《函數(shù)模型及其應(yīng)用》

函數(shù)模型及其應(yīng)用一、幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1)冪函數(shù)模型y＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠1，α≠1)分段函數(shù)模型f(x)＝二、應(yīng)用函數(shù)模型解決問(wèn)題的基本過(guò)程2．某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，……現(xiàn)有1個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是(

)A．y＝2x

B．y＝2x－1C．y＝2x D．y＝2x＋1【解析】分裂一次后由1個(gè)變成2個(gè)，分裂兩次后2×2＝22個(gè)，……，分裂x次后y＝2x個(gè)．【答案】

C3．某地為了抑制一種有害昆蟲(chóng)的繁殖，引入了一種以該昆蟲(chóng)為食物的特殊動(dòng)物，已知該動(dòng)物的繁殖數(shù)量y(只)與引入時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，若該動(dòng)物在引入一年后的數(shù)量為100只，則第7年它們發(fā)展到(

)A．300只 B．400只C．600只 D．700只【解析】將x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7時(shí)，y＝100log2(7＋1)＝300.【答案】

A預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)把你認(rèn)為難以解決的問(wèn)題記錄在下面的表格中問(wèn)題1問(wèn)題2問(wèn)題3問(wèn)題4(1)據(jù)調(diào)查，某自行車(chē)存車(chē)處在某星期日的存車(chē)量為2000輛次，其中變速車(chē)存車(chē)費(fèi)是每輛一次0.8元，普通車(chē)存車(chē)費(fèi)是每輛一次0.5元，若普通車(chē)存車(chē)數(shù)為x輛次，存車(chē)費(fèi)總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是(

)A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000)B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000)D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)(2)漁場(chǎng)中魚(yú)群的最大養(yǎng)殖量為m(m＞0)，為了保證魚(yú)群的生長(zhǎng)空間，實(shí)際養(yǎng)殖量x小于m，以便留出適當(dāng)?shù)目臻e量．已知魚(yú)群的年增長(zhǎng)量y和實(shí)際養(yǎng)殖量與空閑率(空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值)的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k＞0)．①寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出該函數(shù)的定義域；②求魚(yú)群年增長(zhǎng)量的最大值．【解析】

(1)由題意知，變速車(chē)存車(chē)數(shù)為(2000－x)輛次，則總收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)．1．在實(shí)際問(wèn)題中，有很多問(wèn)題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0)，構(gòu)建一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的圖象與單調(diào)性求解．2．在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立二次函數(shù)模型后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來(lái)求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題中的利潤(rùn)最大、用料最省等問(wèn)題．某市居民自來(lái)水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超過(guò)4噸時(shí)每噸為1.80元，當(dāng)用水超過(guò)4噸時(shí)，超過(guò)部分每噸為3.00元，某月甲、乙兩用戶共交水費(fèi)y元，已知甲、乙兩用戶該月用水量分別為5x，3x噸．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)；(2)若甲、乙兩用戶該月共交水費(fèi)26.40元，分別求出甲、乙兩用戶該月的用水量和水費(fèi)．【思路探究】由收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)可知，水費(fèi)與用水量之間存在兩種不同對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以應(yīng)分類討論，建立分段函數(shù)模型．1．建立分段函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定分段的各界點(diǎn)，即明確自變量的取值區(qū)間．2．分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化規(guī)律分別求出來(lái)，再將其合到一起．已知A，B兩地相距150km，某人開(kāi)汽車(chē)以60km/h的速度從A地到達(dá)B地，在B地停留1小時(shí)后再以50km/h的速度返回A地．(1)把汽車(chē)離開(kāi)A地的距離s表示為時(shí)間t的函數(shù)(從A地出發(fā)時(shí)開(kāi)始)，并畫(huà)出函數(shù)的圖象；(2)把車(chē)速v(km/h)表示為時(shí)間t(h)的函數(shù)，并畫(huà)出函數(shù)的圖象．【解】

(1)①汽車(chē)由A地到B地行駛th所走的距離s＝60t(0≤t≤2.5)．②汽車(chē)在B地停留1小時(shí)，則汽車(chē)到A地的距離s＝150(2.5＜t≤3.5)．③由B地返回A地，則汽車(chē)到A地的距離s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜x≤6.5)．它的圖象如圖(1)所示．(3)比較理想的睡眠環(huán)境要求聲強(qiáng)級(jí)Y≤50分貝，已知熄燈后兩個(gè)學(xué)生在宿舍說(shuō)話的聲強(qiáng)為5×10－7W/m2，問(wèn)這兩位同學(xué)是否會(huì)影響其他同學(xué)休息？1．有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般是先給出對(duì)數(shù)函數(shù)模型，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解．2．在實(shí)際問(wèn)題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等問(wèn)題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型表示，通?？梢员硎緸閥＝N(1＋p)x(其中N為基數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間)的形式．本題中為了達(dá)到比較理想的睡眠環(huán)境聲強(qiáng)I的取值范圍是什么？1．解應(yīng)用題要弄清題意，從實(shí)際出發(fā)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系，分析函數(shù)的性質(zhì)，從而解決問(wèn)題．解決問(wèn)題時(shí)要注意自變量的取值范圍．2．(1)解應(yīng)用題的一般思路可表示如下：

(2)解應(yīng)用題的一般步驟：①讀：閱讀并理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一步是基礎(chǔ)；②建：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，熟悉基本數(shù)學(xué)模型，正確進(jìn)行建“模”是關(guān)鍵；③解：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論，既要充分注意數(shù)學(xué)模型中字母的實(shí)際意義，也要注意巧思妙解，優(yōu)化過(guò)程；④答：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的結(jié)論．?dāng)M合函數(shù)模型的建立與應(yīng)用

(12分)某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，自2010年以來(lái)，每年在正常情況下，該產(chǎn)品產(chǎn)量平穩(wěn)增長(zhǎng)．已知2010年為第1年，前4年年產(chǎn)量f(x)(萬(wàn)件)如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)畫(huà)出2010～2013年該企業(yè)年產(chǎn)量的散點(diǎn)圖；(2)建立一個(gè)能基本反映(誤差小于0.1)這一時(shí)期該企業(yè)年產(chǎn)量變化的函數(shù)模型，并求出函數(shù)解析式；(3)2014年(即x＝5)因受到某國(guó)對(duì)我國(guó)該產(chǎn)品反傾銷的影響，年產(chǎn)量減少30%，試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2014年的年產(chǎn)量為多少？∴一次函數(shù)模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年產(chǎn)量的變化.8分(3)根據(jù)所建的函數(shù)模型，預(yù)計(jì)2014年的年產(chǎn)量為f(5)＝1.5×5＋2.5＝10萬(wàn)件，又年產(chǎn)量減少30%，即10×70%＝7萬(wàn)件，即2014年的年產(chǎn)量為7萬(wàn)件.12分函數(shù)擬合與預(yù)測(cè)的一般步驟是：(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點(diǎn)圖．(2)通過(guò)考察散點(diǎn)圖，畫(huà)出擬合直線或擬合曲線．(3)求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式．(4)利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對(duì)所給問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制，為決策和管理提供依據(jù)．[類題嘗試](2014·安徽師大附中期中)某電視新產(chǎn)品投放市場(chǎng)后第一個(gè)月銷售100臺(tái)，第二個(gè)月銷售200臺(tái)，第三個(gè)月銷售400臺(tái)，第四個(gè)月銷售790臺(tái)，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場(chǎng)的月數(shù)x(1≤x≤4，x∈N*)