02-2第二章-古典模型-4-5節(jié)課件

§4離散模型一、貸款買房問題

問題：有一對(duì)夫婦為買房要向銀行借款6萬元，月利率是0.01且為復(fù)利，貸款期為25年。他們要知道每個(gè)月要償還多少錢（設(shè)為常數(shù)），才能決定自己有無能力來買房。這對(duì)夫婦每月能有900元的結(jié)余，請(qǐng)你幫助決策。

1解：已知A。＝6萬元為向銀行的貸款數(shù)，R＝0.01為月利率（即計(jì)息周期為月），問題是要知道25年（＝300月）還清本息每月要還多少（設(shè)為x）錢。

用N表示第N個(gè)月（時(shí)間變量），表示第N個(gè)月尚欠銀行的款，R表示月利率，x表示每月要還的錢數(shù)。這里要求的是x，因而把x看成因變量，可把A。，R看成參數(shù)，N看成自變量（這些都是相對(duì)的！）。本問題的數(shù)學(xué)模型可建立如下：

2因?yàn)锳。＝60000元＝A。(1+R)-x（一個(gè)月后欠銀行的錢數(shù)）

所以第N個(gè)月后尚欠銀行的錢數(shù)為

(4-1)就是本問題的數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)上稱為（線性）差分方程。

3的表達(dá)式依次代入(4-1),即得利用等比級(jí)數(shù)求和公式得

當(dāng)N＝300時(shí)，

由此即得

4從而有x≈632元。

所以，這對(duì)夫婦還是有能力買房的，但他們的結(jié)余就少了，應(yīng)急能力降低了

某借貸公司針對(duì)上述情況出了一個(gè)廣告：

本公司能幫助你提前三年還清借款，只要：(1)每半個(gè)月向公司還一次錢，錢數(shù)為316元；(2)由于文書工作多了，要求你預(yù)付三個(gè)月的錢，即預(yù)付1896元。

請(qǐng)你給分析一下借貸公司用意何在？是否賺錢？

5分析(1)這時(shí)主要是還款周期變了，從一個(gè)月變?yōu)榘雮€(gè)月，因而可設(shè)R＝0.005，x＝316，A。＝60000，

這時(shí)要求的是使的N（注意這時(shí)N表示半個(gè)月）

由(4-2)可知

從而求得N≈598（半個(gè)月）＝299月≈24.92年，即最多只能提前一個(gè)月還清。

6如果只有這一條該借貸公司真的成了慈善機(jī)構(gòu)了！問題可能出現(xiàn)在第二個(gè)“只要”上。

分析(2)預(yù)付1896元表示你只借了A。＝60000-1896＝58104元，而R＝0.005，x＝316，

由(4-3)求得N≈505（半個(gè)月）＝252.5月≈21.04年，

即提前四年就還清了（相當(dāng)于該公司至少賺了632×12＝7584元）！

這對(duì)夫婦于是明白了：可以一開始就少借一點(diǎn)錢，他們更明白了算計(jì)（數(shù)學(xué)）在家庭經(jīng)濟(jì)決策中的重要作用。

7思考題：

(1)如果有一筆存款連同連續(xù)復(fù)利一道計(jì)算，它在15年內(nèi)翻了一翻，問存款利率是多少？

(2)

一個(gè)人為了積累養(yǎng)老金,他每個(gè)月按時(shí)到銀行存100元,銀行的年利率為4%,且可以任意分段按復(fù)利計(jì)算,試問此人在5年后共積累了多少養(yǎng)老金?如果存款和復(fù)利按日計(jì)算,則他又有多少養(yǎng)老金?如果復(fù)利和存款連續(xù)計(jì)算呢?8二、席位分配模型問題：某校有200名學(xué)生，甲系100名，乙系60名，丙系40名；若學(xué)生代表有20個(gè)席位，則公平而又簡單的分法應(yīng)各有10、6、4個(gè)席位。

