第四講一元一次方程概念和解法費(fèi)

第四講一元一次方程的概念和解法上海市位育初級(jí)中學(xué) 費(fèi)曉芳【知識(shí)框圖】數(shù)量關(guān)系等量關(guān)系不等量關(guān)系列方程一元一次方程應(yīng)用概念★解法★（8）x+2y=0，【典只型有一例個(gè)題未知】數(shù)—，—并且基未礎(chǔ)知題數(shù)的次數(shù)是一次的方程（5）2x=3x；

是一元一次方程（7）2(x+1)=2；是一元一次方程（6）4-3x；不是等式

不是一元一次方程不是一元一次方程例題1

觀察下列式子，寫出是一元一次方程的編號(hào)：(1),(5),(7).（1）x=0；

（2）3+2=5；是等式但沒(méi)有未知數(shù)是一元一次方程

不是一含元有一未次知方數(shù)程的等式（3）

1

=

4

；

（4）x2

=

9

；x

不是一元一次方程

不是一元一次方程例題1說(shuō)明：在理解一元一次方程的概念時(shí),應(yīng)把握:是一個(gè)方程；只含有一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的次數(shù)是1；化簡(jiǎn)后未知數(shù)的系數(shù)不能為0；分母不能含有未知數(shù)；1

=

4x分式方程（1）某數(shù)比它的

大；（2）某數(shù)比它的2倍小3；已知圓的周長(zhǎng)是5，求這個(gè)圓的半徑；小明帶20元錢去買5支水筆，找回4元，求水筆的單價(jià)；某賓館接待一個(gè)旅游團(tuán)，如果每間房安排4人且住滿，則還空2間房；如果每間房住3人，則有3人沒(méi)有床位，求這個(gè)旅游團(tuán)有多少人？例題2

在下列問(wèn)題中引入未知數(shù)，列出方程：為了求得未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立一種等量關(guān)系54165【典型例題】——分基析礎(chǔ)題中題量與量之間的關(guān)系例題2

在下列問(wèn)題中引入未知數(shù)，列出方程：（1）某數(shù)比它的

大（2）某數(shù)比它的2倍小3；【典型例題】——基礎(chǔ)題54165

；等量關(guān)系某數(shù)＋3＝它的2倍列方程4

=

5某數(shù)–它的

5

16設(shè)某數(shù)為xx

-

4

x

=

55

16設(shè)某數(shù)為xx

+

3

=

2x【典型例題】——基礎(chǔ)題等量關(guān)系列方程例題2

在下列問(wèn)題中引入未知數(shù)，列出方程：（3）已知圓的周長(zhǎng)是5，求這個(gè)圓的半徑；已知量

未知量圓的周長(zhǎng)公式C

=

2pr設(shè)圓的半徑為x2px

=

5利用以前學(xué)過(guò)的周長(zhǎng)、面積公式來(lái)列方程【典型例題】——基礎(chǔ)題列方程例題2

在下列問(wèn)題中引入未知數(shù)，列出方程：利用生活中常見(jiàn)的等量關(guān)系來(lái)列方程（4）小明帶20元錢去買5支水筆，找回4元，求水筆的單價(jià)；等量關(guān)系

帶去的錢-5支水筆的總價(jià)=找回的錢20元

5支×水筆單價(jià)

4元設(shè)水筆的單價(jià)為x元20

-

5x

=

4則還空2間房；如果每間房住3人，則有3人沒(méi)有床位，求這個(gè)旅游團(tuán)有多少人？等量關(guān)系列方程在具體解決一些問(wèn)題時(shí)，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)。賓館里的總房間數(shù)作等量關(guān)系安排方式①：

x

+

2安排方式②：(x

-3)?3x

+

2

=

x

-

34

3設(shè)賓館里的總房間數(shù)為y間旅行團(tuán)的人4數(shù)作等量關(guān)系例題2

在下列問(wèn)題中引入未知數(shù)，列出方程：

4(

y

-

2)（5）某賓館接待一個(gè)旅游團(tuán)，如果每間房安排4人且住滿，3

y+

34(

y

-

2)

