江西省吉安市南嶺中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

江西省吉安市南嶺中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.Rt△ABC的斜邊AB等于4，點(diǎn)P在以C為圓心、1為半徑的圓上，則的取值范圍是（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】結(jié)合三角形及圓的特征可得，進(jìn)而利用數(shù)量積運(yùn)算可得最值，從而得解.【詳解】.注意，，所以當(dāng)與同向時(shí)取最大值5，反向時(shí)取小值-3.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的線性運(yùn)算，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及幾何圖形中向量問(wèn)題的求解.屬于中檔題.2.已知函數(shù)f（x）=cosx﹣sinx，f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，那么等于(

) A． B． C． D．參考答案：C考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)，再代值計(jì)算即可．解答： 解：f′（x）=﹣sinx﹣cosx，∴f′（）=﹣sin﹣cos=﹣，故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)的基本公式，屬于基礎(chǔ)題．3.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C4.為調(diào)查某校學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例，采用如下調(diào)查方法：在該校中隨機(jī)抽取名學(xué)生，并編號(hào)在箱內(nèi)放置兩個(gè)白球和三個(gè)紅球，讓抽取的名學(xué)生分別從箱中隨機(jī)摸出一球，記住顏色并放回；請(qǐng)下列兩類學(xué)生舉手：ⅰ摸到白球且號(hào)數(shù)為偶數(shù)的學(xué)生；ⅱ摸到紅球且不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生。如果共有名學(xué)生舉手，那么用概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)估計(jì)，該學(xué)校中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例大約是、﹪

、﹪

、﹪

、﹪參考答案：B5.對(duì)非零實(shí)數(shù)x，y，z，定義運(yùn)算“”滿足：（1）xx=1；（2）x（yz）=(xy)·z,若，則下列判斷正確的是（

）A.是增函數(shù)又是奇函數(shù) B.是減函數(shù)又是奇函數(shù)C.是增函數(shù)又是偶函數(shù) D.是減函數(shù)又是偶函數(shù)參考答案：6.設(shè)集合，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B7.甲、乙兩人約好一同去看《變形金剛5》，兩人買完了電影票后，偶遇丙也來(lái)看這場(chǎng)電影，此時(shí)還剩9張?jiān)搱?chǎng)電影的電影票，電影票的座位信息如下表。1排4號(hào)1排5號(hào)1排8號(hào)2排4號(hào)

3排1號(hào)3排5號(hào)

4排1號(hào)4排2號(hào)4排8號(hào)丙從這9張電影票中挑選了一張，甲、乙詢問(wèn)丙所選的電影票的座位信息，丙只將排數(shù)告訴了甲，只將號(hào)數(shù)告訴了乙。下面是甲、乙關(guān)于丙所選電影票的具體座位信息的一段對(duì)話：甲對(duì)乙說(shuō)：“我不能確定丙的座位信息，你肯定也不能確定?！币覍?duì)甲說(shuō)：“本來(lái)我不能確定，但是現(xiàn)在我能確定了。”甲對(duì)乙說(shuō)：“哦，那我也能確定了！”根據(jù)上面甲、乙的對(duì)話，判斷丙選擇的電影票是A.4排8號(hào)

B.3排1號(hào)

C.2排4號(hào)

D.1排5號(hào)參考答案：B8.設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是

A.

B.

C.

D.參考答案：D略9.已知兩條直線和互相垂直，則等于(

)A. B. C． D．參考答案：D略10.展開(kāi)式中任取一項(xiàng)，則所取項(xiàng)是有理項(xiàng)的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】DC：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用；C7：等可能事件的概率．【分析】要求展開(kāi)式中的有理項(xiàng)，只要在通項(xiàng)中，讓x的指數(shù)為整數(shù)，求解符合條件的r，求出有理項(xiàng)的數(shù)目，通過(guò)古典概率的計(jì)算公式可求【解答】解：由題意可得二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)=根據(jù)題意可得，為整數(shù)時(shí)，展開(kāi)式的項(xiàng)為有理項(xiàng)，則r=3，9共有2項(xiàng)，而r的所有取值是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12個(gè)所求的概率為故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列命題：

①若，，則；②若已知直線與函數(shù)，的圖像分別交于點(diǎn)，，則的最大值為；③若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則取值范圍是；④若直線的斜率，則直線的傾斜角；其中真命題的序號(hào)是：_________．參考答案：①②對(duì)于①,因?yàn)椋?，則，所以成立；對(duì)于②，，故②正確；對(duì)于③，恒成立，故③不正確；對(duì)于④，由傾斜角，故④不成立，故正確的有①②．12.如圖，已知圓柱和半徑為的半球O，圓柱的下底面在半球O底面所在平面上，圓柱的上底面內(nèi)接于球O，則該圓柱體積的最大值為_(kāi)______．參考答案：2π【分析】設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，高為h，求出r與h的關(guān)系，再計(jì)算圓柱的體積V，從而求出體積V的最大值．【詳解】解：設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，高為h；則h2+r2＝R2＝3；所以圓柱的體積為V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；則V′（h）＝π（3﹣3h2），令V′（h）＝0，解得h＝1；所以h∈（0，1）時(shí)，V′（h）＞0，V（h）單調(diào)遞增；h∈（1，）時(shí)，V′（h）＜0，V（h）單調(diào)遞減；所以h＝1時(shí)，V（h）取得最大值為V（1）＝2π．故答案為：2π．【點(diǎn)睛】本題考查了半球與內(nèi)接圓柱的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了圓柱的體積計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．13.已知，則的最小值為_(kāi)_________．參考答案：略14.已知m，n∈N*，f（x）=（1+x）m+（1+x）n展開(kāi)式中x的系數(shù)為19，則當(dāng)x2的系數(shù)最小時(shí)展開(kāi)式中x7的系數(shù)為