若丙系有6名學(xué)生分別轉(zhuǎn)入甲、乙兩系各3人，此時(shí)各系的人數(shù)為103、63、34，按比例應(yīng)分配為10.3、6.3和3.4，出現(xiàn)了小數(shù)。19席分配完后，最后一席留給小數(shù)點(diǎn)后最大的丙系，分別為10、6、4。

9現(xiàn)增加1席共21席（為了方便提案表決），重新分配，按比例計(jì)算得甲、乙、丙三系分別占席位為10.815、6.615、3.570，按上面的分法分別為11、7、3，這樣增加了個(gè)一席位，但丙系的席位反而減少了一個(gè)，你認(rèn)為合理嗎？

請(qǐng)給一個(gè)比較公平的席位分配方案。下面介紹一個(gè)席位分配模型：

設(shè)A、B兩方人數(shù)分別為

則兩方每個(gè)席位所代表的人數(shù)分別為10

“絕對(duì)不公平”不是一個(gè)好的衡量標(biāo)準(zhǔn)。

11為了改進(jìn)絕對(duì)標(biāo)準(zhǔn)，自然想到用相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)。

首先對(duì)“相對(duì)不公平”下個(gè)定義：為對(duì)A的相對(duì)不公平值，

12為對(duì)B的相對(duì)不公平值，

假設(shè)A、B兩方已分別占有

利用相對(duì)不公平的概念來討論，當(dāng)總席位再增加1席時(shí)，應(yīng)該給A方還是給B方？

13不失一般性，

即此時(shí)對(duì)A方不公平，

當(dāng)再分配1個(gè)席位時(shí)，

有以下三種可能：

這說明既使A方增加1席，

仍然對(duì)A不公平，所以這1席當(dāng)然給A方。說明當(dāng)A方增加1席時(shí)，

將對(duì)B不公平，此時(shí)計(jì)算對(duì)B的相對(duì)不公平值：

14說明當(dāng)B方增加1席時(shí)，將對(duì)A不公平，此時(shí)計(jì)算對(duì)A的相對(duì)不公平值：公平的席位分配方法應(yīng)該使得相對(duì)不公平的數(shù)值盡量地小，

所以如果則這一席應(yīng)給A方；反之，應(yīng)給B方。

根據(jù)(4-6).(4-7)兩式，(4-8)式等價(jià)于15不難證明，從上述第(1)種情況也可推出(4-9)。

于是得結(jié)論：

當(dāng)(4-9)式成立時(shí)，增加的1席應(yīng)分配給A方；反之，應(yīng)分配給B方。

則增加的1席應(yīng)分配給Q值較大的一方。將上述方法推廣到有m方分配席位的情況：

當(dāng)總席位增加1席時(shí)，計(jì)算16則這1席位應(yīng)分配給Q值最大的那一方,

現(xiàn)在利用（4-10）來解決開始的問題。

可以說前19席沒有爭(zhēng)議，即甲、乙、丙各為10、6、3，現(xiàn)在討論第20和21席應(yīng)歸于何方：

第20席計(jì)算

=96.4

=94.5=96.317即第20席應(yīng)分給甲系。

第21席計(jì)算=94.5=96.3即第21席應(yīng)分給丙系。

最后甲、乙、丙系的席位分別為11、6、4，這樣丙系保住它險(xiǎn)些喪失的1席，你覺得這個(gè)方法公平嗎？

18思考題：

比利時(shí)(d'Hondt)分配方案：將甲、乙、丙三系的人數(shù)都用1.2.3…去除，將商從大到小排列，取前21個(gè)最大的，這21個(gè)中各系占有幾個(gè)，就分給幾個(gè)席位，你認(rèn)為這種方法合理嗎？

