+空間統(tǒng)計分析初步

第四章空間統(tǒng)計分析本章主要內(nèi)容第一節(jié)探索性空間統(tǒng)計分析

第二節(jié)地統(tǒng)計分析方法

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院空間統(tǒng)計分析,即空間數(shù)據(jù)（spatialdata）的統(tǒng)計分析，是現(xiàn)代計量地理學(xué)中一個快速發(fā)展的方向和領(lǐng)域?？臻g統(tǒng)計分析，其核心就是認識與地理位置相關(guān)的數(shù)據(jù)間的空間依賴、空間關(guān)聯(lián)或空間自相關(guān)，通過空間位置建立數(shù)據(jù)間的統(tǒng)計關(guān)系?？臻g統(tǒng)計分析的任務(wù)，就是運用有關(guān)統(tǒng)計方法，建立空間統(tǒng)計模型，從凌亂的數(shù)據(jù)中挖掘空間自相關(guān)與空間變異規(guī)律。

空間統(tǒng)計分析甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院空間數(shù)據(jù)分析與傳統(tǒng)統(tǒng)計分析主要有兩大差異：(1)空間數(shù)據(jù)間并非獨立，而是在維空間中具有某種空間相關(guān)性，且在不同的空間分辨率下呈現(xiàn)不同之相關(guān)程度；(2)地球只有一個，大多數(shù)空間問題僅有一組（空間分布不規(guī)則的）觀測值，而無重復(fù)觀測數(shù)據(jù)。因此，空間現(xiàn)象的了解與描述是極為復(fù)雜的，而傳統(tǒng)方法，尤其是建立在獨立樣本上的統(tǒng)計方法，不適合分析空間數(shù)據(jù)。空間統(tǒng)計VS.經(jīng)典統(tǒng)計經(jīng)典統(tǒng)計：獨立性、隨機性假設(shè)空間統(tǒng)計：自相關(guān)、依賴性、異質(zhì)性甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院地理學(xué)第一定律（FLG）:everythingisrelatedtoeverythingelse,butnearthingsaremorerelatedthandistantthings(Tobler,1970).空間統(tǒng)計的基本思想：WaldoTobler（bornin1930）receivingaplaqueforhiscontributionstogeography.OntheeventofhisNovember2000birthday./wiki/Waldo_R._Tobler

Tobler,W.R.(1970)."AcomputermoviesimulatingurbangrowthintheDetroitregion".EconomicGeography,46(2):234-240.FLG的一般性:自然地理、人文地理、社會經(jīng)濟甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院空間自相關(guān)是普遍存在的，否則地理分析便沒有多大意義。

經(jīng)典統(tǒng)計：獨立

空間自相關(guān)的存在，使得經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)所要求的樣本獨立性假設(shè)不滿足。如果地理學(xué)從根本上值得研究，必然是因為地理現(xiàn)象在空間上的變化不是隨機的。

經(jīng)典統(tǒng)計：隨機甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院可以借助空間統(tǒng)計更好地理解地理現(xiàn)象。

或許學(xué)習(xí)空間統(tǒng)計最重要的原因是我們不僅僅想知道問題“怎么樣”，更想知道“哪里怎么樣”

空間統(tǒng)計學(xué)可以幫助我們準確地判斷具體地理模式的原因。

JohnSnow的霍亂地圖

當(dāng)發(fā)現(xiàn)某種病僅僅發(fā)生在靠近河流的村莊時，河流中的寄生物可能是病源。空間統(tǒng)計學(xué)可以幫助我們處理大的復(fù)雜數(shù)據(jù)集,這是GIS經(jīng)常面對的事情。為什么要用空間統(tǒng)計甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院霍亂病死者居住分布圖(JohnSnow,1854)1854年8月到9月英國倫敦霍亂流行時，當(dāng)局始終找不到發(fā)病的原因，后來醫(yī)生約翰·斯諾(JohnSnow)參與調(diào)查。他在繪有霍亂流行地區(qū)所有道路、房屋、飲用水機井等內(nèi)容的1：6500比例尺地圖上，標(biāo)出了每個霍亂病死者的居住位置，得到了霍亂病死者居住分布圖。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院第1節(jié)探索性空間統(tǒng)計分析

