高中數(shù)學直線和方程

./第三章直線與方程§3．1直線的傾斜角與斜率3．1．1傾斜角與斜率[課時目標]1．理解直線的傾斜角和斜率的概念．2．掌握求直線斜率的兩種方法．3．了解在平面直角坐標系中確定一條直線的幾何要素．1．傾斜角與斜率的概念定義表示或記法傾斜角當直線l與x軸________時,我們?nèi)_______作為基準,x軸________與直線l________________之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0°α斜率直線l的傾斜角α<α≠90°>的____________k＝tanα2．傾斜角與斜率的對應關(guān)系圖示傾斜角<范圍>α＝0°0°<α<90°α＝____90°<α<180°斜率<范圍>0大于0斜率不存在小于0一、選擇題1．對于下列命題①若α是直線l的傾斜角,則0°≤α<180°；②若k是直線的斜率,則k∈R；③任一條直線都有傾斜角,但不一定有斜率；④任一條直線都有斜率,但不一定有傾斜角．其中正確命題的個數(shù)是<>A．1B．2C．3D．42．斜率為2的直線經(jīng)過點A<3,5>、B<a,7>、C<－1,b>三點,則a、b的值為<>A．a(chǎn)＝4,b＝0B．a(chǎn)＝－4,b＝－3C．a(chǎn)＝4,b＝－3D．a(chǎn)＝－4,b＝33．設直線l過坐標原點,它的傾斜角為α,如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,得到直線l1,那么l1的傾斜角為<>A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．當0°≤α<135°時,傾斜角為α＋45°；當135°≤α<180°時,傾斜角為α－135°4．直線l過原點<0,0>,且不過第三象限,那么l的傾斜角α的取值范圍是<>A．[0°,90°]B．[90°,180°>C．[90°,180°>或α＝0°D．[90°,135°]5．若圖中直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3,則<>A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k26．直線mx＋ny－1＝0同時過第一、三、四象限的條件是<>A．mn>0B．mn<0C．m>0,n<0D．m<0,n<0二、填空題7．若直線AB與y軸的夾角為60°,則直線AB的傾斜角為____________,斜率為____________．8．如圖,已知△ABC為等腰三角形,且底邊BC與x軸平行,則△ABC三邊所在直線的斜率之和為________．9．已知直線l的傾斜角為α－20°,則α的取值范圍是________________________．三、解答題10．如圖所示,菱形ABCD中,∠BAD＝60°,求菱形ABCD各邊和兩條對角線所在直線的傾斜角和斜率．11．一條光線從點A<－1,3>射向x軸,經(jīng)過x軸上的點P反射后通過點B<3,1>,求P點的坐標．能力提升12．已知實數(shù)x,y滿足y＝－2x＋8,當2≤x≤3時,求eq\f<y,x>的最大值和最小值．13．已知函數(shù)f<x>＝log2<x＋1>,a>b>c>0,則eq\f<fa,a>,eq\f<fb,b>,eq\f<fc,c>的大小關(guān)系是________________．1．利用直線上兩點確定直線的斜率,應從斜率存在、不存在兩方面入手分類討論,斜率不存在的情況在解題中容易忽視,應引起注意．2．三點共線問題：<1>已知三點A,B,C,若直線AB,AC的斜率相同,則三點共線；<2>三點共線問題也可利用線段相等來求,若|AB|＋|BC|＝|AC|,也可斷定A,B,C三點共線．3．斜率公式的幾何意義：在解題過程中,要注意開發(fā)"數(shù)形"的轉(zhuǎn)化功能,直線的傾斜角與斜率反映了某一代數(shù)式的幾何特征,利用這種特征來處理問題更直觀形象,會起到意想不到的效果．第三章直線與方程§3．1直線的傾斜角與斜率3．1．1傾斜角與斜率答案知識梳理1．相交x軸正向向上方向正切值2．90°作業(yè)設計1．C[①②③正確．]2．C[由題意,得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<kAC＝2,,kAB＝2,>>即eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\f<b－5,－1－3>＝2,,\f<7－5,a－3>＝2.>>解得a＝4,b＝－3．]3．D[因為0°≤α<180°,顯然A,B,C未分類討論,均不全面,不合題意．通過畫圖<如圖所示>可知：當0°≤α<135°時,傾斜角為α＋45°；當135°≤α<180°時,傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°．]4．C[傾斜角的取值范圍為0°≤α<180°,直線過原點且不過第三象限,切勿忽略x軸和y軸．]5．D[由圖可知,k1<0,k2>0,k3>0,且l2比l3的傾斜角大．∴k1<k3<k2．]6．C[由題意知,直線與x軸不垂直,故n≠0．直線方程化為y＝－eq\f<m,n>x＋eq\f<1,n>,則－eq\f<m,n>>0,且eq\f<1,n><0,即m>0,n<0．]7．30°或150°eq\f<\r<3>,3>或－eq\f<\r<3>,3>8．09．20°≤α<200°解析因為直線的傾斜角的范圍是[0°,180°>,所以0°≤α－20°<180°,解之可得20°≤α<200°．10．解αAD＝αBC＝60°,αAB＝αDC＝0°,αAC＝30°,αBD＝120°．kAD＝kBC＝eq\r<3>,kAB＝kCD＝0,kAC＝eq\f<\r<3>,3>,kBD＝－eq\r<3>．11．解設P<x,0>,則kPA＝eq\f<3－0,－1－x>＝－eq\f<3,x＋1>,kPB＝eq\f<1－0,3－x>＝eq\f<1,3－x>,依題意,由光的反射定律得kPA＝－kPB,即eq\f<3,x＋1>＝eq\f<1,3－x>,解得x＝2,即P<2,0>．12．解eq\f<y,x>＝eq\f<y－0,x－0>其意義表示點<x,y>與原點連線的直線的斜率．點<x,y>滿足y＝－2x＋8,且2≤x≤3,則點<x,y>在線段AB上,并且A、B兩點的坐標分別為A<2,4>,B<3,2>,如圖所示．則kOA＝2,kOB＝eq\f<2,3>．所以得eq\f<y,x>的最大值為2,最小值為eq\f<2,3>．13．eq\f<fc,c>>eq\f<fb,b>>eq\f<fa,a>解析畫出函數(shù)的草圖如圖,eq\f<fx,x>可視為過原點直線的斜率．3．1．2兩條直線平行與垂直的判定[課時目標]1．能根據(jù)兩條直線的斜率判定兩條直線是否平行或垂直．2．能根據(jù)兩條直線平行或垂直的關(guān)系確定兩條直線斜率的關(guān)系．1．兩條直線平行與斜率的關(guān)系<1>對于兩條不重合的直線l1,l2,其斜率分別為k1、k2,有l(wèi)1∥l2?________．<2>如果直線l1、l2的斜率都不存在,并且l1與l2不重合,那么它們都與________垂直,故l1________l2．2．兩條直線垂直與斜率的關(guān)系<1>如果直線l1、l2的斜率都存在,并且分別為k1、k2,那么l1⊥l2?__________．<2>如果兩條直線l1、l2中的一條斜率不存在,另一個斜率是零,那么l1與l2的位置關(guān)系是________．一、選擇題1．有以下幾種說法：<l1、l2不重合>①若直線l1,l2都有斜率且斜率相等,則l1∥l2；②若直線l1⊥l2,則它們的斜率互為負倒數(shù)；③兩條直線的傾斜角相等,則這兩條直線平行；④只有斜率相等的兩條直線才一定平行．以上說法中正確的個數(shù)是<>A．1B．2C．3D．02．以A<－1,1>、B<2,－1>、C<1,4>為頂點的三角形是<>A．銳角三角形B．鈍角三角形C．以A點為直角頂點的直角三角形D．以B點為直角頂點的直角三角形3．已知A<1,2>,B<m,1>,直線AB與直線y＝0垂直,則m的值<>A．2B．1C．0D．－14．