高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷（甲卷、乙卷、新課標(biāo)I、新課標(biāo)II）3年（2023-2023）真題分類匯編-函數(shù)與導(dǎo)數(shù) (1)（含解析）

第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷（甲卷、乙卷、新課標(biāo)I、新課標(biāo)II）3年（2023-2023）真題分類匯編-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(1)（含解析）中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)

高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷（甲卷、乙卷、新課標(biāo)I、新課標(biāo)II）3年（2023-2023）真題分類匯編-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（多選題、填空題、雙空題）

一、多選題

1．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（）．

A．B．C．D．

2．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則（）．

A．B．

C．是偶函數(shù)D．為的極小值點(diǎn)

3．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：

聲源與聲源的距離聲壓級(jí)

燃油汽車10

混合動(dòng)力汽車10

電動(dòng)汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，則（）．

A．B．

C．D．

4．（2022年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（）

A．在區(qū)間單調(diào)遞減

B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)

C．直線是曲線的對(duì)稱軸

D．直線是曲線的切線

5．（2022年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（）

A．B．C．D．

6．（2022年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，則（）

A．有兩個(gè)極值點(diǎn)B．有三個(gè)零點(diǎn)

C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心D．直線是曲線的切線

二、填空題

7．（使用，請(qǐng)勿下載（全國(guó)甲卷理數(shù)））若為偶函數(shù)，則．

8．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.

9．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．

10．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是．

11．（2022年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．

12．（2023年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是．

13．（2023年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)．

①；②當(dāng)時(shí)，；③是奇函數(shù)．

14．（2023年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

15．（2023年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的最小值為.

16．（2023年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則.

三、雙空題

17．（2022年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，．

18．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）若是奇函數(shù)，則，．

參考答案：

1．BCD

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.

【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，

因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而，

因此方程有兩個(gè)不等的正根，

于是，即有，，，顯然，即，A錯(cuò)誤，BCD正確.

故選：BCD

2．ABC

【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇遇性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC，舉反例即可排除選項(xiàng)D.

方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對(duì)于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】方法一：

因?yàn)椋?/p>

對(duì)于A，令，，故正確.

對(duì)于B，令，，則，故B正確.

對(duì)于C，令，，則，

令，

又函數(shù)的定義域?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，故正確，

對(duì)于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無極值，故錯(cuò)誤.

方法二：

因?yàn)椋?/p>

對(duì)于A，令，，故正確.

對(duì)于B，令，，則，故B正確.

對(duì)于C，令，，則，

令，

又函數(shù)的定義域?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，故正確，

對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，對(duì)兩邊同時(shí)除以，得到，

故可以設(shè)，則，

當(dāng)肘，，則，

令，得；令，得；

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時(shí)是的極大值，故D錯(cuò)誤.

故選：.

3．ACD

【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】由題意可知：，

對(duì)于選項(xiàng)A：可得，

因?yàn)椋瑒t，即，

所以且，可得，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：可得，

因?yàn)椋瑒t，即，

所以且，可得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，即?/p>

可得，即，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，

且，則，

即，可得，且，所以，故D正確；

故選：ACD.

4．AD

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出．

【詳解】由題意得：，所以，，

即，

又，所以時(shí)，，故．

對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；

對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；

對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，直線不是對(duì)稱軸；

對(duì)D，由得：，

解得或,

從而得：或,

所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，

切線方程為：即．

故選：AD．

5．BC

【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】[方法一]：對(duì)稱性和周期性的關(guān)系研究

對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，則，故C正確；

對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，，所以關(guān)于對(duì)稱，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽，所以，結(jié)合關(guān)于對(duì)稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.

故選：BC.

[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.

由方法一知周期為2，關(guān)于對(duì)稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯(cuò)誤，選BC.

故選：BC.

[方法三]：

因?yàn)椋鶠榕己瘮?shù)，

所以即，，

所以，，則，故C正確；

函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對(duì)稱，

又，且函數(shù)可導(dǎo)，

所以，

所以，所以，

所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；

方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．

6．AC

【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.

【詳解】由題，，令得或，

令得，

所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；

因，，，

所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，

綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，

將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，

所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；

令，可得，又，

當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

7．2

【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗(yàn)即可得解.

【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)椋?/p>

所以，即，

則，故，

此時(shí)，

所以，

又定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，

所以.

故答案為：2.

8．

【分析】原問題等價(jià)于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.

【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，

則，即在區(qū)間上恒成立，

故，而，故，

故即，故，

結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.

故答案為：.

9．

【分析】令，得有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.

【詳解】因?yàn)?，所以?/p>

令，則有3個(gè)根，

令，則有3個(gè)根，其中，

結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，

故答案為：.

10．

【分析】法一：依題可知，方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過原點(diǎn)的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.

【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)

因?yàn)椋苑匠痰膬蓚€(gè)根為，

即方程的兩個(gè)根為，

即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，即圖象在上方

當(dāng)時(shí)，，即圖象在下方

，圖象顯然不符合題意，所以．

令，則，

設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，

則切線的斜率為，故切線方程為，

則有，解得，則切線的斜率為，

因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以，解得，又，所以，

綜上所述，的取值范圍為．

[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)

=0的兩個(gè)根為

因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，

設(shè)函數(shù)，則，

若，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)若，則在

上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)若有和分別是函數(shù)

且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則，不符合題意；

若，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，則需滿足，，即故，所以.

【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用函數(shù)的零點(diǎn)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；

法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．

11．

【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.

【詳解】∵，∴，

設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,

切線方程為：,

∵切線過原點(diǎn)，∴,

整理得：,

∵切線有兩條，∴,解得或,

∴的取值范圍是,

故答案為：

12．

【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點(diǎn)間距離公式可得，，化簡(jiǎn)即可得解.

【詳解】由題意，，則，

所以點(diǎn)和點(diǎn)，,

所以，

所以，

所以，

同理,

所以.

故答案為：

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個(gè)變量后，運(yùn)算即可得解.

13．（答案不唯一，均滿足）

【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.

【詳解】取，則，滿足①，

，時(shí)有，滿足②，

的定義域?yàn)椋?/p>

又，故是奇函數(shù)，滿足③.

故答案為：（答案不唯一，均滿足）

14．

【分析】先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．

【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上．

求導(dǎo)得：，所以．

故切線方程為．

故答案為：．

15．1

【分析】由解析式知定義域?yàn)?，討論、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.

【詳解】由題設(shè)知：定義域?yàn)椋?/p>

∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞增；

又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，

∴綜上有：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；

∴

故答案為：1.

16．1

【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.

【詳解】因?yàn)?，故?/p>

因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，

時(shí)，整理得到，

故，

故答案為：1

17．

【分析】分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；

【詳解】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求

分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；

解：因?yàn)椋?/p>

當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；

當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；

[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合

當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；

因?yàn)槭桥己瘮?shù)，圖象為：

所以當(dāng)時(shí)的切線，只需找到關(guān)于y軸的對(duì)稱直線即可.

[方法三]：

因?yàn)椋?/p>

當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；

當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；

故答案為：；.

18．