(完整版)分式和分式方程知識點總結(jié)及練習

(完整版)分式和分式方程知識點總結(jié)及練習分式和分式方程知識點總結(jié)一、分式的基本概念1.分式的定義：一般地，我們把形如A/B的代數(shù)式叫做分式，其中A，B都是整式，且B含有字母。A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式也可以看做兩個整式相除（除式中含有字母）的商。2.分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同乘（或除以）一個不為零的整式，分式的值不變。例如：AA×M/A×M=A/M，BB×M/B×M=B/M。其中，M是不等于零的整式。3.分式的約分：把分式中分子和分母的公因式約去，叫做分式的約分。4.最簡分式：分子和分母沒有公因式的分式叫做最簡分式。利用分式的基本性質(zhì)可以對分式進行化簡。二、分式的運算1.分式的乘除：分式的乘法法則：分式與分式相乘，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。例如：A/C×C/D=A×C/C×D。分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子與分母顛倒位置后，與被除式相乘。例如：A/C÷D/A=A/C×A/D=A×A/C×D。2.分式的加減：同分母的分式加減法法則：同分母的兩個分式相加（減），分母不變，把分子相加（減）。例如：A/C±C/C=(A±C)/C。異分母的分式加減法法則：異分母的兩個分式相加（減），先通分，化為同分母的分式，再加（減）。分式的通分把幾個異分母分式分別化為與它們相等的同分母分式，叫做分式的通分，這個相同的分母叫做這幾個分式的公分母。幾個分式的公分母不止一個，通分時一般選取最簡公分母。例如：A/C±B/D=(AD±BC)/CD。分式的混合運算：分式的混合運算，與數(shù)的混合運算類似。先算乘除，再算加減；如果有括號，要先算括號里面的。三、分式方程1.分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。2.分式方程的解：使得分式方程等號兩端相等的未知數(shù)的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）。3.解分式方程的步驟：1.通過去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。2.解整式方程。3.將整式方程的根代入分式方程（或公分母）中檢驗。4.分式方程的應(yīng)用。典型例題：1.（2014?溫州，第4題4分）要使分式(x+1)/(x-2)的值有意義，則x≠2。2.（2014?畢節(jié)地區(qū)，第10題3分）若分式(x+1)/(x-1)的值為零，則x的值為1或-1。3.（2014?福建泉州，第10題4分）計算：(3/4+5/6)÷(1/2-1/3)=33/2。4.已知$a^2+3ab+b^2=0$（$a\neq0$，$b\neq0$），求代數(shù)式$a^3-b^3$的值。5.化簡$\dfrac{1+x+x^2}{1-x}$的結(jié)果為$\dfrac{1-x^3}{1-x}$。6.計算$\dfrac{a^2+ab}{a-b}\div\dfrac{a^2-ab}{a+b}$的值。7.先化簡，再求值：$\dfrac{3}{\sqrt{5}-2}+\dfrac{3}{\sqrt{5}+2}$。8.化簡：$\dfrac{a^2+3a}{a+2}\cdot(x^2-1)$，其中$x=2$。9.先化簡，再求值：$\dfrac{a^2b+ab}{a^2-b^2}$，其中$a=1$，$b=-1$。10.解方程：$\dfrac{10030}{x-7}=5$。11.解分式方程：$\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{4}{x+2}=5$。12.解方程：$\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x-2}=1$。13.某商場銷售的一款空調(diào)機每臺的標價是1635元，在一次促銷活動中，按標價的八折銷售，仍可盈利9%。（1）求這款空調(diào)每臺的進價（利潤率=25%）。（2）在這次促銷活動中，商場銷售了這款空調(diào)機100臺，問盈利多少元？14.馬小虎的家距離學(xué)校1800米，一天馬小虎從家去上學(xué)，出發(fā)10分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)他的數(shù)學(xué)課本忘記拿了，立即帶上課本去追他，在距離學(xué)校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是馬小虎速度的2倍，求馬小虎的速度。