已知A<m,3>,B<2m,m＋4>,C<m＋1,2>,D<1,0>,且直線AB與直線CD平行,則m的值為<>A．1B．0C．0或2D．0或15．若直線l1、l2的傾斜角分別為α1、α2,且l1⊥l2,則有<>A．α1－α2＝90°B．α2－α1＝90°C．|α2－α1|＝90°D．α1＋α2＝180°6．順次連接A<－4,3>,B<2,5>,C<6,3>,D<－3,0>所構(gòu)成的圖形是<>A．平行四邊形B．直角梯形C．等腰梯形D．以上都不對二、填空題7．如果直線l1的斜率為a,l1⊥l2,則直線l2的斜率為________．8．直線l1,l2的斜率k1,k2是關(guān)于k的方程2k2－3k－b＝0的兩根,若l1⊥l2,則b＝________；若l1∥l2,則b＝________．9．已知直線l1的傾斜角為60°,直線l2經(jīng)過點A<1,eq\r<3>>,B<－2,－2eq\r<3>>,則直線l1,l2的位置關(guān)系是____________．三、解答題10．已知△ABC三個頂點坐標分別為A<－2,－4>,B<6,6>,C<0,6>,求此三角形三邊的高所在直線的斜率．11．已知△ABC的頂點坐標為A<5,－1>,B<1,1>,C<2,m>,若△ABC為直角三角形,試求m的值．能力提升12．已知△ABC的頂點B<2,1>,C<－6,3>,其垂心為H<－3,2>,則其頂點A的坐標為________．13．已知四邊形ABCD的頂點A<m,n>,B<5,－1>,C<4,2>,D<2,2>,求m和n的值,使四邊形ABCD為直角梯形．判定兩條直線是平行還是垂直要"三看"：一看斜率是否存在,若兩直線的斜率都不存在,則兩直線平行,若一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在,則兩直線垂直；斜率都存在時,二看斜率是否相等或斜率乘積是否為－1；兩直線斜率相等時,三看兩直線是否重合,若不重合,則兩直線平行．3．1．2兩條直線平行與垂直的判定答案知識梳理1．<1>k1＝k2<2>x軸∥2．<1>k1k2＝－1<2>垂直作業(yè)設計1．B[①③正確,②④不正確,l1或l2可能斜率不存在．]2．C[kAB＝－eq\f<2,3>,kAC＝eq\f<3,2>,kAC·kAB＝－1,∴AB⊥AC．]3．B[直線AB應與x軸垂直,A、B橫坐標相同．]4．D[當AB與CD斜率均不存在時,m＝0,此時AB∥CD,當kAB＝kCD時,m＝1,此時AB∥CD．]5．C6．B[kAB＝kDC,kAD≠kBC,kAD·kAB＝－1,故構(gòu)成的圖形為直角梯形．]7．－eq\f<1,a>或不存在8．2－eq\f<9,8>解析若l1⊥l2,則k1k2＝－eq\f<b,2>＝－1,∴b＝2．若l1∥l2,則k1＝k2,Δ＝9＋8b＝0,∴b＝－eq\f<9,8>．9．平行或重合解析由題意可知直線l1的斜率k1＝tan60°＝eq\r<3>,直線l2的斜率k2＝eq\f<－2\r<3>－\r<3>,－2－1>＝eq\r<3>,因為k1＝k2,所以l1∥l2或l1,l2重合．10．解由斜率公式可得kAB＝eq\f<6－－4,6－－2>＝eq\f<5,4>,kBC＝eq\f<6－6,6－0>＝0,kAC＝eq\f<6－－4,0－－2>＝5．由kBC＝0知直線BC∥x軸,∴BC邊上的高線與x軸垂直,其斜率不存在．設AB、AC邊上高線的斜率分別為k1、k2,由k1·kAB＝－1,k2·kAC＝－1,即k1·eq\f<5,4>＝－1,k2·5＝－1,解得k1＝－eq\f<4,5>,k2＝－eq\f<1,5>．∴BC邊上的高所在直線斜率不存在；AB邊上的高所在直線斜率為－eq\f<4,5>；AC邊上的高所在直線斜率為－eq\f<1,5>．11．解kAB＝eq\f<－1－1,5－1>＝－eq\f<1,2>,kAC＝eq\f<－1－m,5－2>＝－eq\f<m＋1,3>,kBC＝eq\f<m－1,2－1>＝m－1．若AB⊥AC,則有－eq\f<1,2>·eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<m＋1,3>>>＝－1,所以m＝－7．若AB⊥BC,則有－eq\f<1,2>·<m－1>＝－1,所以m＝3．若AC⊥BC,則有－eq\f<m＋1,3>·<m－1>＝－1,所以m＝±2．綜上可知,所求m的值為－7,±2,3．12．<－19,－62>解析設A<x,y>,∵AC⊥BH,AB⊥CH,且kBH＝－eq\f<1,5>,kCH＝－eq\f<1,3>,∴eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\f<y－3,x＋6>＝5,,\f<y－1,x－2>＝3.>>解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝－19,,y＝－62.>>13．解∵四邊形ABCD是直角梯形,∴有2種情形：<1>AB∥CD,AB⊥AD,由圖可知：A<2,－1>．<2>AD∥BC,AD⊥AB,eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<kAD＝kBC,kAD·kAB＝－1>>?eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\f<n－2,m－2>＝\f<3,－1>,\f<n－2,m－2>·\f<n＋1,m－5>＝－1>>∴eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<m＝\f<16,5>,n＝－\f<8,5>>>．綜上eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<m＝2,n＝－1>>或eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<m＝\f<16,5>,n＝－\f<8,5>>>．§3．2直線的方程3．2．1直線的點斜式方程[課時目標]1．掌握坐標平面內(nèi)確定一條直線的幾何要素．2．會求直線的點斜式方程與斜截式方程．3．了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系．1．直線的點斜式方程和斜截式方程名稱已知條件示意圖方程使用范圍點斜式點P<x0,y0>和斜率k________________斜率存在斜截式斜率k和在y軸上的截距b________存在斜率2．對于直線l1：y＝k1x＋b1,l2：y＝k2x＋b2,<1>l1∥l2?________________________；<2>l1⊥l2?________________．一、選擇題1．方程y＝k<x－2>表示<>A．通過點<－2,0>的所有直線B．通過點<2,0>的所有直線C．通過點<2,0>且不垂直于x軸的所有直線D．通過點<2,0>且除去x軸的所有直線2．已知直線的傾斜角為60°,在y軸上的截距為－2,則此直線方程為<>A．y＝eq\r<3>x＋2B．y＝－eq\r<3>x＋2C．y＝－eq\r<3>x－2D．y＝eq\r<3>x－23．直線y＝kx＋b通過第一、三、四象限,則有<>A．k>0,b>0B．k>0,b<0C．k<0,b>0D．k<0,b<04．直線y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一坐標系中的圖形可能是<>5．集合A＝{直線的斜截式方程},B＝{一次函數(shù)的解析式},則集合A、B間的關(guān)系是<>A．A＝BB．BAC．ABD．以上都不對6．直線kx－y＋1－3k＝0當k變化時,所有的直線恒過定點<>A．<1,3>B．<－1,－3>C．<3,1>D．<－3,－1>二、填空題7．將直線y＝3x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,再向右平移1個單位長度,所得到的直線為______________．8．已知一條直線經(jīng)過點P<1,2>且與直線y＝2x＋3平行,則該直線的點斜式方程是________．9．下列四個結(jié)論：①方程k＝eq\f<y－2,x＋1>與方程y－2＝k<x＋1>可表示同一直線；②直線l過點P<x1,y1>,傾斜角為90°,則其方程是x＝x1；③直線l過點P<x1,y1>,斜率為0,則其方程是y＝y(tǒng)1；④所有的直線都有點斜式和斜截式方程．