哈密頓原理的推導(dǎo)-課件

3.Hamilton原理

(1)變分的概念微分：設(shè)有一連續(xù)函數(shù)q=q(t)，其中t為自變量，q為因變量；當(dāng)t有微增量dt時，引起函數(shù)的微增量dq，稱為該函數(shù)的微分，且：或:1ppt課件變分：假設(shè)自變量t不變，改變函數(shù)q=q(t)的形式，得到一個與原函數(shù)稍有差別的新函數(shù)式中：是一個微小系數(shù)，是t的任意連續(xù)函數(shù)。則：

對于自變量的某一指定值，函數(shù)q=q(t)由于它的形式的微小改變而得到的改變量，稱為該函數(shù)的變分。從圖中可看出，實際上代表了虛位移。

2ppt課件(2)變分與微分的區(qū)別變分：自變量不變，僅由于函數(shù)本身形式的微小改變而得到的函數(shù)的改變；微分：由于自變量的微增量而引起的函數(shù)的微增量。

3ppt課件(3)變分的運算性質(zhì)：

(a)任一連續(xù)函數(shù)q=q(t)的變分與微分可以交換：即

(b)在積分的上、下限不變的條件下，函數(shù)對自變量的積分的變分，等于該函數(shù)的變分對該自變量的積分。即：如果在函數(shù)q=q(t)中的自變量t是時間，則該函數(shù)的變分稱為等時變分。

4ppt課件(2)Hamilton原理：作用：提出了質(zhì)點系的真實運動與在質(zhì)點系真實運動鄰近，且為約束所能允許的可能運動的區(qū)分準(zhǔn)則。

①研究對象：具有k個自由度的理想、完整約束下的質(zhì)點系的運動

②廣義坐標(biāo)：q1，q2，……qk③質(zhì)點系的位置：

1)若在平面上運動的質(zhì)點，其坐標(biāo)可選x,y，若再考慮時間，則有3個坐標(biāo)，

5ppt課件2)一般地，用由q和t組成的(k+1)維空間內(nèi)的一點的運動表示，若在某一瞬時t，q1，q2，……qk均有確定的值，則可在(k+1)維空間中找到一個點，該點表示一質(zhì)點在t時的位置

6ppt課件④質(zhì)點系的真實運動：如上圖中(k+1)維空間中的實曲線表示；稱為質(zhì)點系的真實路徑，又叫正路。7ppt課件⑤質(zhì)點系的可能運動：質(zhì)點系在真實運動鄰近為約束所允許的任意一個可能運動，用表示。稱為質(zhì)點系的可能路徑，或旁路(彎路)。運動始末位置上，正路和彎路的位置相同(顯然，可能運動的曲線有無數(shù)條)。8ppt課件⑥虛位移(變分)：表示在同一瞬時，旁路對正路的偏離。9ppt課件b)哈密頓原理的推導(dǎo)：非定常約束的概念：即約束可隨t變化，是t的函數(shù)一、拉格朗日方程

——以廣義坐標(biāo)表示的動力學(xué)普遍方程10ppt課件

設(shè)有一理想、完整約束的非自由質(zhì)點系，具有k個自由度，用k個廣義坐標(biāo)q1，q2，…，qk表示質(zhì)點系的位置，作一直角坐標(biāo)系oxyz，用矢徑ri(xi,yi,zi)

表示質(zhì)點系中任一質(zhì)點Mi的位置，顯然，如果約束是非定常的，則矢徑ri是廣義坐標(biāo)和時間的矢量函數(shù)：11ppt課件

n為質(zhì)點的數(shù)目，為了將質(zhì)點系中質(zhì)點Mi

的虛位移δri表示為廣義坐標(biāo)的變分，求(1)式的變分：(1)12ppt課件將其展開后得：

(2)(2)式中第一項表示主動力系在質(zhì)點系虛位移中的元功的和，可以寫為廣義坐標(biāo)的形式為：

(3)(3)式中，Qj為對應(yīng)于廣義坐標(biāo)qj的廣義力。

已知動力學(xué)普遍方程為：13ppt課件(2)式中左邊第二項表示慣性力系在質(zhì)點系虛位移中元功的和，將(1)式代入(2)式中的左邊第二項得：

(4)