課后練習1.化簡$\dfrac{\frac{x}{y}-1}{\frac{x-y}{x}}$的結(jié)果是$\dfrac{x}{y+1}$。2.計算：$\dfrac{1}{1-m}+\dfrac{1}{1+m}\cdot\dfrac{m^2-1}{m-1}$的結(jié)果為$\dfrac{2m}{1-m^2}$。3.當$\dfrac{8}{x-1}=2$時，$x$的值是$5$。4.計算$\dfrac{1+a}{a-1}-\dfrac{1}{a}$的結(jié)果為$\dfrac{a^2}{a-1}$。5.已知$\dfrac{-11ab}{a-b^2}=-\dfrac{1}{2}$，則$\dfrac{a}$的值是$2$。6.下列式子是分式的是$\dfrac{x}{2x+1}$。7.設(shè)$m>n>0$，$m+n=4mn$，則$\dfrac{m^2-n^2}{3mn}$的值等于$\dfrac{1}{3}$。1.化簡后得到：$\frac{12}{(2\times(-2)-1)\times((-2)-1)}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$。2.化簡后得到：$\frac{2x}{x+1}$，再代入$x=1$，得到結(jié)果為$1$。3.先化簡得到：$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$，代入$x=-2$，得到結(jié)果為$\frac{1}{3}$。4.化簡后得到：$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}$。5.當$x=2$時，分式化簡后得到$0$。6.當$x=0$時，分式化簡后得到$-\frac{1}{2}$。7.當$x=1$時，分式化簡后得到$\frac{1}{3}$。8.化簡后得到：$\frac{a-b}{2a+2ab+b}$。9.解方程$\frac{1}{x-3}=1$，得到$x=2$。10.化簡后得到：$\frac{a}{a-1}$。11.當$x=3$時，分式化簡后得到$-\frac{1}{12}$。12.化簡后得到：$\frac{1}{x+1}$，代入$x=-2$，得到結(jié)果為$-\frac{1}{3}$。13.化簡后得到：$\frac{3}{x-3}$。2x-1x-22x-x5.先化簡：2x-1x-22x-x5=-x-5x2求值：(-x-5x2)/(x+1)2，其中x滿足x-x-1=2改寫：將原式化簡為-x-5x2，然后代入x-x-1=2，得到x=-1或x=5。將x=-1代入原式得到結(jié)果為-2/9，將x=5代入原式得到結(jié)果為-50/36。（2013福建泉州，19，9分）先化簡，再求值2/(x-1x2)，其中x=2.改寫：將原式化簡為2/(x-1x2)，代入x=2得到結(jié)果為-2。（2013湖南常德，19，6分）先化簡，再求值.(1x2-2x+1)x-1/(2x+1x-1x+1)，先化簡得到(x-1)2/(2x+1)，然后代入x=1得到結(jié)果為0.25。改寫：將原式化簡為(x-1)2/(2x+1)，然后代入x=1得到結(jié)果為0.25。（2013湖南邵陽，18，8分）已知12/x-1x-1=1，求x+1/x-1的值。改寫：將已知條件化簡得到x=3或x=-1/2，將x=3代入x+1/x-1得到結(jié)果為4，將x=-1/2代入x+1/x-1得到結(jié)果為-2。（2013廣東株洲，18，4分）當x=-2時，求b2a+b的值.改寫：將x=-2代入原式得到結(jié)果為0。（2013江蘇泰州，19（2），4分）計算：(a-b+)÷(a-b2ab-b2)，其中a+b=0.改寫：將a+b=0代入原式得到結(jié)果為-10。（2013山東濟寧，16，5分）計算：x2-111÷(-1)，其中x=·1.改寫：代入x=1得到結(jié)果為-112。（2013重慶江津，21（3），6分）先化簡，再求值:x+2x+23.改寫：將原式化簡得到-2x/(x+2)，代入x=2-1得到結(jié)果為-1/3。（2013江蘇南京，18，6分）計算(1-a2+2a+1)/(a-b2ab-b)，其中a=-3.改寫：將a=-3代入原式得到結(jié)果為-1/8。（2013廣東肇慶，19，7分）先化簡，再求值：a-3a-2/(a-5).改寫：將原式化簡得到(a-2)/(a-5)，代入a=-3得到結(jié)果為-1/2。（20011江蘇鎮(zhèn)江,18（1）,4分）(2)化簡：