正確的為________<填序號>．三、解答題10．寫出下列直線的點斜式方程．<1>經(jīng)過點A<2,5>,且與直線y＝2x＋7平行；<2>經(jīng)過點C<－1,－1>,且與x軸平行．11．已知△ABC的三個頂點坐標分別是A<－5,0>,B<3,－3>,C<0,2>,求BC邊上的高所在的直線方程．能力提升12．已知直線l的斜率為eq\f<1,6>,且和兩坐標軸圍成三角形的面積為3,求l的方程．13．等腰△ABC的頂點A<－1,2>,AC的斜率為eq\r<3>,點B<－3,2>,求直線AC、BC及∠A的平分線所在直線方程．1．已知直線l經(jīng)過的一個點和直線斜率就可用點斜式寫出直線的方程．用點斜式求直線方程時,必須保證該直線斜率存在．而過點P<x0,y0>,斜率不存在的直線方程為x＝x0．直線的斜截式方程y＝kx＋b是點斜式的特例．2．求直線方程時常常使用待定系數(shù)法,即根據(jù)直線滿足的一個條件,設出其點斜式方程或斜截式方程,再根據(jù)另一條件確定待定常數(shù)的值,從而達到求出直線方程的目的．但在求解時仍然需要討論斜率不存在的情形．§3．2直線的方程3．2．1直線的點斜式方程答案知識梳理1．y－y0＝k<x－x0>y＝kx＋b2．<1>k1＝k2且b1≠b2<2>k1k2＝－1作業(yè)設計1．C[易驗證直線通過點<2,0>,又直線斜率存在,故直線不垂直于x軸．]2．D[直線的傾斜角為60°,則其斜率為eq\r<3>,利用斜截式直接寫方程．]3．B4．D5．B[一次函數(shù)y＝kx＋b<k≠0>；直線的斜截式方程y＝kx＋b中k可以是0,所以BA．]6．C[直線kx－y＋1－3k＝0變形為y－1＝k<x－3>,由直線的點斜式可得直線恒過定點<3,1>．]7．y＝－eq\f<1,3>x＋eq\f<1,3>解析直線y＝3x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得到的直線方程為y＝－eq\f<1,3>x,再將該直線向右平移1個單位得到的直線方程為y＝－eq\f<1,3><x－1>,即y＝－eq\f<1,3>x＋eq\f<1,3>．8．y－2＝2<x－1>9．②③10．解<1>由題意知,直線的斜率為2,所以其點斜式方程為y－5＝2<x－2>．<2>由題意知,直線的斜率k＝tan0°＝0,所以直線的點斜式方程為y－<－1>＝0,即y＝－1．11．解設BC邊上的高為AD,則BC⊥AD,∴kAD·kBC＝－1,∴eq\f<2＋3,0－3>·kAD＝－1,解得kAD＝eq\f<3,5>．∴BC邊上的高所在的直線方程為y－0＝eq\f<3,5><x＋5>,即y＝eq\f<3,5>x＋3．12．解設直線l的方程為y＝eq\f<1,6>x＋b,則x＝0時,y＝b；y＝0時,x＝－6b．由已知可得eq\f<1,2>·|b|·|6b|＝3,即6|b|2＝6,∴b＝±1．故所求直線方程為y＝eq\f<1,6>x＋1或y＝eq\f<1,6>x－1．13．解直線AC的方程：y＝eq\r<3>x＋2＋eq\r<3>．∵AB∥x軸,AC的傾斜角為60°,∴BC的傾斜角為30°或120°．當α＝30°時,BC方程為y＝eq\f<\r<3>,3>x＋2＋eq\r<3>,∠A平分線傾斜角為120°,∴所在直線方程為y＝－eq\r<3>x＋2－eq\r<3>．當α＝120°時,BC方程為y＝－eq\r<3>x＋2－3eq\r<3>,∠A平分線傾斜角為30°,∴所在直線方程為y＝eq\f<\r<3>,3>x＋2＋eq\f<\r<3>,3>．3．2．2直線的兩點式方程[課時目標]1．掌握直線方程的兩點式．2．掌握直線方程的截距式．3．進一步鞏固截距的概念．1．直線方程的兩點式和截距式名稱已知條件示意圖方程使用范圍兩點式P1<x1,y1>,P2<x2,y2>,其中x1≠x2,y1≠y2eq\f<y－y1,y2－y1>＝eq\f<x－x1,x2－x1>斜率存在且不為0截距式在x,y軸上的截距分別為a,b且ab≠0斜率存在且不為0,不過原點2．線段的中點坐標公式若點P1、P2的坐標分別為<x1,y1>、<x2,y2>,設P<x,y>是線段P1P2的中點,則eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝,y＝>>．一、選擇題1．下列說法正確的是<>A．方程eq\f<y－y1,x－x1>＝k表示過點M<x1,y1>且斜率為k的直線方程B．在x軸、y軸上的截距分別為a,b的直線方程為eq\f<x,a>＋eq\f<y,b>＝1C．直線y＝kx＋b與y軸的交點到原點的距離為bD．不與坐標軸平行或垂直的直線的方程一定可以寫成兩點式或斜截式2．一條直線不與坐標軸平行或重合,則它的方程<>A．可以寫成兩點式或截距式B．可以寫成兩點式或斜截式或點斜式C．可以寫成點斜式或截距式D．可以寫成兩點式或截距式或斜截式或點斜式3．直線eq\f<x,a2>－eq\f<y,b2>＝1在y軸上的截距是<>A．|b|B．－b2C．b2D．±b4．在x、y軸上的截距分別是－3、4的直線方程是<>A．eq\f<x,－3>＋eq\f<y,4>＝1B．eq\f<x,3>＋eq\f<y,－4>＝1C．eq\f<x,－3>－eq\f<y,4>＝1D．eq\f<x,4>＋eq\f<y,－3>＝15．直線eq\f<x,m>－eq\f<y,n>＝1與eq\f<x,n>－eq\f<y,m>＝1在同一坐標系中的圖象可能是<>6．過點<5,2>,且在x軸上的截距<直線與x軸交點的橫坐標>是在y軸上的截距的2倍的直線方程是<>A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0二、填空題7．已知點A<1,2>,B<3,1>,則線段AB的垂直平分線的點斜式方式為______________．8．過點P<6,－2>,且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程是________________．9．過點P<1,3>的直線l分別與兩坐標軸交于A、B兩點,若P為AB的中點,則直線l的截距式是______________．三、解答題10．已知直線l的斜率為6,且被兩坐標軸所截得的線段長為eq\r<37>,求直線l的方程．11．三角形ABC的三個頂點分別為A<0,4>,B<－2,6>,C<－8,0>．<1>求邊AC和AB所在直線的方程；<2>求AC邊上的中線BD所在直線的方程；<3>求AC邊上的中垂線所在直線的方程．能力提升12．已知點A<2,5>與點B<4,－7>,點P在y軸上,若|PA|＋|PB|的值最小,則點P的坐標是________．13．已知直線l經(jīng)過點<7,1>且在兩坐標軸上的截距之和為零,求直線l的方程．1．直線方程的幾種形式,都可以用來求直線的方程,但各有自己的限制條件,應用時要全面考慮．<1>點斜式應注意過P<x0,y0>且斜率不存在的情況．<2>斜截式,要注意斜率不存在的情況．<3>兩點式要考慮直線平行于x軸和垂直于x軸的情況．<4>截距式要注意截距都存在的條件．2．直線方程的幾種特殊形式都有明顯的幾何意義,在求直線方程時,應抓住這些幾何特征,求直線方程．3．強調(diào)兩個問題：<1>截距并非距離,另外截距相等包括截距均為零的情況,但此時不能用截距式方程表示,而應用y＝kx表示．不是每條直線都有橫截距和縱截距,如直線y＝1沒有橫截距,x＝2沒有縱截距．<2>方程y－y1＝eq\f<y2－y1,x2－x1><x－x1><x1≠x2>與eq\f<y－y1,y2－y1>＝eq\f<x－x1,x2－x1><x1≠x2,y1≠y2>以及<y－y1><x2－x1>＝<x－x1><y2－y1>代表的直線范圍不同<想一想,為什么？>．3．2．2直線的兩點式方程答案知識梳理1．eq\f<x,a>＋eq\f<y,b>＝12．eq\f<x1＋x2,2>eq\f<y1＋y2,2>作業(yè)設計1．A2．B3．B[令x＝0得,y＝－b2．]4．A5．B[兩直線的方程分別化為斜截式：y＝eq\f<n,m>x－n,y＝eq\f<m,n>x－m,易知兩直線的斜率的符號相同,四個選項中僅有B選項的兩直線的斜率符號相同．]6．