通俗簡易講解變分問題

通俗簡易講解變分問題7/28/2023第1頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月由于60至70年代有限元方法的發(fā)展及其在工程上的廣泛應(yīng)用，變分原理作為其理論基礎(chǔ)，顯示出重要性。世界上有兩個學(xué)術(shù)中心，引起各國學(xué)者的注意，一個是美國麻省理工學(xué)院的賴斯納、日本著名學(xué)者鷲津久一郎、卞學(xué)鐄等人，另一個就是錢偉長等一批中國的科學(xué)家。第2頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月以往的變分原理工作，大都是湊出來的，即首先寫出泛函，再取駐值驗證。所以每一個新原理的出現(xiàn)都是一項重要成果。錢偉長試圖找到系統(tǒng)的做法，他首先從最小位能原理和最小余能原理出發(fā)，把約束條件利用拉格朗日乘子引入泛函，從而先放松條件，得到相應(yīng)廣義化的變分原理。在變分中可以把待定的拉氏乘子確定下來，這是對建立廣義變分原理的泛函提出合乎邏輯的數(shù)學(xué)方法，無疑是一個重要成果?？上г?964年將文章投給《力學(xué)學(xué)報》后，該報的編委予以退稿處理。從審查意見中可以看到，審查者并不完全理解拉格朗日乘子法。第3頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月日本鷲津久一郎在1968年出版的《彈性和塑性力學(xué)中的變分法》一書中，才比較明確地應(yīng)用了拉氏乘子法，但還有一些要點上不夠明確，如待定乘子通過泛函駐值條件來決定的觀點還沒有反映。一直到1977年，國外的文獻(xiàn)上才有這一方面的論述。O.C·欽科維奇（Zienkiewicz）在《有限元法》一書中明確地把Courant和Hilbert的經(jīng)典著作中有關(guān)變分約束條件，待定拉格朗日乘子法加以講解，應(yīng)用到彈性力學(xué)變分原理中。比起錢偉長1964年的工作已晚了13年。第4頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月補充幾個概念（1）極值曲線（函數(shù)）。在通過已知點A、B的所有曲線（函數(shù)）y=y(x)中（函數(shù)y(x)在區(qū)間[a0,a1]上連續(xù)），求出這樣的函數(shù)，使得泛函取得極大或極小值，這樣的曲線（函數(shù)）稱為極值曲線（函數(shù)）。第5頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）容許曲線。滿足條件

的光滑曲線稱為泛函的容許曲線，即通過M0（a0,b0）、M1（a1,b1）的曲線稱為容許曲線。式中，

α為任意實數(shù)，易證曲線族

中的每條曲線都屬于容許曲線族。第6頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月變分

，

可以推導(dǎo)出在曲線

達(dá)到極值，則

必為微分方程

的解。此方程

是歐拉1744年得出的，故稱為歐拉方程。第7頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月若F不顯含x，此時泛函于是歐拉方程可降價為一階方程。第8頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法是以變分原理為基礎(chǔ)，吸取差分格式的思想而發(fā)展起來的一種有效的數(shù)值解法，它把求解無限自由度的選定函數(shù)歸結(jié)為求解有限個自由度（

中待定的節(jié)點參數(shù)值的總個數(shù)）的待定問題，具有按分布形式的節(jié)點及其一定的節(jié)點參數(shù)子區(qū)域

e稱為單元。第9頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月幾個概念泛函—函數(shù)的函數(shù)，表達(dá)式：

；

稱為變分；

泛函的極值條件。第10頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月幾個實例1.最大速降問題

坐標(biāo)原點到某點M（a,b）時間最短，是走什么軌道（軌跡）。根據(jù)歐拉方程降階歐拉方程（如果泛函不含x）第11頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月降階歐拉方程第12頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)第13頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月

滾輪（半徑為）沿x軸滾動的軌跡為旋輪線（俗稱擺線）鐘表中的齒輪齒形曲線不是漸開線而是擺線，其特點中心距不可分，優(yōu)點精確。第15頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月2.等周問題—條件泛函極值

一塊鋼板圍成什么曲面做成的半壁料倉其容積最大。化成平面問題，定長直線，圍成什么曲線使其所圍面積最大。條件：，泛函第16頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023