三、蛛網(wǎng)模型（留給同學(xué)自學(xué)）19四、常染色體遺傳模型1、親體基因遺傳方式與問題1）遺傳方式在常染色體遺傳中，后代是從每個(gè)親體的基因?qū)χ懈骼^承一個(gè)基因，形成自己的基因?qū)?，基因?qū)σ卜Q基因型。如果所考慮的遺傳特征是由兩個(gè)基因A和a控制的，那么就有三種基因?qū)?，記為AA，Aa，aa。例如，金魚草是由兩個(gè)遺傳基因決定它的花的顏色，基因型是AA的金魚草開紅花，Aa型開粉紅色花，而aa型的開白花。

20又如人類眼睛的顏色也是通過常染色體遺傳控制的，基因是AA或Aa的人，眼睛為棕色；基因是aa型的人，眼睛是藍(lán)色。這里Aa和AA都表示了同一外部特征，我們認(rèn)為基因A支配基因a，也可以認(rèn)為基因a對(duì)于A是隱性的，當(dāng)一個(gè)新體的基因型為Aa，而另一個(gè)親體的基因?yàn)閍a，那么后代可以從aa型中得到基因a，從Aa型中或得到A，或得到a，且是等可能性的得到。這樣，后代基因型為Aa或aa的可能性相等。

21下面給出雙親體基因型的所有可能的結(jié)合，使其后代形成每種基因的概率，如表1-2所示。

基因型的概率分布后代基因型父體–

母體（n-1代）基因型AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aaAA1000Aa010aa0001

222）問題農(nóng)場(chǎng)的植物園中某種植物的基因型AA，Aa和aa。農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃采用AA型植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。那么經(jīng)過若干年后，這種植物的任一代的三種基因型分布如何？2、模型構(gòu)造1）假設(shè)（1）設(shè)an，bn和cn分別表示第n代植物中基因型為AA，Aa和aa的植物總數(shù)的百分率，n=0，1，2，…x(n)為第n代植物的基因型分布：

23當(dāng)n=0時(shí)表示植物基因型的初始分布（即培育開始時(shí)的分布）。

顯然有

24（2）第n-1代與第n代的基因型分布關(guān)系是通過表2-3確定的。

2）建模

根據(jù)假設(shè)（2），先考慮第n代中的AA型。由于第n-1代的AA型與AA型結(jié)合，后代全部是AA型；第n-1代的Aa與AA型結(jié)合，后代是AA型的可能性為；而第n-1代的aa型與AA型的結(jié)合，后代不可能是AA型。

因此當(dāng)n=1，2，…時(shí)

25類似考慮第n代中的Aa型和aa型，分別可推出將（4-27），（4-28）和（4-29）式相加，得

根據(jù)假設(shè)（1），有26將（4-27），（4-28）和（4-29）式聯(lián)立得

用矩陣形式表示為其中27由(4-30)式進(jìn)行遞推，便得到第n代基因型分布的數(shù)學(xué)模型它表明歷代基因型分布可由初始分布和矩陣M確定。3、模型求解為了計(jì)算Mn，將M對(duì)角化，即求出可逆矩陣P和對(duì)角陣D，使因而有

28其中對(duì)于（4-30）式中的M，易求得其特征值和特征向量分別為29因此

通過計(jì)算，得P--1=P，因此有3031所以有即在極限情況下，培育的植物都是AA型。

32

4、模型討論若在上述問題中，不選用基因型AA的植物與每一其它基因型植物相結(jié)合，而是將具有相同基因型植物結(jié)合，那么后代具有三種基因型的概率由下表2-4給出：

33表2-4相同基因型結(jié)合的后代基因型的概率分布后代基因型父體-母體的基因型AA-AAAa-Aaaa-aaAA10Aa00aa0134于是有其中M的特征值為35通過計(jì)算，可以解出與λ1，λ2相對(duì)的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量e1和e2，和與λ3相對(duì)應(yīng)的特征向量e3，即從而得36于是，

即得37因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在極限情況下，后代僅有基因型AA和aa。38思考題：