D[當y軸上截距b＝0時,方程設為y＝kx,將<5,2>代入得,y＝eq\f<2,5>x,即2x－5y＝0；當b≠0時,方程設為eq\f<x,2b>＋eq\f<y,b>＝1,求得b＝eq\f<9,2>,∴選D．]7．y－eq\f<3,2>＝2<x－2>解析kAB＝－eq\f<1,2>,由k·kAB＝－1得k＝2,AB的中點坐標為eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2,\f<3,2>>>,點斜式方程為y－eq\f<3,2>＝2<x－2>．8．eq\f<x,3>＋eq\f<y,2>＝1或eq\f<x,2>＋y＝1解析設直線方程的截距式為eq\f<x,a＋1>＋eq\f<y,a>＝1,則eq\f<6,a＋1>＋eq\f<－2,a>＝1,解得a＝2或a＝1,則直線的方程是eq\f<x,2＋1>＋eq\f<y,2>＝1或eq\f<x,1＋1>＋eq\f<y,1>＝1,即eq\f<x,3>＋eq\f<y,2>＝1或eq\f<x,2>＋y＝1．9．eq\f<x,2>＋eq\f<y,6>＝1解析設A<m,0>,B<0,n>,由P<1,3>是AB的中點可得m＝2,n＝6,即A、B的坐標分別為<2,0>、<0,6>．則l的方程為eq\f<x,2>＋eq\f<y,6>＝1．10．解方法一設所求直線l的方程為y＝kx＋b．∵k＝6,∴方程為y＝6x＋b．令x＝0,∴y＝b,與y軸的交點為<0,b>；令y＝0,∴x＝－eq\f<b,6>,與x軸的交點為eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<b,6>,0>>．根據(jù)勾股定理得eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<b,6>>>2＋b2＝37,∴b＝±6．因此直線l的方程為y＝6x±6．方法二設所求直線為eq\f<x,a>＋eq\f<y,b>＝1,則與x軸、y軸的交點分別為<a,0>、<0,b>．由勾股定理知a2＋b2＝37．又k＝－eq\f<b,a>＝6,∴eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a2＋b2＝37,,－\f<b,a>＝6.>>解此方程組可得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a＝1,,b＝－6>>或eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a＝－1,,b＝6.>>因此所求直線l的方程為x＋eq\f<y,－6>＝1或－x＋eq\f<y,6>＝1．11．解<1>由截距式得eq\f<x,－8>＋eq\f<y,4>＝1,∴AC所在直線方程為x－2y＋8＝0,由兩點式得eq\f<y－4,6－4>＝eq\f<x,－2>,∴AB所在直線方程為x＋y－4＝0．<2>D點坐標為<－4,2>,由兩點式得eq\f<y－2,6－2>＝eq\f<x－－4,－2－－4>．∴BD所在直線方程為2x－y＋10＝0．<3>由kAC＝eq\f<1,2>,∴AC邊上的中垂線的斜率為－2,又D<－4,2>,由點斜式得y－2＝－2<x＋4>,∴AC邊上的中垂線所在直線方程為2x＋y＋6＝0．12．<0,1>解析要使|PA|＋|PB|的值最小,先求點A關(guān)于y軸的對稱點A′<－2,5>,連接A′B,直線A′B與y軸的交點P即為所求點．13．解當直線l經(jīng)過原點時,直線l在兩坐標軸上截距均等于0,故直線l的斜率為eq\f<1,7>,∴所求直線方程為y＝eq\f<1,7>x,即x－7y＝0．當直線l不過原點時,設其方程eq\f<x,a>＋eq\f<y,b>＝1,由題意可得a＋b＝0,①又l經(jīng)過點<7,1>,有eq\f<7,a>＋eq\f<1,b>＝1,②由①②得a＝6,b＝－6,則l的方程為eq\f<x,6>＋eq\f<y,－6>＝1,即x－y－6＝0．故所求直線l的方程為x－7y＝0或x－y－6＝0．3．2．3直線的一般式方程[課時目標]1．了解二元一次方程與直線的對應關(guān)系．2．掌握直線方程的一般式．3．根據(jù)確定直線位置的幾何要素,探索并掌握直線方程的幾種形式之間的關(guān)系．1．關(guān)于x,y的二元一次方程________________<其中A,B________________>叫做直線的一般式方程,簡稱一般式．2．比較直線方程的五種形式<填空>形式方程局限各常數(shù)的幾何意義點斜式不能表示k不存在的直線<x0,y0>是直線上一定點,k是斜率斜截式不能表示k不存在的直線k是斜率,b是y軸上的截距兩點式x1≠x2,y1≠y2<x1,y1>、<x2,y2>是直線上兩個定點截距式不能表示與坐標軸平行及過原點的直線a是x軸上的非零截距,b是y軸上的非零截距一般式無當B≠0時,－eq\f<A,B>是斜率,－eq\f<C,B>是y軸上的截距一、選擇題1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直線,則A、B應滿足的條件為<>A．A≠0B．B≠0C．A·B≠0D．A2＋B2≠02．直線<2m2－5m＋2>x－<m2－4>y＋5m＝0的傾斜角為45°,則m的值為<>A．－2B．2C．－3D．33．直線x＋2ay－1＝0與<a－1>x＋ay＋1＝0平行,則a的值為<>A．eq\f<3,2>B．eq\f<3,2>或0C．0D．－2或04．直線l過點<－1,2>且與直線2x－3y＋4＝0垂直,則l的方程是<>A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝05．直線l1：ax－y＋b＝0,l2：bx－y＋a＝0<a≠0,b≠0,a≠b>在同一坐標系中的圖形大致是<>6．直線ax＋by＋c＝0<ab≠0>在兩坐標軸上的截距相等,則a,b,c滿足<>A．a(chǎn)＝bB．|a|＝|b|且c≠0C．a(chǎn)＝b且c≠0D．a(chǎn)＝b或c＝0二、填空題7．直線x＋2y＋6＝0化為斜截式為________,化為截距式為________．8．已知方程<2m2＋m－3>x＋<m2－m>y－4m＋1＝0表示直線,則m的取值范圍是______________．9．已知A<0,1>,點B在直線l1：x＋y＝0上運動,當線段AB最短時,直線AB的一般式方程為________．三、解答題10．根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程,并化為一般式方程：<1>斜率為eq\r<3>,且經(jīng)過點A<5,3>；<2>過點B<－3,0>,且垂直于x軸；<3>斜率為4,在y軸上的截距為－2；<4>在y軸上的截距為3,且平行于x軸；<5>經(jīng)過C<－1,5>,D<2,－1>兩點；<6>在x軸,y軸上截距分別是－3,－1．11．已知直線l1：<m＋3>x＋y－3m＋4＝0,l2：7x＋<5－m>y－8＝0,問當m為何值時,直線l1與l2平行．能力提升12．將一張坐標紙折疊一次,使點<0,2>與點<4,0>重合,且點<7,3>與點<m,n>重合,則m＋n的值為<>A．8B．eq\f<34,5>C．4D．1113．已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0．<1>求證：不論a為何值,直線l總經(jīng)過第一象限；<2>為使直線不經(jīng)過第二象限,求a的取值范圍．1．在求解直線的方程時,要由問題的條件、結(jié)論,靈活地選用公式,使問題的解答變得簡捷．2．直線方程的各種形式之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系,它是直線在不同條件下的不同的表現(xiàn)形式,要掌握好各種形式的適用范圍和它們之間的互化,如把一般式Ax＋By＋C＝0化為截距式有兩種方法：一是令x＝0,y＝0,求得直線在y軸上的截距B和在x軸上的截距A；二是移常項,得Ax＋By＝－C,兩邊除以－C<C≠0>,再整理即可．3．根據(jù)兩直線的一般式方程判定兩直線垂直的方法：①若一個斜率為零,另一個不存在則垂直．若兩個都存在斜率,化成斜截式后則k1k2＝－1．②一般地,設l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0,l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0,第二種方法可避免討論,減小失誤．