計算動力學(xué)第三章課件

計算動力學(xué)（2）運載工程與力學(xué)學(xué)部第三章線性時變系統(tǒng)的參激振動本節(jié)討論具有快時變參數(shù)的系統(tǒng)，即系統(tǒng)參數(shù)隨時間變化的速率達到與系統(tǒng)振動頻率相同的量級，其最簡單的例子是Mathieu方程。隨著參數(shù)變化的加快，這類系統(tǒng)的行為會發(fā)生質(zhì)的變化，出現(xiàn)由參數(shù)變化激發(fā)出的參激振動。1831年，英國科學(xué)家Faraday首先發(fā)現(xiàn)了參激振動現(xiàn)象：當充液容器作鉛垂振動時，液體的自由表面波動周期是容器振動周期的二倍。由于充液容器在運載工具、化工等諸多工程領(lǐng)域中占有重要地位，對這一問題的研究吸引了許多學(xué)者，推動了對參激振動的研究。例圖示兩端鉸支Bernoulli-Euler梁受簡諧縱向力f(t)=f0cospt作用，忽略梁的縱向慣性，建立其受擾后的橫向微振動方程。

解：設(shè)梁的長度為l，單位長度質(zhì)量為ρA，抗彎剛度為EI。忽略梁的縱向慣性后，梁在軸向簡諧力f(t)=f0cospt作用下的橫向微振動微分方程為以兩端鉸支Bernoulli-Euler梁的固有振型作為Galerkin形函數(shù)，將撓度表示為

根據(jù)固有振型的加權(quán)正交性得到一組解耦的常微分方程

引入

得到標準的Mathieu方程

1周期系數(shù)線性常微分方程理論

考察具有周期系數(shù)的齊次線性常微分方程

將其寫作二維相空間中的狀態(tài)方程

其中

(1)基本解根據(jù)線性常微分方程理論，方程具有兩個線性無關(guān)的基本解和。對于該方程的任意解，存在常數(shù)a1和a2，使得其中

Φ(t)稱作基本解矩陣。

現(xiàn)討論基本解矩陣的主要性質(zhì)。鑒于A(t)以T為周期，若u(t)

是方程的解，u(t

+T)也是該方程的解。自然，Φ(t+T)中的和亦如此。因此,存在兩個常數(shù)向量b1和b2使得其中矩陣B稱作單值矩陣。不難證明，B具有如下性質(zhì)：a.B是可逆矩陣b.c.若取Φ(0)=I，B=Φ(T)

d.根據(jù)線性常微分方程理論，可導(dǎo)出

(2)特征乘數(shù)與特征指數(shù)根據(jù)矩陣B的特征值問題

定義r為方程的第r階特征乘數(shù)，而滿足如下關(guān)系的r為第r階特征指數(shù)

它們反映了系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì)，與Φ(t)的選取無關(guān)。

設(shè)有兩個不同的基本解矩陣

和

，它們各自滿足

由于是解矩陣，自然存在可逆矩陣C使得它可由基本解矩陣表示

易見

根據(jù)線性代數(shù)，單值矩陣B和互為相似矩陣，它們具有相同的特征值。

例：exp（At）的計算。(3)Floquet（弗洛凱）定理定理(Floquet定理)方程存在具有如下形式的所謂正規(guī)解滿足其中證明：取基本解矩陣和由式所確定的特征向量構(gòu)造方程的正規(guī)解不難導(dǎo)出

不難導(dǎo)出

再取

可驗證其周期性如下

推論：a.若即則相應(yīng)的正規(guī)解漸近穩(wěn)定；b.若即則相應(yīng)的正規(guī)解不穩(wěn)定；c.若即則相應(yīng)的正規(guī)解穩(wěn)定（但非漸近穩(wěn)定。特別地,若存在正整數(shù)m,

使則有即正規(guī)解以為周期。Floquet定理應(yīng)用一.線性系統(tǒng)1.首先將其寫作二維相空間中的狀態(tài)方程2.求基本解矩陣

3.求矩陣B滿足Φ(0)=I，故B=Φ(T)4.求矩陣B的特征乘數(shù)和特征指數(shù)特征乘數(shù)特征指數(shù)5.穩(wěn)定性a.若相應(yīng)的正規(guī)解漸近穩(wěn)定；b.若相應(yīng)的正規(guī)解不穩(wěn)定；c.若則相應(yīng)的正規(guī)解穩(wěn)定（但非漸近穩(wěn)定）。二.參激線性系統(tǒng)1.首先將其寫作二維相空間中的狀態(tài)方程2.將T分為K個小區(qū)間，k=0,1,2,...K

計算A(t)在（）區(qū)間的平均值3.求矩陣BB=(T)4.求矩陣B的特征乘數(shù)和特征指數(shù)特征乘數(shù)特征指數(shù)(4)Hill方程當時，將方程1886年，Hill在分析月球在近地點附近的運動時首次研究了這類方程，故該方程被稱作Hill方程。顯然，Mathieu方程是其特款。改寫為