一種植物的基因型為AA,Aa和aa。研究人員采用將同種基因型的植物相結(jié)合的方法培育后代，開始時(shí)這三種基因型的植物所占的比例分別為20%，30%，50%。問經(jīng)過若干代培育后這三種基因型的植物所占的比例是多少？39思考題：

將某樹群的樹分成三類：幼樹—樹齡為0—10年，成樹—樹齡為10—40年，老樹—樹齡在40年以上。在沒有采伐的條件下，假定在每一個(gè)單位時(shí)間—2年內(nèi)：

(1)幼樹中的成長為成樹，每一棵幼樹平均繁殖棵新樹。

(2)成樹中的長成老樹，每一棵成樹平均繁殖一棵新樹。40(3)老樹的要老死，每一棵老樹平均繁殖棵新樹。若在第k個(gè)單位時(shí)間內(nèi)，幼樹、成樹、老樹砍伐的數(shù)量分別為，試在沒有砍伐及有砍伐兩種情況下分別建立樹群增長的數(shù)學(xué)模型。

41§5利用微積分建模

一、租客機(jī)還是買客機(jī)問題：某航空公司為了發(fā)展新航線的航運(yùn)業(yè)務(wù)，需要增加5架波音747客機(jī)。如果購進(jìn)一架客機(jī)需要一次支付5000萬美元現(xiàn)金，客機(jī)的使用壽命為15年。如果租用一架客機(jī)，每年需要支付600萬美元的租金，租金以均勻貨幣流的方式支付。若銀行的年利率為12%，問購買還是租用客機(jī)合算？如果銀行的年利率為6%？42因?yàn)橘I飛機(jī)共支付5000萬元，租飛機(jī)15年的租金為萬元，所以買飛機(jī)必然比租飛機(jī)合算。這種想法對(duì)嗎？

不對(duì)，因?yàn)闆]有考慮到利率對(duì)貨幣價(jià)值的影響。

幾個(gè)概念：

1、將A元現(xiàn)金存入銀行，年利率按r計(jì)算，若以連續(xù)計(jì)息的方式結(jié)算，則t年后的存款額為（為什么？）

因此，A元現(xiàn)金T年之后的價(jià)值是，稱為A元現(xiàn)金T年之后的期末價(jià)值。43

2、現(xiàn)在的A元現(xiàn)金相當(dāng)于T年之前把元現(xiàn)金存入銀行所得，故現(xiàn)在的A元現(xiàn)金T年前的價(jià)值是，稱是T年前的貼現(xiàn)價(jià)值。

3、“均勻貨幣流”的存款方式就是使貨幣像流水一樣以定常流量a源源不斷地流進(jìn)銀行，比如商店每天把固定數(shù)量的營業(yè)額存入銀行，就類似于這種方式。

有了上面的概念，就可解決我們的問題了。

44購買一架飛機(jī)可以使用15年，但需要馬上支付5000萬美元。而同樣租一架飛機(jī)使用15年，則需要以均勻貨幣流方式支付15年租金，年流量為600萬美元。兩種方案所支付的價(jià)值無法直接比較，必須將它們都化為同一時(shí)刻的價(jià)值才能比較。我們以當(dāng)前價(jià)值為準(zhǔn)。

購買一架飛機(jī)的當(dāng)前價(jià)格為5000萬美元。下面計(jì)算均勻貨幣流的當(dāng)前價(jià)格：

設(shè)t=0時(shí)向銀行存入美元，按連續(xù)復(fù)利計(jì)算,T年之后在銀行的存款額恰好是A美元.

45也就是說,T年后的A美元在t=0時(shí)的價(jià)值為美元.