基本原理與方法

應(yīng)用實例

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院探索性空間數(shù)據(jù)分析(ESDA)ESDA是指利用統(tǒng)計學(xué)原理和圖形圖表相結(jié)合對空間信息的性質(zhì)進行分析、鑒別，用以引導(dǎo)確定性模型的結(jié)構(gòu)和解法。ESDA與EDA區(qū)別在于它考慮了數(shù)據(jù)的空間特性，在方法上它將數(shù)據(jù)分解為一般趨勢和疊加于其上的局部變化兩部分。然后用一定的數(shù)學(xué)函數(shù)去擬合由樣本點產(chǎn)生的經(jīng)驗變率函數(shù)，進行諸如克立格內(nèi)插等空間操作。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院通常定義一個二元對稱空間權(quán)重矩陣W，來表達n個位置的空間區(qū)域的鄰近關(guān)系，其形式如下式中：Wij表示區(qū)域i與j的臨近關(guān)系，它可以根據(jù)鄰接標(biāo)準或距離標(biāo)準來度量。

一、基本原理與方法

（一）空間權(quán)重矩陣

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院①簡單的二進制鄰接矩陣②基于距離的二進制空間權(quán)重矩陣兩種最常用的確定空間權(quán)重矩陣的規(guī)則

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院（二）全局空間自相關(guān)

Moran指數(shù)反映的是空間鄰接或空間鄰近的區(qū)域單元屬性值的相似程度。

Geary系數(shù)與Moran指數(shù)存在負相關(guān)關(guān)系。

PatrickA.P.Moran（1917-1988）

Moran指數(shù)和Geary系數(shù)是兩個用來度量空間自相關(guān)的全局指標(biāo)。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院如果是位置（區(qū)域）的觀測值，則該變量的全局Moran指數(shù)I，用如下公式計算式中：I為Moran指數(shù)；

；。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院

Geary系數(shù)C計算公式如下

式中：C為Geary系數(shù)；其他變量同上式。如果引入記號甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院則全局Moran指數(shù)I的計算公式也可以進一步寫成Moran指數(shù)I的取值一般在[-1，1]之間,小于0表示負相關(guān)，等于0表示不相關(guān)，大于0表示正相關(guān)；Geary系數(shù)C的取值一般在[0，2]之間，大于1表示負相關(guān)，等于1表示不相關(guān)，而小于1表示正相關(guān)。

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院對于Moran指數(shù)，可以用標(biāo)準化統(tǒng)計量Z來檢驗n個區(qū)域是否存在空間自相關(guān)關(guān)系，Z的計算公式為

當(dāng)Z值為正且顯著時，表明存在正的空間自相關(guān)，也就是說相似的觀測值(高值或低值)趨于空間集聚；當(dāng)Z值為負且顯著時，表明存在負的空間自相關(guān)，相似的觀測值趨于分散分布；當(dāng)Z值為零時，觀測值呈獨立隨機分布。

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院G系數(shù)探測高值聚集的能力強于低值聚集;當(dāng)研究范圍內(nèi)同時存在高值和低值聚集時,G系數(shù)會受聚集區(qū)域規(guī)模的影響,當(dāng)高值聚集區(qū)域和低值聚集區(qū)域規(guī)模相當(dāng)時,G系數(shù)往往為正數(shù),表明G系數(shù)對高值敏感;Moran指數(shù)主要受聚集區(qū)域規(guī)模的影響,隨著空間聚集范圍的擴展,Moran指數(shù)會明顯增大。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院（三）局部空間自相關(guān)