3．2．3直線的一般式方程答案知識梳理1．Ax＋By＋C＝0不同時為02．y－y0＝k<x－x0>y＝kx＋beq\f<y－y1,y2－y1>＝eq\f<x－x1,x2－x1>eq\f<x,a>＋eq\f<y,b>＝1Ax＋By＋C＝0作業(yè)設計1．D2．D[由已知得m2－4≠0,且eq\f<2m2－5m＋2,m2－4>＝1,解得：m＝3或m＝2<舍去>．]3．A4．A[由題意知,直線l的斜率為－eq\f<3,2>,因此直線l的方程為y－2＝－eq\f<3,2><x＋1>,即3x＋2y－1＝0．]5．C[將l1與l2的方程化為斜截式得：y＝ax＋b,y＝bx＋a,根據(jù)斜率和截距的符號可得C．]6．D[直線在兩坐標軸上的截距相等可分為兩種情形：<1>截距等于0,此時只要c＝0即可；<2>截距不等于0,此時c≠0,直線在兩坐標軸上的截距分別為－eq\f<c,a>、－eq\f<c,b>．若相等,則有－eq\f<c,a>＝－eq\f<c,b>,即a＝b．綜合<1><2>可知,若ax＋by＋c＝0<ab≠0>表示的直線在兩坐標軸上的截距相等,則a＝b或c＝0．]7．y＝－eq\f<1,2>x－3eq\f<x,－6>＋eq\f<y,－3>＝18．m∈R且m≠1解析由題意知,2m2＋m－3與m2－m不能同時為0,由2m2＋m－3≠0得m≠1且m≠－eq\f<3,2>；由m2－m≠0,得m≠0且m≠1,故m≠1．9．x－y＋1＝0解析AB⊥l1時,AB最短,所以AB斜率為k＝1,方程為y－1＝x,即x－y＋1＝0．10．解<1>由點斜式方程得y－3＝eq\r<3><x－5>,即eq\r<3>x－y＋3－5eq\r<3>＝0．<2>x＝－3,即x＋3＝0．<3>y＝4x－2,即4x－y－2＝0．<4>y＝3,即y－3＝0．<5>由兩點式方程得eq\f<y－5,－1－5>＝eq\f<x－－1,2－－1>,即2x＋y－3＝0．<6>由截距式方程得eq\f<x,－3>＋eq\f<y,－1>＝1,即x＋3y＋3＝0．11．解當m＝5時,l1：8x＋y－11＝0,l2：7x－8＝0．顯然l1與l2不平行,同理,當m＝－3時,l1與l2也不平行．當m≠5且m≠－3時,l1∥l2?eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<－m＋3＝\f<7,m－5>,3m－4≠\f<8,5－m>>>,∴m＝－2．∴m為－2時,直線l1與l2平行．12．B[點<0,2>與點<4,0>關(guān)于直線y－1＝2<x－2>對稱,則點<7,3>與點<m,n>也關(guān)于直線y－1＝2<x－2>對稱,則eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\f<n＋3,2>－1＝2\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<m＋7,2>－2>>,\f<n－3,m－7>＝－\f<1,2>>>,解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<m＝\f<3,5>,n＝\f<31,5>>>,故m＋n＝eq\f<34,5>．]13．<1>證明將直線l的方程整理為y－eq\f<3,5>＝a<x－eq\f<1,5>>,∴l(xiāng)的斜率為a,且過定點A<eq\f<1,5>,eq\f<3,5>>．而點A<eq\f<1,5>,eq\f<3,5>>在第一象限,故l過第一象限．∴不論a為何值,直線l總經(jīng)過第一象限．<2>解直線OA的斜率為k＝eq\f<\f<3,5>－0,\f<1,5>－0>＝3．∵l不經(jīng)過第二象限,∴a≥3．§3．3直線的交點坐標與距離公式3．3．1兩條直線的交點坐標[課時目標]1．掌握求兩條直線交點的方法．2．掌握通過求方程組解的個數(shù),判定兩直線位置關(guān)系的方法．3．通過本節(jié)的學習初步體會用代數(shù)方法研究幾何問題的解析思想．1．兩條直線的交點已知兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0．若兩直線方程組成的方程組eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0>>有唯一解eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝x0,y＝y(tǒng)0>>,則兩直線______,交點坐標為________．2．方程組的解的組數(shù)與兩直線的位置關(guān)系方程組的解交點兩直線位置關(guān)系方程系數(shù)特征無解兩直線____交點平行A1B2＝A2B1B1C2≠B2C1有唯一解兩條直線有______個交點相交A1B2≠A2B1有無數(shù)個解兩條直線有________個交點重合A1B2＝A2B1B2C1＝B1C2一、選擇題1．直線l1：<eq\r<2>－1>x＋y＝2與直線l2：x＋<eq\r<2>＋1>y＝3的位置關(guān)系是<>A．平行B．相交C．垂直D．重合2．經(jīng)過直線2x－y＋4＝0與x－y＋5＝0的交點,且垂直于直線x－2y＝0的直線的方程是<>A．2x＋y－8＝0B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0D．2x－y＋8＝03．直線ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一點,則a的值為<>A．1B．－1C．2D．－24．兩條直線l1：2x＋3y－m＝0與l2：x－my＋12＝0的交點在y軸上,那么m的值為<>A．－24B．6C．±6D．以上答案均不對5．已知直線l1：x＋m2y＋6＝0,l2：<m－2>x＋3my＋2m＝0,l1∥l2,則m的值是<>A．m＝3B．m＝0C．m＝0或m＝3D．m＝0或m＝－16．直線l與兩直線y＝1和x－y－7＝0分別交于A,B兩點,若線段AB的中點為M<1,－1>,則直線l的斜率為<>A．eq\f<3,2>B．eq\f<2,3>C．－eq\f<3,2>D．－eq\f<2,3>二、填空題7．若集合{<x,y>|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{<x,y>|y＝3x＋b},則b＝________．8．已知直線l過直線l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交點,且平行于l3：x＋2y－5＝0,則直線l的方程是______________．9．當a取不同實數(shù)時,直線<2＋a>x＋<a－1>y＋3a＝0恒過一個定點,這個定點的坐標為________．三、解答題10．求經(jīng)過兩直線2x＋y－8＝0與x－2y＋1＝0的交點,且在y軸上的截距為x軸上截距的兩倍的直線l的方程．11．已知△ABC的三邊BC,CA,AB的中點分別是D<－2,－3>,E<3,1>,F<－1,2>．先畫出這個三角形,再求出三個頂點的坐標．能力提升12．在△ABC中,BC邊上的高所在直線的方程為x－2y＋1＝0,∠A的角平分線所在直線的方程為y＝0,若點B的坐標為<1,2>,求點A和點C的坐標．13．一束平行光線從原點O<0,0>出發(fā),經(jīng)過直線l：8x＋6y＝25反射后通過點P<－4,3>,求反射光線與直線l的交點坐標．1．過定點<x0,y0>的直線系方程y－y0＝k<x－x0>是過定點<x0,y0>的直線系方程,但不含直線x＝x0；A<x－x0>＋B<y－y0>＝0是過定點<x0,y0>的一切直線方程．2．與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程為Ax＋By＋D＝0<D≠C>．與y＝kx＋b平行的直線系方程為y＝kx＋m<m≠b>．3．過兩條直線交點的直線系方程：過兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ<A2x＋B2y＋C2>＝0<λ∈R>,但此方程中不含l2；一般形式是m<A1x＋B1y＋C1>＋n<A2x＋B2y＋C2>＝0<m2＋n2≠0>,是過l1與l2交點的所有直線方程．