那么,對(duì)流量為a的均勻貨幣流,在時(shí)所存入的美元,

在t=0時(shí)的價(jià)值是由微元法可知,

當(dāng)t從0變到T時(shí),[0,T]周期內(nèi)均勻流在t=0時(shí)的總價(jià)值可表示為46因此,15年的租金在當(dāng)前的價(jià)值為(萬美元)當(dāng)r=12%時(shí)

(萬美元)比較可知,此時(shí)租用飛機(jī)比購買飛機(jī)合算.47當(dāng)r=6%時(shí)(萬美元)此時(shí)購買飛機(jī)比租用飛機(jī)合算.思考題1若將兩種支付方式都化為15年之后的價(jià)值進(jìn)行比較,應(yīng)該如何進(jìn)行計(jì)算?

48思考題2

航通公司一次投資100萬元建造一條生產(chǎn)流水線，并一年后建成投產(chǎn)，開始取得經(jīng)濟(jì)效益。設(shè)流水線的收益是均勻貨幣流，年流量是30萬元，已知銀行年利率為10%，問多少年后該公司可以收回投資？

49二、除雪機(jī)除雪模型問題：冬天的紛飛大雪，使公路上積起厚雪而影響交通。有條10公里長的公路，由一臺(tái)除雪機(jī)負(fù)責(zé)清掃積雪。每當(dāng)路面積雪平均厚度達(dá)到0.5米時(shí)，除雪機(jī)就開始工作。但問題是開始除雪后，大雪仍下個(gè)不停，使路上積雪越來越深，除雪機(jī)工作速度逐漸降低直到無法工作。

降雪的大小直接影響除雪機(jī)的工作速度，且已了解下述情況和部分有關(guān)數(shù)據(jù)：

50

(1)在除雪機(jī)開始工作后，降雪又持續(xù)了一個(gè)小時(shí)。

(2)當(dāng)雪的厚度達(dá)到1.5米時(shí)，除雪機(jī)將無法工作。

(3)除雪機(jī)在沒有雪的路上行駛速度為10米／秒。問當(dāng)大雪以下列速度下一小時(shí)，除雪機(jī)能否完成10公里的除雪工作？

A)恒速R＝0.1厘米／秒

B)恒速R＝0.025厘米／秒

C)前30分鐘由零均勻增加到0.1厘米／秒，后30分鐘又均勻減少到零。

51問題的分析：

不妨假設(shè)除雪機(jī)的工作速度V（米／秒）與積雪厚度d（米）成正比，即

由條件，當(dāng)d＝0時(shí)V＝10，

當(dāng)d＝1.5V＝0，

52在除雪機(jī)剛開始工作時(shí)積雪厚度為d＝0.5米，由(5-2)式可推算出除雪機(jī)的初始工作速度為6.7米／秒。

下面還要描述下雪的厚度。

若下雪速度保持不變，記為R（單位.厘米／秒），則雪在t秒內(nèi)的厚度增加量為Rt厘米＝Rt／100米。

由此得到除雪機(jī)工作t秒時(shí)雪的總厚度：d(t)＝0.5+Rt／100(5-3)

將(5-3)代入(5-2)得t秒時(shí)的除雪速度為

53除雪機(jī)不得已停止工作的時(shí)間由V(t)＝0確定為

也可求出除雪機(jī)工作t秒時(shí)的行駛距離：現(xiàn)在根據(jù)上面的公式分析以下兩種情況：

54情形A：當(dāng)除雪機(jī)開始工作后，大雪以速度R＝0.1厘米／秒持續(xù)下一個(gè)小時(shí)。

除雪機(jī)開始工作的一小時(shí)內(nèi)，積雪的新增加厚度是0.1×3600／100＝3.6米，再加上原來雪深0.5米，已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過1.5米，那么除雪機(jī)內(nèi)在什么時(shí)間和什么地點(diǎn)被迫中止工作？由(5-5)可算出除雪機(jī)停止工作的時(shí)間為t。＝100／R＝100／0.1＝1000秒≈16.67分鐘由(5-6)可算出除雪機(jī)停止工作時(shí)所行駛的距離為