不難驗證，通過變換

方程可簡化為Hill方程

Hill方程的特征乘數(shù)滿足特征方程故且當︱trB︱>2時，其中一個根的絕對值大于1而另一個根的絕對值則小于1.因此一個正規(guī)解是無界的而另一個是有界的.︱trB︱<2時兩根是復(fù)共扼的,因為12=1,它們有單位模長.因此兩個正規(guī)解都是有界的.由此得出從穩(wěn)定到不穩(wěn)定的轉(zhuǎn)變發(fā)生在︱trB︱=2它對應(yīng)于重根1=2=±1.1=2=1的情況,對應(yīng)于存在一個周期為T的正規(guī)解，而1=2=-1

對應(yīng)于一個周期為2T的正規(guī)解.

a.若必有某一相應(yīng)的正規(guī)解不穩(wěn)定；b.若且相應(yīng)的正規(guī)解穩(wěn)定（但非漸近穩(wěn)定）；

c.若正規(guī)解是以T或2T為周期的穩(wěn)定解（但非漸近穩(wěn)定）。由此可知Hill方程特征解的特性：在Mathieu方程的情形,=(δ,ε).使︱trB︱>2的δ和ε值稱為不穩(wěn)定值,而使︱trB︱=2的值稱為過渡值.過渡值的軌跡將εδ平面分隔成為如圖所示的穩(wěn)定和不穩(wěn)定的區(qū)域.沿這些曲線至少有一個正規(guī)解是周期性的,具有周期或2.由于Strutt(1928)，Vander

Pol和Strutt(1928)的工作,被稱之為Strutt圖．

Mathieu為方程參數(shù)平面中的穩(wěn)定和不穩(wěn)定（陰影)區(qū)域無界的解可以定性地分為兩種不向的類型(Cunningham,1958)如圖所示,第一種類型是振蕩的,但其振幅隨時間以指數(shù)規(guī)律增長,第二種類型不是振蕩的,同樣隨時間按指數(shù)律增長．有界解是非周期性的,隨兩種頻率(γ的虛部和激勵的頻率)而變化,依賴于這兩個頻率的比值，解可以呈現(xiàn)出除過渡周期以外的許多種形狀,圖中顯示了其中的三種.當比值很小時,解近似于周期解,具有高頻調(diào)制的振幅和相位.Mathieu方程的無界解Mathieu方程的有界解的特征指數(shù)可以通過數(shù)值方法求得：在第一個振動周期內(nèi)數(shù)值地計算滿足初始條件和方程的兩個線性獨立解.利用這些解及其一階導(dǎo)數(shù)在t=T的值,可計算和△.解出方程便可確定的值從而也就得到γ,因為γ=ln/T.利用Newton-Raphson方法,可以求出對應(yīng)于=±1的系統(tǒng)的參數(shù),也就是劃分穩(wěn)定與不穩(wěn)定的邊界.然而這方法會導(dǎo)致嚴重的計算困難,因而為了決定特征指數(shù)和劃分穩(wěn)定、不穩(wěn)定的邊界,需要應(yīng)用近似方法.最后，討論Hill方程在下述條件下的穩(wěn)定性

其中和是兩個參數(shù)，它們的不同組合決定了方程的解是否穩(wěn)定。根據(jù)前述分析，解失穩(wěn)的臨界條件是，相應(yīng)的可稱作臨界值。Haupt指出：給定平面上的直線ε=const.，則在該直線上存在無限多個孤立的臨界值，，形成圖中所示的Haupt圖；當 時解不穩(wěn)定， 時解穩(wěn)定（但非漸近定），然后依次交替。2Mathieu方程小激勵情況的穩(wěn)定圖

在Mathieu方程中,ε代表激勵的強弱;ε是小參數(shù)時為Mathieu方程的小激勵情況.對于這種情況,參照上述的穩(wěn)定區(qū)與不穩(wěn)定區(qū)分界線與周期解的關(guān)系,可以用小參數(shù)法方便地求出以和2為周期的周期解,從而確定分界線和穩(wěn)定區(qū)的分布,即穩(wěn)定圖.現(xiàn)在要研究的問題是用小參數(shù)法把圖上距離橫向坐標軸δ軸不遠的狹長地帶的分界線近似地定地表示出來,也就是要找到哪些δ(ε)使方程有以和2為周期的相間的周期解.

首先是把解x(t)本身用小參數(shù)表示出來.在自治系統(tǒng)再把待求的振動頻率這樣表示出來,隨后在一般非自治系統(tǒng)又把待求的相位差這樣表示出來.現(xiàn)在就應(yīng)該把待求的δ(ε)這樣表示出來.為此設(shè)解為把此式代入,比較ε同冪次頂系數(shù),得

第一式的周期解是

以下依次討論δ0取這些值時的穩(wěn)定性邊界。

a.δ0＝0時,x1的周期性條件確定δ1=0

，從而把x0,x1，代入第三式得

由x2的周期性條件確定δ2

＝-1/2.從而近似解為b.δ0=1時，

第二式成為

x1的周期性條件確定此式中引起永年項的項應(yīng)為零,于是

即對應(yīng)的解是第一式進而代入第三式得

消除永年項要求

解出x2后，近似解是

得到