=

3

y

+

3賓館里的總房間數(shù)

旅行團(tuán)的人數(shù)設(shè)旅行團(tuán)有x人例題2說(shuō)明：列方程可分兩步進(jìn)行：第一步先根據(jù)題設(shè)條件設(shè)未知數(shù)；第二步要找到未知數(shù)和已知數(shù)之間的等量關(guān)系，從而得到方程。把題目中隱含的數(shù)量關(guān)系用方程來(lái)描述，關(guān)鍵是理解題目中的相關(guān)信息，并能準(zhǔn)確找出題目中的等量關(guān)系，尤其是題目中的關(guān)鍵詞語(yǔ)應(yīng)仔細(xì)理清。①由7＋x＝13，得x＝13＋7；②由5x＝4x＋8，得5x-4x＝8；③由3x=2x＋5，得3x＋2x=5；④由2x＋3=x-7，得2x-x=7-3.等式性質(zhì)2：方程中的任何一項(xiàng)，【典型例題】——都基可礎(chǔ)以題在改變符號(hào)后，從方程的一邊移到另一邊復(fù)習(xí)等式的兩個(gè)性質(zhì)等式性質(zhì)1：如等果式a兩=邊b，同那時(shí)么加a上±（c=或b±減c.去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)代數(shù)式，等式仍成立。等如式果兩a=邊b，同那時(shí)么乘a以c=同bc一；個(gè)數(shù)（或除以同一個(gè)c

ca

b不如為果零a=的b，數(shù)c）≠0，那等么式仍=成立.

。例題3（1）判斷下列做法對(duì)不對(duì)。如果不對(duì)，錯(cuò)在哪里？應(yīng)該怎樣改正？移項(xiàng)【典型例題】——基礎(chǔ)題例題3（1）判斷下列做法對(duì)不對(duì)。如果不對(duì)，錯(cuò)在哪里？應(yīng)該怎樣改正？改變符號(hào)改正：得x＝13－7①由7＋x＝13，得x＝13＋7；×7＋x－7＝13－7

x＝13－7②由5x＝4x＋8，得5x－4x＝8；√改變符號(hào)改正：得3x－2x

＝5③由3x=2x＋5，得3x＋2x=5；×改正：2x－x

＝－7－3改變符號(hào)④由2x＋3=x－7，得2x－x=7－3.

×說(shuō)明：判斷移項(xiàng)的過(guò)程是否正確，關(guān)鍵看移項(xiàng)后的符號(hào)是否改變。根據(jù)等式的性質(zhì)1，移項(xiàng)時(shí)，該項(xiàng)的符號(hào)要改變。所以移項(xiàng)的法則可概括為“移項(xiàng)要變號(hào)”。值得注意：沒(méi)有移動(dòng)的項(xiàng)的符號(hào)不能改變；等號(hào)同一邊的項(xiàng)互相調(diào)換位置時(shí)，這些項(xiàng)的符號(hào)也不能改變。依據(jù)例題3(2)下面解方程的過(guò)程有錯(cuò)嗎？如果有，請(qǐng)指出錯(cuò)在哪里。3(2

x

-

3)

-

2(

x

+

4)

=

4(3

-

x)

+

19.去括號(hào)，得移項(xiàng)，得化簡(jiǎn)，得【典型例題】——基礎(chǔ)題去括號(hào)乘法分配律6x

-93

-

2x

-+84

=

12

-4xx++1199

邊乘邊去括號(hào)66xx--22xx++4x

=

12

+19

+

93+-8458x

=3408必先須把注因意數(shù)：乘進(jìn)去(6x

-9)-(2x

+8)=(12

-4x)+19括再號(hào)去前括帶號(hào)正號(hào)，去掉括6

x號(hào)-后9

-括2號(hào)x

-內(nèi)8各=項(xiàng)12的-符4

x號(hào)+不19變；★括號(hào)前帶負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)要改變。正確解法：兩邊同除以x的系數(shù)85，得方程的解xx