§3．3直線的交點坐標與距離公式3．3．1兩條直線的交點坐標答案知識梳理1．相交<x0,y0>2．無1無數(shù)作業(yè)設計1．A[化成斜截式方程,斜率相等,截距不等．]2．A[首先解得交點坐標為<1,6>,再根據(jù)垂直關(guān)系得斜率為－2,可得方程y－6＝－2<x－1>,即2x＋y－8＝0．]3．B[首先聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<4x＋3y＝10,2x－y＝10>>,解得交點坐標為<4,－2>,代入方程ax＋2y＋8＝0得a＝－1．]4．C[2x＋3y－m＝0在y軸上的截距為eq\f<m,3>,直線x－my＋12＝0在y軸上的截距為eq\f<12,m>,由eq\f<12,m>＝eq\f<m,3>得m＝±6．]5．D[l1∥l2,則1·3m＝<m－2>·m2,解得m＝0或m＝－1或m＝3．又當m＝3時,l1與l2重合,故m＝0或m＝－1．]6．D[設直線l與直線y＝1的交點為A<x1,1>,直線l與直線x－y－7＝0的交點為B<x2,y2>,因為M<1,－1>為AB的中點,所以－1＝eq\f<1＋y2,2>即y2＝－3,代入直線x－y－7＝0得x2＝4,因為點B,M都在直線l上,所以kl＝eq\f<－3＋1,4－1>＝－eq\f<2,3>．故選D．]7．2解析首先解得方程組eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋y－2＝0,x－2y＋4＝0>>的解為eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝0,y＝2>>,代入直線y＝3x＋b得b＝2．8．8x＋16y＋21＝09．<－1,－2>解析直線方程可寫成a<x＋y＋3>＋2x－y＝0,則該直線系必過直線x＋y＋3＝0與直線2x－y＝0的交點,即<－1,－2>．10．解<1>2x＋y－8＝0在x軸、y軸上的截距分別是4和8,符合題意．<2>當l的方程不是2x＋y－8＝0時,設l：<x－2y＋1>＋λ<2x＋y－8>＝0,即<1＋2λ>x＋<λ－2>y＋<1－8λ>＝0．據(jù)題意,1＋2λ≠0,λ－2≠0．令x＝0,得y＝－eq\f<1－8λ,λ－2>；令y＝0,得x＝－eq\f<1－8λ,1＋2λ>．∴－eq\f<1－8λ,λ－2>＝2·eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1－8λ,1＋2λ>>>解之得λ＝eq\f<1,8>,此時y＝eq\f<2,3>x．∴所求直線方程為2x＋y－8＝0或y＝eq\f<2,3>x．11．解如圖,過D,E,F分別作EF,FD,DE的平行線,作出這些平行線的交點,就是△ABC的三個頂點A,B,C．由已知得,直線DE的斜率kDE＝eq\f<1＋3,3＋2>＝eq\f<4,5>,所以kAB＝eq\f<4,5>．因為直線AB過點F,所以直線AB的方程為y－2＝eq\f<4,5><x＋1>,即4x－5y＋14＝0．①由于直線AC經(jīng)過點E<3,1>,且平行于DF,同理可得直線AC的方程5x－y－14＝0．②聯(lián)立①,②,解得點A的坐標是<4,6>．同樣,可以求得點B,C的坐標分別是<－6,－2>,<2,－4>．因此,△ABC的三個頂點是A<4,6>,B<－6,－2>,C<2,－4>．12．解如圖所示,由已知,A應是BC邊上的高線所在直線與∠A的角平分線所在直線的交點．由eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x－2y＋1＝0,y＝0>>,得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y＝0,x＝－1>>,故A<－1,0>．又∠A的角平分線為x軸,故kAC＝－kAB＝－1,<也可得B關(guān)于y＝0的對稱點<1,－2>．∴AC方程為y＝－<x＋1>,又kBC＝－2,∴BC的方程為y－2＝－2<x－1>,由eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y＝－x＋1,y－2＝－2x－1>>,得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝5,y＝－6>>,故C點坐標為<5,－6>．13．解設原點關(guān)于l的對稱點A的坐標為<a,b>,由直線OA與l垂直和線段AO的中點在l上得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\f<b,a>·\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<4,3>>>＝－1,8×\f<a,2>＋6×\f<b,2>＝25>>,解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a＝4,b＝3>>,∴A的坐標為<4,3>．∵反射光線的反向延長線過A<4,3>,又由反射光線過P<－4,3>,兩點縱坐標相等,故反射光線所在直線方程為y＝3．由方程組eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y＝3,8x＋6y＝25>>,解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝\f<7,8>,y＝3>>,∴反射光線與直線l的交點坐標為eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<7,8>,3>>．3．3．2兩點間的距離[課時目標]1．理解并掌握平面上兩點之間的距離公式的推導方法．2．能熟練應用兩點間的距離公式解決有關(guān)問題,進一步體會解析法的思想．1．若平面上兩點P1、P2的坐標分別為P1<x1,y1>,P2<x2,y2>,則P1、P2兩點間的距離公式為|P1P2|＝________________．特別地,原點O<0,0>與任一點P<x,y>的距離為|OP|＝________．2．用坐標法<解析法>解題的基本步驟可以概括為：第一步：________________________________________________．第二步：________________________．第三步：____________________________________．一、選擇題1．已知點A<－3,4>和B<0,b>,且|AB|＝5,則b等于<>A．0或8B．0或－8C．0或6D．0或－62．以A<1,5>,B<5,1>,C<－9,－9>為頂點的三角形是<>A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．無法確定3．設點A在x軸上,點B在y軸上,AB的中點是P<2,－1>,則|AB|等于<>A．5B．4eq\r<2>C．2eq\r<5>D．2eq\r<10>4．已知點A<1,2>,B<3,1>,則到A,B兩點距離相等的點的坐標滿足的條件是<>A．4x＋2y＝5B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5D．x－2y＝55．已知A<－3,8>,B<2,2>,在x軸上有一點M,使得|MA|＋|MB|最短,則點M的坐標是<>A．<－1,0>B．<1,0>C．eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<22,5>,0>>D．eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<22,5>>>6．設A,B是x軸上兩點,點P的橫坐標為2,且|PA|＝|PB|,若直線PA的方程為x－y＋1＝0,則直線PB的方程為<>A．x＋y－5＝0B．2x－y－1＝0C．2y－x－4＝0D．2x＋y－7＝0二、填空題7．已知點A<x,5>關(guān)于點C<1,y>的對稱點是B<－2,－3>,則點P<x,y>到原點的距離是________．8．點M到x軸和到點N<－4,2>的距離都等于10,則點M的坐標為______________．