導(dǎo)數(shù)與三次函數(shù)-專(zhuān)題

導(dǎo)數(shù)與三次函數(shù)—專(zhuān)題導(dǎo)數(shù)與三次函數(shù)的關(guān)系是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，通過(guò)導(dǎo)數(shù)可以研究三次函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)。三次函數(shù)不僅可以整合其他相關(guān)知識(shí)，還能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法。近年來(lái)，全國(guó)各省市的高考試卷也越來(lái)越注重考查三次函數(shù)的性質(zhì)，例如單調(diào)性、極值、最值等，體現(xiàn)了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)的命題理念。例如，對(duì)于函數(shù)$f(x)=x^3-3x$，可以求出其單調(diào)區(qū)間和極值。通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解可得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$解得$x_1=1$和$x_2=-1$。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化可以得到$f(x)$的單調(diào)性和極值，如下表所示：|x區(qū)間|f'(x)符號(hào)|f(x)單調(diào)性和極值||------|---------|------------------||(-∞,-1)|+|極大值||(-1,1)|-|極小值||(1,+∞)|+|無(wú)極值|同時(shí)，可以求出$f(x)$在閉區(qū)間$[0,3]$上的最值。由于$f(x)$只有一個(gè)極值點(diǎn)$x=1$，因此$f(x)$在$[0,3]$上的最小值為$f(1)=-2$，最大值為$f(3)=18$。對(duì)于變式一$f(x)=x^3+3x^2+3x$，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解可得$f'(x)=3(x+1)$，因此$f(x)$在$(-∞,+∞)$上單調(diào)遞增，沒(méi)有極值。$f(x)$在$[0,3]$上的最小值為$f(0)=0$，最大值為$f(3)=63$。對(duì)于變式二$f(x)=x^3+x^2+3x$，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解可得$f'(x)=3x^2+2x+3$，判別式$\Delta=22-4\times3\times3=-20<0$，因此$f'(x)$沒(méi)有實(shí)數(shù)根，$f(x)$在$(-∞,+∞)$上單調(diào)遞增，沒(méi)有極值。$f(x)$在$[0,3]$上的最小值為$f(0)=0$，最大值為$f(3)=45$。對(duì)于變式三$y_1=t,y_2=x^3-3x$，需要求出$t$取何值時(shí)，$y_1$和$y_2$的圖象有一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)交點(diǎn)。觀察$y_2$的圖象可得，當(dāng)$t>2$或$t<-2$時(shí)，$y_1$和$y_2$只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)$t=-2$或$t=2$時(shí)，$y_1$和$y_2$有兩個(gè)交點(diǎn)?！鄁x在，1和2，上遞增又因?yàn)閒x在x處取得極大值5，所以x必須是1或2。⑵由題意可知，y=fx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,0，2,0，所以f1f20，即3a2bc012a4bc0解得a2，b9，c6故fx2x39x26。又因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，f(x)取得極值-2，所以f'(1)=0，即3a+c=0。代入f(x)中得f(x)=ax^3-3ax+d。由于f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)=0，即d=0。所以f(x)=ax^3-3ax。f'(x)=3ax^2-3a=3a(x^2-1)，所以f(x)的單調(diào)區(qū)間為(-∞,-1)和(1,∞)，極大值為∞。⑵證明：因?yàn)閤1，x2∈(-1,1)，所以|x1|<1，|x2|<1。由于f(x)是奇函數(shù)，所以f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)，令y=x1-x2，則|y|<1。所以f(x1)-f(x2)=f(y)=ay^3-3ay。因?yàn)閒'(1)=0，所以3a+c=0，即c=-3a。代入f(y)中得f(y)=-6ay。因?yàn)閍≠0，所以f(y)的取值范圍為(-∞,0)∪(0,∞)。所以f(x1)-f(x2)<0+4=4，即f(x1)-f(x2)<4恒成立。1.首先，我們可以將文章中的一些數(shù)學(xué)符號(hào)和公式進(jìn)行修正，使其更加規(guī)范和準(zhǔn)確。例如，將“3acf1”改為“3a+c=f'(1)”，將“fxax3cx”改為“f(x)=ax^3+cx”，等等。2.刪除明顯有問(wèn)題的段落，例如第五段中的“f1f1”，因?yàn)檫@個(gè)公式并沒(méi)有任何意義。3.對(duì)每段話進(jìn)行小幅度的改寫(xiě)，使其更加清晰和易懂。例如，將第一段中的“注意：可用fd”改為“我們可以使用f(x)的形式求出d