==66.例題3(3)下面解方程的過(guò)程有錯(cuò)嗎？如果有，應(yīng)怎樣改正？=

2.0.3

-

0.7【典型例題】——基礎(chǔ)題質(zhì)母是21分?jǐn)?shù)的基本性-2

-2

x

=20

最簡(jiǎn)公分去分母的小數(shù)，得10x(x

-2)-10+1(2

x

+1)=233

7

7去分母，得70(7x(-x

2-)2-)30-3((22xx++11))==42420

×21將分子、分母同時(shí)乘以去括號(hào)，得

70x

-7140x

-14-

60-

x6x--303==42420移項(xiàng)，得

同一個(gè)非零數(shù)，分?jǐn)?shù)值不變70x7-x60-

6xx==42420+140+

14++303

.化簡(jiǎn)，得

10x

=x212=

437（

x

-

2）（2

x

+

1）兩邊同時(shí)除以x的系數(shù)10，得1065x

=5所以，方程的解為x

=106

.分別代入方程的左邊和右邊，得：5106化把x

=0.7∵左邊＝右邊0.32

·106

+

1左邊＝

5

-

5

=

2; 右邊＝2；106

-

25所以，方程的解為x

=437.∴

x

=106

是原方程的解。正確解法：a方程的解x

=b

.例題3說(shuō)明解一元一次方程的一般步驟是：去分母——在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)；去括號(hào)——先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)；移項(xiàng)——把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊（移項(xiàng)要變號(hào)）；合并并化簡(jiǎn)——把方程化成ax=b（a≠0）的形式；系數(shù)化為1——在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到必須注意：當(dāng)一個(gè)方程變形為另一個(gè)方程時(shí)，不能寫成連等的形式。去分母時(shí)，常以各分母的最小公倍數(shù)乘以方程兩邊的每一“項(xiàng)”。去分母后，要把原分子帶上括號(hào)，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤。移項(xiàng)時(shí)必須改變這一項(xiàng)的符號(hào)。例題3說(shuō)明：一元一次方程等式性質(zhì)化簡(jiǎn)方程ax=b的形式一元一次方程標(biāo)準(zhǔn)形式【典型例題】——基礎(chǔ)題14x

=

35化簡(jiǎn)，得5另所解以：原移方項(xiàng)程，的得解5(是2

xx-=3

5

.2(2

x

-3)=8

+6)

+化簡(jiǎn)，得7(2

x

-32)=14兩邊同時(shí)除以（2x－3）的系數(shù)7，得2

x

-3

=22

x

=

5移項(xiàng)，得兩邊同時(shí)除以x的系數(shù)14，，得x

=25x=

2兩邊同時(shí)除以x的系數(shù)2，得例題4

解下列方程：(1)5(2

x

-

3)

-

6

=

8

-

2(2

x

-

3);“整體思想”解：去括號(hào)，得

10x

-15

-

6

=

8

-

4x

+

6化簡(jiǎn)，得10x

-21

=-4x

+14移項(xiàng)，得10x

+4x

=14

+212所以原方程的解是x

=5

.轉(zhuǎn)化【典型例題】——基礎(chǔ)題例題4

解下列方程：(2)

-

6

-

5(

x

-

3)

