第一章　§8　三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

§8三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.(多選)如圖所示為一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象,則下列判斷不正確的是()A.該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為0.7sB.該質(zhì)點(diǎn)的振幅為-5cmC.該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時(shí)的振動(dòng)速度最大D.該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時(shí)的加速度為零解析該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為T=2×(0.7-0.3)=0.8s,故A是錯(cuò)誤的;該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5cm,故B是錯(cuò)誤的;該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時(shí)的振動(dòng)速度是零,所以C是錯(cuò)誤的,D正確.答案ABC2.如圖所示的是一個(gè)半徑為3米的水輪,水輪的圓心O距離水面2米,已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈,水輪上的點(diǎn)P到水面的距離y(米)與時(shí)間t(秒)滿足關(guān)系式y(tǒng)=Asin(ωt+φ)+2,則()A.ω=152π,A=3 B.ω=2πC.ω=2π15,A=5 D.ω=152解析因?yàn)閥=Asin(ωx+φ)+2,最高點(diǎn)離平衡位置距離是3,所以A=3.因?yàn)樗喢糠昼娦D(zhuǎn)4圈,所以轉(zhuǎn)動(dòng)一周為一個(gè)周期,所以T=15秒,ω=2π故ω=2π15,A=答案B3.動(dòng)點(diǎn)A(x,y)在圓x2+y2=1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn),12s旋轉(zhuǎn)一周,已知時(shí)間t=0時(shí),點(diǎn)A的坐標(biāo)是12,32,則當(dāng)0≤t≤12時(shí),動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t(單位:s)A.[0,1] B.[1,7]C.[7,12] D.[0,1]和[7,12]解析因?yàn)門=12,所以ω=2π12=π6,從而可設(shè)y關(guān)于t又t=0時(shí),y=32,所以φ=π所以y=sinπ6所以當(dāng)2kπ-π2≤π6t+π3≤2kπ+π即12k-5≤t≤12k+1(k∈Z)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.因?yàn)?≤t≤12,所以函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,1]和[7,12].答案D4.某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到中心點(diǎn)O的距離為5cm,秒針均勻地繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),當(dāng)時(shí)間t=0時(shí),點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B重合,將A,B兩點(diǎn)的距離d(單位:cm)表示成時(shí)間t(單位:s)的函數(shù),則d=,其中t∈[0,60].

解析解析式可寫為d=Asin(ωt+φ)的形式,由題意易知A=10,當(dāng)t=0時(shí),d=0,得φ=0;當(dāng)t=30時(shí),d=10,可得ω=π60,所以d=10sinπ答案10sinπ能力提升練1.交流電的電壓E(單位:V)與時(shí)間t(單位:s)的關(guān)系可用E=2203sin100πt求:(1)開始時(shí)的電壓;(2)電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔;(3)電壓的最大值和第一次獲得這個(gè)最大值的時(shí)間.解(1)當(dāng)t=0s時(shí),E=2203sinπ6=1103(V),即開始時(shí)的電壓為1103V(2)T=2π100π=150=0.02s,即電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔為(3)電壓的最大值為2203V,令100πt+π6=π2,解得t=1300.即t=2.如圖,在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,此矩形沿地面上一直線滾動(dòng),在滾動(dòng)過程中始終與地面垂直,設(shè)直線BC與地面所成的角為θ,矩形周邊上最高點(diǎn)離地面的距離為f(θ).求:(1)θ的取值范圍;(2)f(θ)的解析式;(3)f(θ)的值域.解(1)觀察可知BC與地面所成的角θ的取值范圍為0,π2.(2)如圖,連接BD,已知AB=1,BC=3,則∠DBC=π6,過D作地面的垂線,垂足為E,在Rt△BED中,∠DBE=θ+π6,所以f(θ)=2sinθ+π60≤θ≤π2.(3)由(2)知f(θ)=2sinθ+π60≤θ≤π2,所以π6≤θ+π所以12≤sinθ+π6≤1,即f(θ)的值域?yàn)閇1,2].素養(yǎng)培優(yōu)練少林寺作為國家五A級(jí)旅游景區(qū),每年都會(huì)接待大批游客.在少林寺的一家專門為游客提供住宿的客棧中,工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準(zhǔn)備的食物有些月份剩余較多,浪費(fèi)很嚴(yán)重.為了控制經(jīng)營成本,減少浪費(fèi),計(jì)劃適時(shí)調(diào)整投入.為此他們統(tǒng)計(jì)每個(gè)月入住的游客人數(shù),發(fā)現(xiàn)每年各個(gè)月份來客棧入住的游客人數(shù)呈周期性變化,并且有以下規(guī)律:①每年相同的月份,入住客棧的游客人數(shù)基本相同;②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少,在8月份最多,相差約400;③2月份入住客棧的游客約為100人,隨后逐月遞增,在8月份達(dá)到最多.(1)試用一個(gè)正弦型三角函數(shù)描述一年中入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系;(2)請(qǐng)問客棧在哪幾個(gè)月份要準(zhǔn)備400份以上的食物?解(1)設(shè)該函數(shù)為f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π),其中x=1,2,…,12.根據(jù)①,可知這個(gè)函數(shù)的周期是12;由②,可知f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故該函數(shù)的振幅為200;由③,可知f(x)在[2,8]上單調(diào)遞增,且f(2)=100,所以f(8)=500.根據(jù)上述分析可得2πω=12,故ω=π6,A=200,B=500-200當(dāng)x=2時(shí),f(x)最小,當(dāng)x=8時(shí),f(x)最大,故sin2×π6+φ=-1,且sin8×π6+φ=1.又|φ|<π,故φ=-5π所以入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的函數(shù)關(guān)系式為f(x)=200sinπ6x-5π6+300(x=1,2,…,12)(2)由條件,可知200sinπ6x-5π6+300≥化簡(jiǎn)得s