S(t。)＝S(1000)＝

55≈3333.33米＝3.33公里這時(shí)除雪機(jī)才行駛了三分之一的路程，雪深已達(dá)到1.5米，除雪機(jī)將無法工作。

情形B：當(dāng)除雪機(jī)開始工作后，大雪以R＝0.025厘米／秒持續(xù)下了一個(gè)小時(shí)。

除雪機(jī)停止工作的時(shí)間為：

t。＝100／R＝100／0.025＝4000秒≈66.67分鐘此期間除雪機(jī)的行駛距離為S(t。)＝S(4000)＝

56≈13333.33米＝13.33公里這比要求清掃的10公里更長，除雪機(jī)早已完成任務(wù)。

那么除雪機(jī)什么時(shí)間完成任務(wù)？

因?yàn)槌C(jī)的實(shí)際行駛路程

S＝10×1000＝10000米，

將此代入(5-6)有57解方程求出實(shí)際除雪時(shí)間t＝2000秒≈33.33分鐘，

這時(shí)除雪機(jī)的速度是米／秒情形C：當(dāng)除雪機(jī)開始工作后，大雪又持續(xù)了一個(gè)小時(shí)，其中前30分鐘雪速每秒由零均勻變?yōu)?.1厘米，后30分鐘雪速每秒又由0.1厘米均勻變?yōu)榱恪?/p>

用r(t)表示t時(shí)刻雪的速度，則下雪速度變化情況如圖2-1558由圖知式中，r(t)的單位為厘米／秒。

59對(duì)下雪速度求積分就可得積雪厚度函數(shù)當(dāng)t≤1800秒d(t)＝

（米）(5-7)且d(1800)＝

即當(dāng)工作到30分鐘時(shí)，積雪厚度為1.4米。

60當(dāng)t>1800秒

d(t)＝1.4＋

d(3600)＝

這說明在雪停以前除雪機(jī)已經(jīng)停止工作。那么除雪機(jī)是否中途被迫中斷工作？能工作多長時(shí)間？已清掃了多長路程？61由(5-7)式和(5-8)式，知雪的厚度函數(shù)為

因?yàn)槌┧俣扰c雪的厚度的關(guān)系為將(5-9)代入(5-10)得62易知當(dāng)t≤1800時(shí)，

令V(t)＝0

由此得t。＝1903秒（舍去）

因此除雪機(jī)工作1903秒（31.7分鐘）將無法工作。

63思考：不求V(t)能否知道除雪機(jī)何時(shí)停止工作？

除雪機(jī)工作的距離＝8434米＝8.434公里所以除雪機(jī)只能掃除8.434公里就無法行走了，即除雪機(jī)無法完成10公里的除雪任務(wù)。

64思考題：

(1)請(qǐng)考慮其它的除雪速度函數(shù)和降雪速度函數(shù)。

(2)在降雪過程中，除雪機(jī)清掃過的路面又會(huì)開始積雪，雪的厚度將如何變化？特別考慮降雪速度為非常數(shù)時(shí)的情況，能否用一個(gè)函數(shù)描述馬路上雪的堆積情況？

(3)當(dāng)雪速為常數(shù)時(shí)，問下雪速度為多少時(shí)除雪機(jī)剛好完成10公里除雪工作？

65

三、廣告與利潤問題問題：某公司有一大批裝飾涂料，根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，零售價(jià)增高，則銷售量減少，具體數(shù)據(jù)如表2-5。若做廣告，可使銷售量增加，具體增加量以售量提高因子k表示，k與廣告費(fèi)的關(guān)系如表2-6，它也是以往的統(tǒng)計(jì)或經(jīng)驗(yàn)結(jié)果?，F(xiàn)在已知涂料的進(jìn)價(jià)是每聽2英鎊，問如何確定涂料的價(jià)格和花多少廣告費(fèi)，可使公司獲利最大。

表2-5：涂料預(yù)期銷售量與價(jià)格的關(guān)系單價(jià)（鎊）2.002.503.003.504.004.505.005.506.00售量（千聽）413834322928252220