局部空間自相關(guān)分析方法包括3種:

空間聯(lián)系的局部指標(biāo)(LISA)；

G統(tǒng)計量；

Moran散點圖。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院空間聯(lián)系的局部指標(biāo)(LISA)

空間聯(lián)系的局部指標(biāo)（localindicatorsofspatialassociation，縮寫為LISA）滿足下列兩個條件：（1）每個區(qū)域單元的LISA，是描述該區(qū)域單元周圍顯著的相似值區(qū)域單元之間空間集聚程度的指標(biāo)；（2）所有區(qū)域單元LISA的總和與全局的空間聯(lián)系指標(biāo)成比例。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院LISA包括局部Moran指數(shù)（localMoranindex）和局部Geary指數(shù)（localGearyindex），下面重點介紹和討論局部Moran指數(shù)。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院局部Moran指數(shù)被定義為可進一步寫成

式中：和是經(jīng)過標(biāo)準差標(biāo)準化的觀測值。

局部Moran指數(shù)檢驗的標(biāo)準化統(tǒng)計量為

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院G統(tǒng)計量

全局G統(tǒng)計量的計算公式為對每一個區(qū)域單元的統(tǒng)計量為

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院對統(tǒng)計量的檢驗與局部Moran指數(shù)相似，其檢驗值為

顯著的正值表示在該區(qū)域單元周圍，高觀測值的區(qū)域單元趨于空間集聚，而顯著的負值表示低觀測值的區(qū)域單元趨于空間集聚,與Moran指數(shù)只能發(fā)現(xiàn)相似值(正關(guān)聯(lián))或非相似性觀測值(負關(guān)聯(lián))的空間集聚模式相比，具有能夠探測出區(qū)域單元屬于高值集聚還是低值集聚的空間分布模式。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院Moran散點圖

以（Wz，z）為坐標(biāo)點的Moran散點圖，常來研究局部的空間不穩(wěn)定性，它對空間滯后因子Wz和z數(shù)據(jù)對進行了可視化的二維圖示。全局Moran指數(shù)，可以看作是Wz對于z的線性回歸系數(shù)，對界外值以及對Moran指數(shù)具有強烈影響的區(qū)域單元，可通過標(biāo)準回歸來診斷出。由于數(shù)據(jù)對（Wz，z）經(jīng)過了標(biāo)準化，因此界外值可易由2－sigma規(guī)則可視化地識別出來。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院Moran散點圖的4個象限，分別對應(yīng)于區(qū)域單元與其鄰居之間4種類型的局部空間聯(lián)系形式：第1象限代表了高觀測值的區(qū)域單元被高值的區(qū)域所包圍的空間聯(lián)系形式；第2象限代表了低觀測值的區(qū)域單元被高值的區(qū)域所包圍的空間聯(lián)系形式；甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院

第3象限代表了低觀測值的區(qū)域單元被低值的區(qū)域所包圍的空間聯(lián)系形式；第4象限代表了高觀測值的區(qū)域單元被低值的區(qū)域所包圍的空間聯(lián)系形式。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院與局部Moran指數(shù)相比，其重要的優(yōu)勢在于能夠進一步具體區(qū)分區(qū)域單元和其鄰居之間屬于高值和高值、低值和低值、高值和低值、低值和高值之中的哪種空間聯(lián)系形式。并且，對應(yīng)于Moran散點圖的不同象限，可識別出空間分布中存在著哪幾種不同的實體。將Moran散點圖與LISA顯著性水平相結(jié)合，也可以得到所謂的“Moran顯著性水平圖”，圖中顯示出顯著的LISA區(qū)域，并分別標(biāo)識出對應(yīng)于Moran散點圖中不同象限的相應(yīng)區(qū)域。