=

7

-

5(

x

-

1).解：去括號(hào)，得-6

-5

x

+15

=7

-5

x

+5-

5

x

+

9

=

-5

x

+

12-

5

x

+

5

x

=

12

-

9化簡(jiǎn)，得移項(xiàng)，得化簡(jiǎn)，得0

=3

這個(gè)等式不成立所以原方程無(wú)解?！镜湫屠}】1——提高題解:(1)根據(jù)題意，得2-5m=1，解得5。例題5

（1）若-

2

x2-5m

+

1

=

0

是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值是多少？2－5m=1

關(guān)于m的一元一次方程（2）若關(guān)于x的方程(k

-1)x

2

+kx

-6k

=0

是一元一次方程，求k的值和方程的解。只有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的方程x2系數(shù)為0

x系數(shù)不為0k-1=0且k≠0關(guān)于k的一元一次方程解:(2)根據(jù)題意，得k-1=0且k≠0，解得k=1且k≠0，∴k=1x

=

6原方程變?yōu)閤

-6

=0，解得思考：如果關(guān)于x的方程試求m的值是多少？2=m+=3

1

.8是一元一次方程，m(1

-

m)

x【典型例題】——提高題標(biāo)準(zhǔn)方程ax=b的形式例題6

解關(guān)于x的方程：2cx－d＝

(c＋1)x解：移項(xiàng)，得2cx－(c＋1)x＝d化簡(jiǎn)，得

(c－1)x＝d當(dāng)c－1≠0即c≠1時(shí)，d兩邊同時(shí)除以x的系數(shù)（c－1）得x

=c

-10x≠0等式都不能成立當(dāng)cc－-11==00且即dc==01時(shí)時(shí)，，即方c程=1變，為d=000·，x=方d程變?yōu)?x=0此時(shí)方程有無(wú)數(shù)個(gè)解；當(dāng)c-1=0且d0≠x0=時(shí)0

，即c=1，d≠0，方無(wú)程論變x為取0何x≠值0

，此無(wú)時(shí)論方x程取無(wú)何解值。，等式一定成立由例題6說(shuō)明解關(guān)于x的方程ax=b（a、b為常數(shù)）ax

=

b

.當(dāng)a≠0時(shí)，兩邊同時(shí)除以x的系數(shù)a，得此時(shí)方程有唯一解；當(dāng)a=0

且b=0時(shí)，方程變?yōu)?x=0，此時(shí)方程有無(wú)數(shù)個(gè)解；當(dāng)a=0

且b≠0時(shí)，方程變?yōu)?x=b≠0，此時(shí)方程無(wú)解。例題7

閱讀理解題

：我們知道：①若ab=0，則a=0或b=0；【典型例題】——拓展題a、b中至少有一個(gè)為0“方程的解”的定②x=3可以看成一元一次方程義

的解。x-3=0試構(gòu)造一個(gè)方程，使它的解是x=2

或x=-1。x-2=0

或x+1=0(x-2)(x+1)=0解:可構(gòu)造方程：(x-2)(x+1)=0。(x-2)(x+1)+2=2；4(x-2)(x+1)=0；…【典型例題】——拓展題3

4-3

-2

-1

0

1

2例題8

閱讀理解題

：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，|a|可以理解為“在數(shù)軸上，數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離”，那么|a-2|可以理解為“在數(shù)軸上，數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離”。請(qǐng)你用含有絕對(duì)值符號(hào)的式子表示：一個(gè)點(diǎn)與3、4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和等于2，并在數(shù)軸上找到這個(gè)點(diǎn)。設(shè)這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為a

|a-3|

+

|a-4|=23

4設(shè)這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為a|a-3|

+

|a-4|=22此時(shí)a

=5

;-3

-2

-1

0

1

2①若a＜3，則a-3＜0，a-4＜0化簡(jiǎn)得：－(a-3)+[－(a-4)]=2,②若3﹤a＜4，則a-3﹥0，a-4＜0化簡(jiǎn)得：(a-3)+[－(a-4)]=2,1

=2,此時(shí)無(wú)解；2③若a﹥4，則a-3﹥0，a-4﹥0化簡(jiǎn)得：(a-3)+(a-4)

=2,

此時(shí)a

=9

;④若a=3，則1=2，此時(shí)無(wú)解；⑤若a=4，則1