第3章-線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性

本章結(jié)構(gòu)第3章線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.13.23.3能控性與能觀性的對(duì)偶關(guān)系3.4零極點(diǎn)對(duì)消與能控性和能觀性的關(guān)系第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性引言狀態(tài)方程反映了控制輸入對(duì)狀態(tài)的影響；輸出方程反映系統(tǒng)輸出對(duì)控制輸入和狀態(tài)的依賴(lài)能控性揭示系統(tǒng)輸入對(duì)狀態(tài)的制約能力；能觀性反映從外部對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部的觀測(cè)能力；能控性和能觀性的概念是卡爾曼在1960年提出，成為現(xiàn)代控制理論中最重要的概念，是最優(yōu)控制設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。狀態(tài)空間模型建立了輸入、狀態(tài)、輸出之間的關(guān)系第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性含義1:控制作用對(duì)狀態(tài)變量的支配系統(tǒng)輸出能否反映狀態(tài)變量含義2:可控性:能否找到控制作用使任意初態(tài)可觀測(cè)性:能否由輸出量的測(cè)量值

引言可控性。可觀測(cè)性。確定終態(tài)。各狀態(tài)。3第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性

如果系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)都可由輸入來(lái)影響和控制,而由任意的始點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn),則系統(tǒng)可控(狀態(tài)可控)。如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量的任意形式的運(yùn)動(dòng)均可由輸出完全反映,則稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)可觀測(cè)的。引言4第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性引例:給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述:

解:展開(kāi)表明:狀態(tài)變量,都可通過(guò)選擇輸入u而由始點(diǎn)輸出y只能反映狀態(tài)變量,所以不可觀測(cè)。

引言終點(diǎn),所以完全可控。5第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.1能控性3.1.1定義

若線(xiàn)性連續(xù)定常系統(tǒng)：如果存在一個(gè)無(wú)約束的輸入u(t)，能在有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)，使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)x(t0)=x0，轉(zhuǎn)移到指定的任意終端狀態(tài)x(tf)=xf，則稱(chēng)此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱(chēng)系統(tǒng)是完全能控的，或簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)是能控的。

有時(shí)也稱(chēng)矩陣（A，B）是能控的。若系統(tǒng)存在某一個(gè)狀態(tài)x(t0)不滿(mǎn)足上述條件，則此系統(tǒng)稱(chēng)為不能控系統(tǒng)。第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.1能控性3.1.1定義時(shí)間段內(nèi)存在控制輸入u第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.1.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性判別1從A與B判定能控性（能控性判據(jù)）定理3.1-1線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)(A，B)其狀態(tài)完全能控的充要條件是其能控性矩陣的秩為n，即3.1能控性第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性證明定理3.1-1已知狀態(tài)方程的解為在以下討論中，不失一般性，可設(shè)初始時(shí)刻為零，即t0=0以及終端狀態(tài)為狀態(tài)空間的原點(diǎn)，即x(tf)=0。則有利用凱萊-哈密爾頓（CayleyHamilton）定理3.1.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性判別3.1能控性第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性證明定理3.1-1利用凱萊-哈密爾頓（CayleyHamilton）定理進(jìn)而得到因tf

是固定的，所以每一個(gè)積分都代表一個(gè)確定的量，令3.1.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性判別3.1能控性第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性證明定理3.1-1若系統(tǒng)是能控的，那么對(duì)于任意給定的初始狀態(tài)x(0)都應(yīng)從上述方程中解出0，1，…，n1來(lái)。這就要求系統(tǒng)能控性矩陣的秩為n，即rank[BABA2B…An1B]=n3.1.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性判別3.1能控性第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性[例3-1]試判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。(1)

(2)

3.1.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性判別3.1能控性12第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性（1）

∴該系統(tǒng)可控。

解：

（2）

∴該系統(tǒng)不可控。3.1.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性判別3.1能控性13第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性例3-2：試判斷系統(tǒng)可控性。3.1.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性判別3.1能控性14第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性rank=2<3,不可控。解：

3.1.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性判別3.1能控性15第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性若Ａ為對(duì)角型，則狀態(tài)完全可控的充要條件為：

Ｂ中沒(méi)有任意一行的元素全為零。（此結(jié)論適用于特征值互不相等的情況）

2.可控性對(duì)角型判據(jù)3.1.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性判別3.1能控性16第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.1.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性判別17第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性

例3-3:

試確定如下幾個(gè)系統(tǒng)的可控性。1)可控3)可控2)不可控4)不可控3.1.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性判別18第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性

若為約當(dāng)型，則狀態(tài)完全可控的充要條件是：

每一個(gè)約當(dāng)塊的最后一行相應(yīng)的陣中所有的行元素不全為零。（若兩個(gè)約當(dāng)塊有相同特征值，此結(jié)論不成立。）

3.可控性約當(dāng)型判據(jù)設(shè)3.1.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性判別19第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性例3-4:

試判斷下列已經(jīng)非奇異變換成約當(dāng)規(guī)范型的系統(tǒng)的可控性。1)可控2)不可控3.1.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性判別20第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.2能觀性3.2.1定義

