第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質

第十節(jié)

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質教學內容最大值與最小值的定義有界性與最大值最小值定理零點定理與介值定理教學重點幾個定理的簡單應用本節(jié)要求了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質及其簡單應用。1第一章第十節(jié)2第一章第十節(jié)一、最大值和最小值定理定義:對于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f

(x),如果有x0

?

I

,

使得對于任一x

?

I

都有f

(

x)

￡

f

(

x0

) (

f

(

x)

?

f

(

x0

))則稱f

(x0

)是函數(shù)f

(x)在區(qū)間I上的最大(小)值.注：最值是在整個區(qū)間上的一種定義的，而不是局部的例如,

y

=

1

+

sin

x,y

=

sgnx,

在(-￥

,+￥

)上,

ymax=

2,

ymin在[0,2p]上,

ymax=

-1;ymin=

1.在(0,+￥

)上,

ymax

=

ymin=

0;=

1,定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.x2

x1

bx3第一章第十節(jié)yo

ay

=

f

(

x)則$x1

,x2

?

[a,b],使得"x

?

[a,b],有f

(x1

)?f

(x),若f

(x)?

C[a,b],2f

(x

)

￡

f

(

x).注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,

定理不一定成立;2.若區(qū)間內有間斷點,

定理不一定成立.xyoy

=

f

(

x)1

21xyop2y

=

f

(

x)定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.設函數(shù)f

(x)在[a,b]上連續(xù),證

"

x

?

[a,

b],取K

=max{

m

,M

},有m

￡

f

(x)￡

M

,則有f

(x)￡

K

.4第一章第十節(jié)\函數(shù)f

(x)在[a,b]上有界.5第一章第十節(jié)二、介值定理f

(x

)的零點.定理3(零點定理)設函數(shù)f

(x

)在閉區(qū)間a,

b]上連續(xù)，且

f

(a

)與

f

(b)異號(即

f

(a

)

f

(b)

<

0),那末在開區(qū)間a,b)內至少有一點x(a

<x<b)，使

f

(x)=0.即方程f

(x)=0在(a,b)內至少存在一個實根.定義:如果

x0使

f

(

x0

)

=

0,

則

x0稱為函數(shù)bx3x6第一章第十節(jié)ya

oy

=

f

(

x)x1

x2幾何解釋:連續(xù)曲線弧y

=f

(x)的兩個端點位于x軸的不同側,曲線上的動點從直線y

=0的一側連續(xù)爬到另一側，至少要通過直線y

=0一次，即曲線弧與x軸至少有一個交點，交點的橫坐標就是x，f

(x)=0.這個定理常用來確定方程f

(x

=

0的解的存在性與存在范圍。7第一章第十節(jié)定理4(介值定理)設函數(shù)f

(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值f

(a)=A

及f

(b)=B

,那末，對于A

與B

之間的任意一個數(shù)C

，在開區(qū)間(a,b)內至少有一點x

，使得f

(x

)=C(a

<

x<

b).直線y

=C至少有一個交點.推論

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值

M

與最小值

m

之間的任何值.連續(xù)曲線弧y

=f

(x)與水平幾何解釋:8第一章第十節(jié)證明：f

(x)在(-￥，+￥)上有界。xfi￥三 性質的應用舉例例題1

求證x5

-3x

-1=0在(1，2

至少有一個根。例題2

求證x3

-

9x

=1恰好有三個實根。例題3

設f

(x

?

C

a,

b

,

且a

￡

f

(x

￡

b,求證：$x

?

[a,b],s.t.f

(x

)=x例題4

設f

(x

在(-￥，+￥

上連續(xù)，且lim

f

(x

存在例題6

設f

(x

?

C

(a,

b

且lim

f

(x

,

lim

f

(x

都存在xfi

a+

xfi

b-試證f

(x)在(a,b)上有界。例題7

設f

(x

?

C a,

b

,且恒為正。證明：對于任意x1,x2

?

[a,b](x1

<x2

)必存在一點x

?

(a,b),s.t.f

(x)=

f

(x1

)f

(x2

)9第一章第十節(jié)>0,i

=1,2,...n且=1,xi

?

[a,b].試證至少存在一點x

?

[a,b]，s.t.f

(x

)=

t1

f

(x1

)+

t2

f

(x2

)+

...

+

tn

f

(xn

)例題5

設f

(x

在

a,

b

上連續(xù)，

tin

tii

=110第一