為簡化(4)式括號中的式子，可將其改寫為：(5)14ppt課件

為推導(dǎo)拉氏方程，先證明與之間的兩個關(guān)系式:(1)

(6)

稱為廣義速度，為廣義坐標(biāo)對時間的變化率，因和僅是廣義坐標(biāo)和時間的函數(shù)，與廣義速度無關(guān)，15ppt課件將(6)式對廣義速度求偏導(dǎo)數(shù)，可得關(guān)系式：

(7)(6)16ppt課件將(6)式對任一廣義坐標(biāo)qα求偏導(dǎo)數(shù)得：(6)17ppt課件

另一方面，直接由矢徑對某一廣義坐標(biāo)求偏導(dǎo)數(shù)后，再對時間t求導(dǎo)數(shù)，得：由此，可得另外一個關(guān)系式：

(8)

18ppt課件將(7)式和(8)式代入(5)式中得：(7)(8)(5)19ppt課件將此結(jié)果代回式(4)，并引入質(zhì)點系動能得:(9)(4)20ppt課件將此結(jié)果代入(2)式中得：

(10a)當(dāng)主動力有勢力時：代入(10a)式中得：(2)(3)21ppt課件引入拉格朗日函數(shù)L=T-V(質(zhì)點系動能與勢能之差，稱為動勢)，則上式可表示為：

(11a)22ppt課件

廣義力：代入(11a)式中，而拉格朗日函數(shù)L=T-V(質(zhì)點系的動能與勢能之差又稱為動勢)(11a)式又可以寫為：

(11b)將(11b)式乘以dt，并從t1到t2作定積分，有：

(12)23ppt課件因為：

(13)故(12)式中第一項為

(14)(12)24ppt課件代入(12)式中得：

(15)或：(16)拉格朗日函數(shù)，所以L的一階變分為：

(17)25ppt課件代入(16)式，并將等式的左端進(jìn)行積分后得：

(18)

根據(jù)題設(shè)，在t1和t2時刻，系統(tǒng)的真實運動曲線與可能運動曲線都分別通過A點和B點，即：，因此26ppt課件所以(18)式成為了：

(19)

改變積分和變分的次序，有：

(20)令積分：，并稱S為哈密頓作用量，即： (21)(20)和(21)式稱為哈密頓原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。27ppt課件哈密頓原理可表敘述為：

具有完整的理想約束保守系統(tǒng)，在該時間間隔內(nèi)具有相同的始終位置的可能運動相比，對于真實運動哈密頓作用量有極值。即：對于真實運動，哈密頓作用量的變分等于0。28ppt課件

式(20)和(21)僅僅適用于保守系統(tǒng)，將L=T-V代入該式則得：對于非保守系統(tǒng)：式(20)或(21)中還應(yīng)包括作用于體系上的非保守力(包括阻尼力及任一外荷)所作的功，即：

(為由非保守力決定的廣義力)29ppt課件

(1-4)式中：T——體系的總動能；

V——體系的位能，包括應(yīng)變能及任何保守外力的勢能；

Wnc——作用于體系上的非保守力(包括阻尼力及任一外荷)所作的功；

——在指定時間區(qū)間內(nèi)所取的變分非保守系統(tǒng)的哈密頓原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：應(yīng)用該原理可以直接導(dǎo)出任何給定體系的運動方程。30ppt課件⑧該方法與虛功方法的(不同)區(qū)別應(yīng)用哈密頓原理推導(dǎo)體系的運動方程，不明顯使用慣性力和彈性力，而分別被