對(duì)任意給定的輸入信號(hào)u(t)，在有限時(shí)間tf>t0內(nèi)，能夠根據(jù)輸出量y(t)在[t0，tf]內(nèi)的測(cè)量值，唯一地確定系統(tǒng)在時(shí)刻t0的初始狀態(tài)x(t0)，則稱(chēng)此系統(tǒng)的狀態(tài)是完全能觀測(cè)的，或簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)能觀測(cè)的。討論線(xiàn)性系統(tǒng)的能觀測(cè)性?？紤]零輸入時(shí)的狀態(tài)空間表達(dá)式第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.2.1定義能觀測(cè)性的概念非常重要，這是由于在實(shí)際問(wèn)題中，狀態(tài)反饋控制遇到的困難是一些狀態(tài)變量不易直接量測(cè)。因而在構(gòu)造控制器時(shí)，必須首先估計(jì)出不可量測(cè)的狀態(tài)變量。在“系統(tǒng)綜合”部分我們將指出，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)是能觀測(cè)時(shí)，才能對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量進(jìn)行觀測(cè)或估計(jì)。3.2能觀性第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性1從A與C判定能觀性（能觀性判據(jù)）定理3.2-1線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)(A，C)其狀態(tài)完全能觀的充要條件是其能觀性矩陣3.2能觀性3.2.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀性判別的秩為n，即T第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性證明定理3.2-1已知系統(tǒng)(A，C)狀態(tài)方程的解為在以下討論中，不失一般性，可設(shè)初始時(shí)刻為零，即t0=0則有利用凱萊-哈密爾頓（CayleyHamilton）定理3.2.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀性判別1從A與C判定能觀性（能觀性判據(jù)）第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性證明定理3.2-1所以因?yàn)橐话鉳<n，此時(shí)，方程無(wú)唯一解。要使方程有唯一解，可以在不同時(shí)刻進(jìn)行觀測(cè)，得到y(tǒng)(t1)，y(t2)，…，y(tf)，此時(shí)把方程個(gè)數(shù)擴(kuò)展到n個(gè)，即1從A與C判定能觀性（能觀性判據(jù)）3.2.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀性判別第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性證明定理3.3-1上式表明，根據(jù)在（0，tf）時(shí)間間隔的測(cè)量值y(t1)，y(t2)，…，y(tf)，能將初始狀態(tài)x(0)唯一地確定下來(lái)的充要條件是能觀測(cè)性矩陣N滿(mǎn)秩。1從A與C判定能觀性（能觀性判據(jù)）3.2.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀性判別第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性例3.2-1設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為判斷其狀態(tài)能觀性。rankN=2=n

所以系統(tǒng)是能觀測(cè)的。3.2.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀性判別第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性例3.2-2:

試判斷下列系統(tǒng)的可觀測(cè)性。

解：該系統(tǒng)可觀測(cè)。

3.2.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀性判別第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性

例3.2-3:試確定使下列系統(tǒng)可觀測(cè)的a,b取值。

解：

，系統(tǒng)可觀測(cè)。

3.2.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀性判別第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性

若A為對(duì)角型，則系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充要條件是：

輸出陣C中沒(méi)有任何一列的元素全為零。（此結(jié)論適用于特征值互不相等的情況）

2.可觀測(cè)性對(duì)角型判據(jù)3.2.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀性判別第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性例3.2-3:

試判別以下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性。

（1）可觀測(cè)2.可觀測(cè)性對(duì)角型判據(jù)3.2.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀性判別（1）（2）（2）不可觀測(cè)第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性

若A為約當(dāng)型，則系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充要條件是：

C陣中與每個(gè)約當(dāng)塊的第一列相對(duì)應(yīng)的各列中，沒(méi)有一列的元素全為零，且矩陣C中對(duì)應(yīng)于互不相等的特征值的各列，沒(méi)有一列的元素全為0.(如果兩個(gè)約當(dāng)塊有相同的特征值,此結(jié)論不成立)。

3.可觀測(cè)性約當(dāng)型判據(jù)3.2.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀性判別第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性例3.2-4:

試判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性。

1)不可觀測(cè)2)可觀測(cè)3.2.2線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀性判別第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.3能控性與能觀性的對(duì)偶關(guān)系

從前面幾節(jié)的討論中可以看出控制系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性，無(wú)論從定義或其判據(jù)方面都是很相似的。這種相似關(guān)系決非偶然的巧合，而是有著內(nèi)在的必然聯(lián)系，這種必然的聯(lián)系即為對(duì)偶性原理：設(shè)系統(tǒng)1的狀態(tài)空間表達(dá)式為設(shè)系統(tǒng)2的狀態(tài)空間表達(dá)式為稱(chēng)系統(tǒng)1和系統(tǒng)2是互為對(duì)偶的，即2是1的對(duì)偶系統(tǒng)，反之，1是2的對(duì)偶系統(tǒng)。第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.3能控性與能觀性的對(duì)偶關(guān)系第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性結(jié)論：系統(tǒng)S1可控的充要條件恰是其對(duì)偶系統(tǒng)S2可觀測(cè)的充要條件；系統(tǒng)S1可觀測(cè)的充要條件又是其對(duì)偶系統(tǒng)S2可控的充要條件。3.3能控性與能觀性的對(duì)偶關(guān)系第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性定理:SISO線(xiàn)性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)若有零、極點(diǎn)對(duì)消，則視狀態(tài)變量不同的選擇，系統(tǒng)或不可控，或?yàn)椴豢捎^測(cè)，或既不可控又不可觀測(cè)。若無(wú)零、極點(diǎn)對(duì)消，則該系統(tǒng)可用一個(gè)既可控又可觀測(cè)的動(dòng)態(tài)方程來(lái)表示。

對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng):3.4零極點(diǎn)對(duì)消與能控性和能觀性的關(guān)系第3章_線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性例3.4-1:解:可控標(biāo)準(zhǔn)型:

不可觀測(cè)3.4零極點(diǎn)對(duì)消與能控性和能觀性的關(guān)系第3章_線(xiàn)