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院二、應(yīng)用實例

中國大陸30個省級行政區(qū)人均GDP的空間關(guān)聯(lián)分析。根據(jù)各?。ㄖ陛犑?、自治區(qū)）之間的鄰接關(guān)系，采用二進制鄰接權(quán)重矩陣，選取各?。ㄖ陛犑?、自治區(qū)）1998—2002年人均GDP的自然對數(shù)，依照公式計算全局Moran指數(shù)I，計算其檢驗的標(biāo)準化統(tǒng)計量Z（I），結(jié)果如下表所示。年份IZP19980.50014.50350.000019990.50694.55510.000020000.51124.59780.000020010.50594.55320.000020020.50134.53260.0000甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院從表中可以看出，在1998—2002年期間，中國大陸30個省級行政區(qū)人均GDP的全局Moran指數(shù)均為正值；在正態(tài)分布假設(shè)之上，對Moran指數(shù)檢驗的結(jié)果也高度顯著。這就是說，在1998—2002年期間，中國大陸30個省級行政區(qū)人均GDP存在著顯著的、正的空間自相關(guān)，也就是說各省級行政區(qū)人均GDP水平的空間分布并非表現(xiàn)出完全的隨機性，而是表現(xiàn)出相似值之間的空間集聚，其空間聯(lián)系的特征是：較高人均GDP水平的省級行政區(qū)相對地趨于和較高人均GDP水平的省級行政區(qū)相鄰，或者較低人均GDP水平的省級行政區(qū)相對地趨于和較低人均GDP水平的省級行政區(qū)相鄰。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院選取2001年我國30個省級行政區(qū)人均GDP數(shù)據(jù)，計算局部Gi統(tǒng)計量和局部Gi統(tǒng)計量的檢驗值Z(Gi)，并繪制統(tǒng)計地圖如下。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院檢驗結(jié)果表明，貴州、四川、云南西部3省的Z值在0.05的顯著性水平下顯著，重慶的Z值在0.1的顯著性水平下顯著，該4省市在空間上相連成片分布，而且從統(tǒng)計學(xué)意義上來說，與該區(qū)域相鄰的省區(qū)，其人均GDP趨于為同樣是人均GDP低值的省區(qū)所包圍。由此形成人均GDP低值與低值的空間集聚，據(jù)此可認識到西部落后省區(qū)趨于空間集聚的分布特征。

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院東部的江蘇、上海、浙江三省市的Z值在0.05的顯著性水平下顯著，天津的Z值在0.1的顯著性水平下顯著。而東部上海、江浙等發(fā)達省市趨于為一些相鄰經(jīng)濟發(fā)展水平相對較高的省份所包圍，東部發(fā)達地區(qū)的空間集聚分布特征也顯現(xiàn)出來。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院以（Wz,z）為坐標(biāo)，進一步繪制Moran散點圖可以發(fā)現(xiàn)，多數(shù)?。ㄖ陛犑小⒆灾螀^(qū)）位于第1和第3象限內(nèi)，為正的空間聯(lián)系，屬于低低集聚和高高集聚類型，而且位于第3象限內(nèi)的低低集聚類型的省（直轄市、自治區(qū)）比位于第1象限內(nèi)的高高集聚類型的?。ㄖ陛犑?、自治區(qū)）更多一些。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院

上圖進一步顯示了30個省級行政區(qū)人均GDP局部集聚的空間結(jié)構(gòu)?？梢钥闯?，從人均GDP水平相對地來看：高值被高值包圍的高高集聚省（直轄市）有：北京、天津、河南、安徽、湖北、江西、海南、廣東、福建、浙江、山東、上海、江蘇；低值被低值包圍的低低集聚?。ㄗ灾螀^(qū)）有：黑龍江、內(nèi)蒙古、新疆、吉林、甘肅、山西、陜西、青海、西藏、四川、云南、遼寧、貴州；被低值包圍的高值省（直轄市）有：重慶、廣西、河北；被高值包圍的低值省份只有湖南。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院1978、1990、2001和2007年人均GDP的Moran散點圖甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院1978、1990、2001、2007年全國各省市人均GDP的LISA顯著水平圖甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院上海市1990,2000年人口密度變化自相關(guān)分析甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院第2節(jié)地統(tǒng)計分析方法地統(tǒng)計方法的基本原理