9．等腰△ABC的頂點是A<3,0>,底邊長|BC|＝4,BC邊的中點是D<5,4>,則此三角形的腰長為________．三、解答題10．已知直線l：y＝－2x＋6和點A<1,－1>,過點A作直線l1與直線l相交于B點,且|AB|＝5,求直線l1的方程．11．求證：三角形的中位線長度等于底邊長度的一半．能力提升12．求函數(shù)y＝eq\r<x2－8x＋20>＋eq\r<x2＋1>的最小值．13．求證：eq\r<x2＋y2>＋eq\r<x2＋1－y2>＋eq\r<1－x2＋y2>＋eq\r<1－x2＋1－y2>≥2eq\r<2>．1．坐標平面內(nèi)兩點間的距離公式,是解析幾何中的最基本最重要的公式之一,利用它可以求平面上任意兩個已知點間的距離．反過來,已知兩點間的距離也可以根據(jù)條件求其中一個點的坐標．2．平面幾何中與線段長有關(guān)的定理和重要結(jié)論,可以用解析法來證明．用解析法解題時,由于平面圖形的幾何性質(zhì)是不依賴于平面直角坐標系的建立而改變的,但不同的平面直角坐標系會使計算有繁簡之分,因此在建立直角坐標系時必須"避繁就簡"．3．3．2兩點間的距離答案知識梳理1．eq\r<x2－x12＋y2－y12>eq\r<x2＋y2>2．建立坐標系,用坐標表示有關(guān)的量進行有關(guān)代數(shù)運算把代數(shù)運算結(jié)果"翻譯"成幾何關(guān)系作業(yè)設計1．A[由eq\r<－32＋4－b2>＝5,解得b＝0或8．]2．B3．C[設A<a,0>,B<0,b>,則eq\f<a,2>＝2,eq\f<b,2>＝－1,解得a＝4,b＝－2,∴|AB|＝2eq\r<5>．]4．B[設到A、B距離相等的點P<x,y>,則由|PA|＝|PB|得,4x－2y＝5．]5．B[<如圖>A關(guān)于x軸對稱點為A′<－3,－8>,則A′B與x軸的交點即為M,求得M坐標為<1,0>．]6．A[由已知得A<－1,0>,P<2,3>,由|PA|＝|PB|,得B<5,0>,由兩點式得直線PB的方程為x＋y－5＝0．]7．eq\r<17>解析由題意知eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<1＝\f<x－2,2>,,y＝\f<5－3,2>,>>解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝4,,y＝1.>>∴d＝eq\r<42＋12>＝eq\r<17>．8．<2,10>或<－10,10>解析設M<x,y>,則|y|＝eq\r<x＋42＋y－22>＝10．解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝2,,y＝10>>或eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝－10,,y＝10>>．9．2eq\r<6>解析|BD|＝eq\f<1,2>|BC|＝2,|AD|＝eq\r<5－32＋4－02>＝2eq\r<5>．在Rt△ADB中,由勾股定理得腰長|AB|＝eq\r<22＋2\r<5>2>＝2eq\r<6>．10．解由于B在l上,可設B點坐標為<x0,－2x0＋6>．由|AB|2＝<x0－1>2＋<－2x0＋7>2＝25,化簡得xeq\o\al<2,0>－6x0＋5＝0,解得x0＝1或5．當x0＝1時,AB方程為x＝1,當x0＝5時,AB方程為3x＋4y＋1＝0．綜上,直線l1的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0．11．證明如圖所示,D,E分別為邊AC和BC的中點,以A為原點,邊AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系．設A<0,0>,B<c,0>,C<m,n>,則|AB|＝c,又由中點坐標公式,可得Deq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<m,2>,\f<n,2>>>,Eeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<c＋m,2>,\f<n,2>>>,所以|DE|＝eq\f<c＋m,2>－eq\f<m,2>＝eq\f<c,2>,所以|DE|＝eq\f<1,2>|AB|．即三角形的中位線長度等于底邊長度的一半．12．解原式可化為y＝eq\r<x－42＋0－22>＋eq\r<x－02＋0－12>．考慮兩點間的距離公式,如圖所示,令A<4,2>,B<0,1>,P<x,0>,則上述問題可轉(zhuǎn)化為：在x軸上求一點P<x,0>,使得|PA|＋|PB|最?。鼽cA<4,2>關(guān)于x軸的對稱點A′<4,－2>,由圖可直觀得出|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|,故|PA|＋|PB|的最小值為A′B的長度．由兩點間的距離公式可得|A′B|＝eq\r<42＋－2－12>＝5,所以函數(shù)y＝eq\r<x2－8x＋20>＋eq\r<x2＋1>的最小值為5．13．證明如圖所示,設點O<0,0>,A<x,y>,B<1,0>,C<1,1>,D<0,1>,則原不等式左邊＝|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|,∵|OA|＋|AC|≥|OC|＝eq\r<2>,|AB|＋|AD|≥|BD|＝eq\r<2>,∴|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|≥2eq\r<2><當且僅當A是OC與BD的交點時等號成立>,故原不等式成立．3．3．3點到直線的距離3．3．4兩條平行直線間的距離[課時目標]1．會應用點到直線的距離公式求點到直線的距離．2．掌握兩條平行直線間的距離公式并會應用．3．能綜合應用平行與垂直的關(guān)系解決有關(guān)距離問題．點到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間____________的長圖示公式<或求法>點P<x0,y0>到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝________________兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝__________________一、選擇題1．點<2,3>到直線y＝1的距離為<>A．1B．－1C．0D．22．原點到直線3x＋4y－26＝0的距離是<>A．eq\f<26\r<7>,7>B．eq\f<26,5>C．eq\f<24,5>D．eq\f<27,5>3．點P<x,y>在直線x＋y－4＝0上,O是原點,則|OP|的最小值是<>A．eq\r<10>B．2eq\r<2>C．eq\r<6>D．24．P、Q分別為3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋6＝0上任一點,則|PQ|的最小值為<>A．eq\f<9,5>B．eq\f<18,5>C．3D．65．過點P<0,1>且和A<3,3>,B<5,－1>距離相等的直線的方程是<>A．y＝1B．2x＋y－1＝0C．y＝1或2x＋y－1＝0D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝06．兩平行直線l1,l2分別過點P<－1,3>,Q<2,－1>,它們分別繞P、Q旋轉(zhuǎn),但始終保持平行,則l1,l2之間的距離的取值范圍是<>A．<0,＋∞>B．[0,5]C．<0,5]D．[0,eq\r<17>]二、填空題7．過點A<2,1>的所有直線中,距離原點最遠的直線方程為______________．8．若直線3x＋4y＋12＝0和6x＋8y－11＝0間的距離為一圓的直徑,則此圓的面積為________．9．已知直線3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行,則它們之間的距離是________．三、解答題10．已知直線l經(jīng)過點P<－2,5>,且斜率為－eq\f<3,4>．