：，因為，所以，故的取值范圍為．法二：以O(shè)為原點，OA所在直線為y軸，OC所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，設(shè)，，，所以，，則，∵，則，∴，，即．故答案為：（1）；（2）.【點睛】方法點睛：求向量模的常見思路與方法：（1）求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用，勿忘記開方；（2）或，此性質(zhì)可用來求向量的模，可實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化；（3）一些常見的等式應(yīng)熟記：如，等.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.17.已知，復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）.（1）若是純虛數(shù)，求的值；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義，實部等于零，虛部不等于零，列出條件解出即可;根據(jù)條件，虛數(shù)的實部小于零，虛部大于零，列出條件解出即可.【小問1詳解】因為是純虛數(shù)，所以解得故的值為；【小問2詳解】在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，由題意可得.解得，即的取值范圍是.18.如圖1，四邊形是邊長為2的正方形，將沿折疊，使點到達(dá)點的位置（如圖2），且.（1）求證：；（2）求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過線面垂直判定定理證明線面垂直進(jìn)而證明線線垂直；（2）通過（1）的證明得出二面角的平面角，在該平面角所在的三角形中運用余弦定理解該角的余弦值即可解出二面角大小.【小問1詳解】在圖1中連接交于，則，所以在圖2中，，因為為平面中的兩條相交直線，所以平面，又平面，所以；【小問2詳解】由（1）可知，為二面角的平面角，在中，，由余弦定理，得，因為，所以，所以二面角的大小為.19.某政府部門為促進(jìn)黨風(fēng)建設(shè)，擬對政府部門的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行量化考核，每個群眾辦完業(yè)務(wù)后可以對服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行打分，最高分為100分.上個月該部門對100名群眾進(jìn)行了回訪調(diào)查，將他們按所打分?jǐn)?shù)分成以下幾組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計所打分?jǐn)?shù)的眾數(shù)，平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）（2）該部門在第一?二組群眾中按比例分配的分層抽樣的方法抽取6名群眾進(jìn)行深入調(diào)查，之后將從這6人中隨機抽取2人聘為監(jiān)督員，求監(jiān)督員來自不同組的概率.【答案】（1）眾數(shù)為70，平均數(shù)為65；（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖與眾數(shù)、平均數(shù)的計算方法依次計算即可；(2)先求出6人中第一、二組抽到的人數(shù)，求出樣本空間的樣本點個數(shù)和事件“2人來自不同的組”包含的樣本點個數(shù)，代入概率公式計算即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，眾數(shù)為；5個組的頻率分別為0.05，0.1，0.2，0.35，0.3，所以平均數(shù)為；【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知第一組的頻率為0.05，第二組的頻率為0.1，則第一組的人數(shù)為5人，第二組的人數(shù)為10人，所以按分層抽樣的方法抽到的6人中，第一組抽2人，記為；第二組抽4人，記為，則，設(shè)事件為抽到的2人來著不同的組，則，所以.20.如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，D，E，F(xiàn)分別是棱，，的中點.（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明平面平面，得到平面；（2），，作于G，，即三棱錐的高為，可求三棱錐的體積.【小問1詳解】證明：連接，∵E，F(xiàn)分別是棱AC，BC中點，∴，∵平面，平面，∴平面，∵D，F(xiàn)分別是棱，的中點，∴，，∴四邊形是平行四邊形，則，∵平面，平面，∴平面，∵，平面，且，∴平面平面，∵平面，∴平面；【小問2詳解】連接，∵E為AC中點，∴，由題意，，∴，作于G，則面，是邊長為的等邊三角形，有，即三棱錐的高為，∴.21.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，點D在BC邊上，AD是角平分線，，且的面積為．（1）求A的大小及的值；（2）若，求BD的長．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由已知根據(jù)正弦定理可得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可得，求出角的大小，然后根據(jù)面積公式可得，最后由平面向量數(shù)量積的定義即可求解；（2）由已知，根據(jù)可得，然后在中利用余弦定理即可求解.【小問1詳解】解：在中，，由正弦定理得，∴由余弦定理可得，又∵，∴，∵，∴，解得，∴；【小問2詳解】解：∵，由（1）得，∴，∵AD是角平分線，∴，故，解得，在中，，，，由余弦定理得，∴．22.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，是棱上一點，且平面.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【