．參考答案：156【考點(diǎn)】DB：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】m，n∈N*，f（x）=（1+x）m+（1+x）n展開(kāi)式中x的系數(shù)為19，可得m+n=19．則當(dāng)x2的系數(shù)==n2﹣19n+171=+．可得n=10或9時(shí)，x2的系數(shù)取得最小值．可得f（x）=（1+x）9+（1+x）10．再利用通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：m，n∈N*，f（x）=（1+x）m+（1+x）n展開(kāi)式中x的系數(shù)為19，∴m+n=19．則當(dāng)x2的系數(shù)====n2﹣19n+171=+．∴n=10或9時(shí)，x2的系數(shù)最小為：81．∴f（x）=（1+x）9+（1+x）10．展開(kāi)式中x7的系數(shù)==156．故答案為：156．15.已知中，，BC=3，AC=4。P是AB上的點(diǎn)，則P到AC、BC的距離乘積的最大值

參考答案：316.如圖是一體積為72的正四面體，連接兩個(gè)面的重心E、F，則線段EF的長(zhǎng)是__________．參考答案：考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征．專題：計(jì)算題；作圖題；綜合題．分析：如圖，求出正四面體的棱長(zhǎng)，然后求出線段EF的長(zhǎng)．解答：解：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則正四面體的體積為=72，a=6，EF=，故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查計(jì)算能力，空間想象能力，是基礎(chǔ)題，正四面體的體積、表面積、內(nèi)切球半徑、外接球半徑、正四面體的高等，都是應(yīng)該記憶的．17.在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若b2=a2+ac+c2，則角B=

．參考答案：120°【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形．【分析】根據(jù)題意由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可求得cosB的值，再利用B為△ABC中的角，即可求得B．【解答】解：∵在△ABC中，b2=a2+ac+c2，又b2=a2+c2﹣2accosB∴﹣2accosB=ac，∴cosB=﹣，又∠A為△ABC中的角，∴A=120°．故答案為：120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理，考查學(xué)生記憶與應(yīng)用公示的能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R）（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集為P，集合Q={x|0≤x≤1}，若P∩Q=?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】（1）應(yīng)用一元二次不等式恒成立時(shí)判別式△≤0，求出a的取值范圍；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式f（x）＞0對(duì)x∈Q恒成立，由此求出a的取值范圍．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R），且關(guān)于x的不等式f（x）≥0的解集為R，∴△=（a+1）2﹣4≤0，解得﹣3≤a≤1，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是﹣3≤a≤1；（2）∵關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集是P，集合Q={x|0≤x≤1}，當(dāng)P∩Q=?時(shí)，即不等式f（x）＞0對(duì)x∈Q恒成立；∴x∈[0，1]時(shí)，x2﹣（a+1）x+1＞0恒成立，∴a+1＜x+對(duì)于x∈（0，1]時(shí)恒成立；∴a+1＜2，即a＜1，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程以及對(duì)應(yīng)不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．19.(本小題12分)在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，M、N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(diǎn)。(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程，并求M、N的極坐標(biāo)；(2)設(shè)MN中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程。參考答案：（1）由得∴，即令得，即，∴M的極坐標(biāo)為令得，即，∴N的極坐標(biāo)為…………6分(2)由(1)易知，所以直線OP的斜率為直線OP的直角坐標(biāo)方程為：∴，故∴或∴直線OP極坐標(biāo)方程為…………12分20.（本題滿分10分）某人玩硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是．棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、……、第()站．一枚棋子開(kāi)始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出正面，棋子向前跳一站；若擲出反面，則棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第站(勝利大本營(yíng))或第站(失敗大本營(yíng))時(shí)，該游戲結(jié)束．設(shè)棋子跳到第n站的概率為．(1)求P0，Pl，P2；（2）寫出與的遞推關(guān)系；(3)求證：玩該游戲獲勝的概率小于．參考答案：(10分)解：(1)依題意，得

P0=1，P1=，=

3分.(2)依題意，棋子跳到第n站(2≤n≤m)有兩種可能：第一種，棋子先到第n-2站，又?jǐn)S出反面，其概率為；第二種，棋子先到第n-1站，又?jǐn)S出正面，其概率為∴

3分（3）即

2分可知數(shù)列{}(1≤n≤99)是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，于是有=因此，玩該游戲獲勝的概率小于.

2分略21.（12分）（2015秋?隆化縣校級(jí)期中）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）畫出二面角A﹣B1C﹣C1的平面角；（2）求證：面BB1DD1⊥面AB1C．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．

【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（1）取B1C的中點(diǎn)O，連結(jié)AO，C1O，由AB1=AC，B1C1=CC1，得∠AOC1是二面角A﹣B1C﹣C1的平面角．（2）由已知得AC⊥BD，AC⊥BB1，從而AC⊥平面BB1DD1，由此能證明面BB1DD1⊥面AB1C．【解答】（1）解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，取B1C的中點(diǎn)O，連結(jié)AO，C1O，∵AB1=AC，B1C1=CC1，∴AO⊥B1C，C1O⊥B1C，∴∠AOC1是二面角A﹣B1C﹣C1的平面角．（2）證明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BB1，BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1DD1，∵AC?平面AB1C，∴面BB1DD1⊥面AB1C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角的平面角的作法，考查平面與平面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．22.（本小題滿分12分）設(shè)