<1>求直線l的方程；<2>若直線m與l平行,且點P到直線m的距離為3,求直線m的方程．11．△ABC的三個頂點是A<－1,4>,B<－2,－1>,C<2,3>．<1>求BC邊的高所在直線方程；<2>求△ABC的面積S．能力提升12．如圖,已知直線l1：x＋y－1＝0,現(xiàn)將直線l1向上平移到直線l2的位置,若l2、l1和坐標軸圍成的梯形面積為4,求l2的方程．13．已知正方形的中心為直線2x－y＋2＝0,x＋y＋1＝0的交點,正方形一邊所在的直線方程為x＋3y－5＝0,求正方形其他三邊的方程．1．在使用點到直線的距離公式時,應注意以下兩點：<1>若方程不是一般式,需先化為一般式．<2>當點P在直線上時,公式仍成立,點P到直線的距離為0．2．在使用兩平行線間的距離公式時,要先把直線方程化為一般式,且兩直線方程中x,y的系數(shù)要化為分別相等的數(shù)．3．注意數(shù)形結(jié)合思想的運用,將抽象的代數(shù)問題幾何化,要能見"數(shù)"想"形",以"形"助"數(shù)"．3．3．3點到直線的距離3．3．4兩條平行直線間的距離答案知識梳理公垂線段eq\f<|Ax0＋By0＋C|,\r<A2＋B2>>eq\f<|C2－C1|,\r<A2＋B2>>作業(yè)設計1．D[畫圖可得；也可用點到直線的距離公式．]2．B3．B[|OP|最小值即為O到直線x＋y－4＝0的距離,∴d＝eq\f<|－4|,\r<2>>＝2eq\r<2>．]4．C[|PQ|的最小值即為兩平行線間的距離,d＝eq\f<|3＋12|,5>＝3．]5．C[①所求直線平行于AB,∵kAB＝－2,∴其方程為y＝－2x＋1,即2x＋y－1＝0．②所求直線過線段AB的中點M<4,1>,∴所求直線方程為y＝1．]6．C[當這兩條直線l1,l2與直線PQ垂直時,d達到最大值,此時d＝eq\r<2＋12＋－1－32>＝5．∴0<d≤5．]7．2x＋y－5＝0解析如圖所示,只有當直線l與OA垂直時,原點到l的距離最大,此時kOA＝eq\f<1,2>,∴kl＝－2,∴方程為y－1＝－2<x－2>,即2x＋y－5＝0．8．eq\f<49,16>π9．eq\f<7\r<13>,26>解析直線3x＋2y－3＝0變?yōu)?x＋4y－6＝0,∴m＝4．由兩條平行線間的距離公式得d＝eq\f<|－6－1|,\r<62＋42>>＝eq\f<7\r<13>,26>．10．解<1>由點斜式方程得,y－5＝－eq\f<3,4><x＋2>,∴3x＋4y－14＝0．<2>設m的方程為3x＋4y＋c＝0,則由平行線間的距離公式得,eq\f<|c＋14|,5>＝3,c＝1或－29．∴3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0．11．解<1>設BC邊的高所在直線為l,由題知kBC＝eq\f<3－－1,2－－2>＝1,則kl＝eq\f<－1,kBC>＝－1,又點A<－1,4>在直線l上,所以直線l的方程為y－4＝－1×<x＋1>,即x＋y－3＝0．<2>BC所在直線方程為：y＋1＝1×<x＋2>,即x－y＋1＝0,點A<－1,4>到BC的距離d＝eq\f<|－1－4＋1|,\r<12＋－12>>＝2eq\r<2>,又|BC|＝eq\r<－2－22＋－1－32>＝4eq\r<2>則S△ABC＝eq\f<1,2>·|BC|·d＝eq\f<1,2>×4eq\r<2>×2eq\r<2>＝8．12．解設l2的方程為y＝－x＋b<b>1>,則圖中A<1,0>,D<0,1>,B<b,0>,C<0,b>．∴|AD|＝eq\r<2>,|BC|＝eq\r<2>b．梯形的高h就是A點到直線l2的距離,故h＝eq\f<|1＋0－b|,\r<2>>＝eq\f<|b－1|,\r<2>>＝eq\f<b－1,\r<2>><b>1>,由梯形面積公式得eq\f<\r<2>＋\r<2>b,2>×eq\f<b－1,\r<2>>＝4,∴b2＝9,b＝±3．但b>1,∴b＝3．從而得到直線l2的方程是x＋y－3＝0．13．解設與直線l：x＋3y－5＝0平行的邊的直線方程為l1：x＋3y＋c＝0．由eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2x－y＋2＝0,x＋y＋1＝0>>得正方形的中心坐標P<－1,0>,由點P到兩直線l,l1的距離相等,則eq\f<|－1－5|,\r<12＋32>>＝eq\f<|－1＋c|,\r<12＋32>>,得c＝7或c＝－5<舍去>．∴l(xiāng)1：x＋3y＋7＝0．又∵正方形另兩邊所在直線與l垂直,∴設另兩邊方程為3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0．∵正方形中心到四條邊的距離相等,∴eq\f<|－3＋a|,\r<32＋12>>＝eq\f<|－1－5|,\r<12＋32>>,得a＝9或－3,∴另兩條邊所在的直線方程為3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0．∴另三邊所在的直線方程分別為3x－y＋9＝0,x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0．習題課直線的位置關(guān)系與距離公式[課時目標]熟練掌握直線的位置關(guān)系<平行、垂直>及距離公式,能靈活應用它們解決有關(guān)的綜合問題．1．eq\a\vs4\al<三個距,離公式>eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<1兩點P1x1,y1,P2x2,y2的距離,|P1P2|＝.,2點Px0,y0到直線l：Ax＋By＋C＝0,的距離d＝.,3平行線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋,By＋C2＝0間的距離d＝.>>2．三種常見的對稱問題<1>點關(guān)于點的對稱點P<x0,y0>關(guān)于點M<a,b>的對稱點為P′________________．<2>點關(guān)于直線的對稱若兩點P1<x1,y1>與P2<x2,y2>關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱,則由方程組eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<A·\f<x1＋x2,2>＋B·\f<y1＋y2,2>＋C＝0,,>>可得點P1關(guān)于l對稱的點P2的坐標<x2,y2><其中A≠0,x1≠x2>．<3>線關(guān)于點、線的對稱線是點構(gòu)成的集合,直線的方程是直線上任一點P<x,y>的坐標x,y滿足的表達式,故求直線關(guān)于點、線的對稱,可轉(zhuǎn)化為求該直線上任一點關(guān)于點、線的對稱．一、選擇題1．點<3,9>關(guān)于直線x＋3y－10＝0的對稱點為<>A．<－13,1>B．<－2,－6>C．<－1,－3>D．<17,－9>2．和直線3x－4y＋5＝0關(guān)于x軸對稱的直線方程為<>A．3x＋4y－5＝0B．3x＋4y＋5＝0C．－3x＋4y－5＝0D．－3x＋4y＋5＝03．在直線3x－4y－27＝0上到點P<2,1>距離最近的點的坐標是<>A．<5,－3>B．<9,0>C．<－3,5>D．<－5,3>4．過點<1,3>且與原點的距離為1的直線共有<>A．3條B．2條C．1條D．0條5．若點<5,b>在兩條平行直線6x－8y＋1＝0與3x－4y＋5＝0之間,則整數(shù)b的值為<>A．5B．－5C．4D．－46．已知實數(shù)x,y滿足5x＋12y＝60,則eq\r<x2＋y2－2x－4y＋5>的最小值是<>A．eq\f<31,13>B．eq\f<89,13>C．13D．不存在二、填空題7．點A<4,5>關(guān)于直線l的對稱點為B<－2,7>,則l的方程為________________．8．如圖所示,已知△ABC的頂點是A<－1,－1>,B<3,1>,C<1,6>,直線l平行于AB,且分別交AC、BC于E、F,△CEF的面積是△CAB面積的eq\f<1,4>,則直線l的方程為________．9．設點A<－3,5>和B<2,15>,在直線l：