新教材高考數(shù)學(xué)第四章三角函數(shù)與解三角形3考點1三角函數(shù)的單調(diào)性練習(xí)（含解析）（選修2）

考點1三角函數(shù)的單調(diào)性（2018·全國Ⅱ卷（理））若f（x）＝cosx－sinx在[－a，a]上是減函數(shù)，則a的最大值是（）A．πB．πC．3D．π【解析】f（x）＝cosx－sinx＝－2sinx·22-當(dāng)x∈-π4,3π4，即y＝sinx-πf（x）＝－2sinx-π∵函數(shù)f（x）在[－a，a]上是減函數(shù)，∴[－a，a]?-π∴0＜a≤π4，∴a的最大值為π故選A．【答案】A（2018·江蘇卷）某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN（P為此圓弧的中點）和線段MN構(gòu)成．已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP，要求A，B均在線段MN上，C，D均在圓弧上．設(shè)OC與MN所成的角為θ.（1）用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sinθ的取值范圍；（2）若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶θ為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．【解析】（1）如圖，設(shè)PO的延長線交MN于點H，則PH⊥MN，所以O(shè)H＝10.過點O作OE⊥BC于點E，則OE∥MN，所以∠COE＝θ，故OE＝40cosθ，EC＝40sinθ，則矩形ABCD的面積為2×40cosθ·（40sinθ＋10）＝800（4sinθcosθ＋cosθ），△CDP的面積為12×2×40cosθ（40－40sinθ＝1600（cosθ－sinθcosθ）．過點N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線于點G和K，則GK＝KN＝10.令∠GOK＝θ0，則sinθ0＝14，θ0∈0,當(dāng)θ∈θ0,π所以sinθ的取值范圍是14答矩形ABCD的面積為800（4sinθcosθ＋cosθ）平方米，△CDP的面積為1600（cosθ－sinθcosθ）平方米，sinθ的取值范圍是14（2）因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3，設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k（k＞0），則年總產(chǎn)值為4k×800（4sinθcosθ＋cosθ）＋3k×1600（cosθ－sinθcosθ）＝8000k（sinθcosθ＋cosθ），θ∈θ0設(shè)f（θ）＝sinθcosθ＋cosθ，θ∈θ0則f′（θ）＝cos2θ－sin2θ－sinθ＝－（2sin2θ＋sinθ－1）＝－（2sinθ－1）（sinθ＋1）．令f′（θ）＝0，得θ＝π6當(dāng)θ∈θ0,π6時，