66表2-6：售量提高因子與廣告費(fèi)的關(guān)系廣告費(fèi)（萬鎊）01234567提高因子k1.001.401.701.851.952.001.951.80為了解決此問題，引入以下記號(hào)：

x—預(yù)期銷售量；

y—銷售單價(jià)；

z—廣告費(fèi)；

c—成本單價(jià)；

由表2-5可看出，售量與單價(jià)近似成線性關(guān)系，因此可設(shè)：

x＝ay＋b(5-11)可用最小二乘法，根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)定出(5-11)式中的系數(shù)a和b的具體數(shù)值，顯然a<0。67由表2-6可看出，提高因子與廣告費(fèi)近似二次關(guān)系，因此可設(shè)：

同樣，可用曲線擬合法，由表2的數(shù)據(jù)定出(5-12)式中的系數(shù)d、e和f，這里d<0，拋物線開口向下。

設(shè)實(shí)際銷售量為S，它等于預(yù)期銷售量乘以銷售提高因子，即S＝kx，于是利潤P可表示為：

P＝收入－支出＝銷售收入－成本支出－廣告費(fèi)

＝sy－sc－z

＝kx(y－c)－z(5-13)68將(5-11)和(5-12)代入(5-13)，可見P只是y和z的函數(shù)，即

所以問題歸結(jié)為當(dāng)y、z為何值時(shí)P達(dá)到最大值。由多元函數(shù)求極值的方法：

P的極大值點(diǎn)為

69為了得到具體的數(shù)值，需求出各系數(shù)的值。下面給出計(jì)算的結(jié)果：

a＝－5133b＝50420c＝2把以上數(shù)值代入，可得

x＝20084y＝5.91z＝33113k＝1.9170可以預(yù)言，按該方案銷售，可得實(shí)際銷售量S＝kx＝1.91×20084≈38360（聽）

獲利潤P＝116875（英鎊）

四、交通燈模型（留給同學(xué)自學(xué)）

71五、錄像帶的長度問題

問題：在一臺(tái)錄像機(jī)上有一個(gè)四位數(shù)字的記數(shù)器。在磁帶開始運(yùn)行時(shí)的設(shè)置為“0000”。185分20秒結(jié)束時(shí)顯示讀數(shù)為“1849”。并注意到記數(shù)器從“0084”轉(zhuǎn)到“0147”時(shí)用了3分21秒。現(xiàn)在記數(shù)器上顯示為“1428”，問余下的磁帶是否足夠再記錄60分鐘長的節(jié)目？建模目的：建立記數(shù)器讀數(shù)n和所花時(shí)間t的關(guān)系。

假設(shè)：

(1)錄像磁帶厚度是均勻的設(shè)為w，磁帶繞半徑為r的軸旋轉(zhuǎn)；

72(2)磁帶繞磁頭旋轉(zhuǎn)的線速度為常數(shù)V；

(3)記數(shù)器的讀數(shù)與軸輪轉(zhuǎn)數(shù)成正比；

(4)磁帶卷各圈松緊均勻。

錄像機(jī)運(yùn)行一段時(shí)間以后的磁帶卷如圖2-18：

記t時(shí)刻軸心到磁帶卷外側(cè)的距離為R(t)，

已放過的磁帶總長為L(t),記數(shù)器讀數(shù)為n(t)。

下面討論t和n(t)的關(guān)系：

73因?yàn)樵趖時(shí)刻磁帶卷側(cè)面的總面積為所以用總面積除以厚度W，有另一方面，由假設(shè)(2)知

L(t)=Vt

整理得

74當(dāng)磁帶轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)過一個(gè)很小的角度時(shí)，

對(duì)應(yīng)的磁帶長，

若轉(zhuǎn)過角度所花時(shí)間為t，

又有，和，

取微分有

從而75由假設(shè)(3)有，k是比例系數(shù)，

若從銷售商或制造商處了解到W、V和r的值，并選擇一個(gè)合適的k值，就可得