應(yīng)用實例

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院地統(tǒng)計學(xué)(Geostatistics),又稱地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)，是法國著名統(tǒng)計學(xué)家G.Matheron在大量理論研究基礎(chǔ)上提出的。地統(tǒng)計學(xué)是以區(qū)域化變量理論為基礎(chǔ)，以變異函數(shù)為主要工具，研究那些在空間分布上既有隨機性又有結(jié)構(gòu)性，或空間相關(guān)和依賴性，或空間格局與變異，并對這些數(shù)據(jù)進行最優(yōu)無偏內(nèi)插估計，或模擬這些數(shù)據(jù)的離散性、波動性。協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)是以區(qū)域化變量理論為基礎(chǔ)建立起來的地統(tǒng)計學(xué)的兩個最基本的函數(shù)。地統(tǒng)計學(xué)的主要方法之一，克立格法就是建立在變異函數(shù)理論和結(jié)構(gòu)分析基礎(chǔ)之上的。

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院當(dāng)一個變量呈現(xiàn)為空間分布時，就稱之為區(qū)域化變量（regionalizedvariable）。這種變量常常反映某種空間現(xiàn)象的特征，用區(qū)域化變量來描述的現(xiàn)象稱之為區(qū)域化現(xiàn)象。

區(qū)域化變量，亦稱區(qū)域化隨機變量，G.Matheron（1963）將它定義為以空間點x的三個直角坐標(biāo)為自變量的隨機場區(qū)域化變量具有兩個最顯著，而且也是最重要的特征，即隨機性和結(jié)構(gòu)性。一、地統(tǒng)計方法的基本原理

（一）區(qū)域化變量

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院區(qū)域化變量是一種在空間上具有數(shù)值的實函數(shù)，它具有以下屬性：空間局限性連續(xù)性各向異性區(qū)域化變量被限制于一定空間范圍，這稱為幾何域。在幾何域內(nèi)，區(qū)域化變量的屬性最為明顯；在幾何域外，不明顯。不同的區(qū)域化變量具有不同程度的連續(xù)性，用區(qū)域化變量的半變異函數(shù)來描述。當(dāng)區(qū)域化變量在各個方向上具有相同性質(zhì)時稱各向同性，否則稱為各向異性。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院其它屬性：①區(qū)域化變量在一定范圍內(nèi)呈一定程度的空間相關(guān)，當(dāng)超出這一范圍之后，相關(guān)性變?nèi)跎踔料?。②對于任一區(qū)域化變量，特殊的變異性可以疊加在一般的規(guī)律之上。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院隨機變量隨機函數(shù)隨機過程隨機場區(qū)域化變量與時間有關(guān)的隨機函數(shù)帶有多個(2個以上)自變量的隨機函數(shù)以空間點的三個直角坐標(biāo)為自變量甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院1962年，法國學(xué)者Matheron提出區(qū)域化變量的理論并創(chuàng)立了地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)，在實踐中不斷得以完善。1963年，Matheron將區(qū)域化變量定義為：以空間點的三個直角坐標(biāo)為自變量的隨機場。ProfessorGeorgesMatheron(1930-2000.8.7)法國數(shù)學(xué)家和地質(zhì)學(xué)家甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院區(qū)域化變量的功能： 由于區(qū)域化變量是一種隨機函數(shù)，因而能同時反映空間變量的結(jié)構(gòu)性和隨機性。一方面，當(dāng)空間點x固定后，Z(x)就是一個隨機變量，這體現(xiàn)了其隨機性。另一方面，在空間兩個不同點x與x+h

處的區(qū)域化變量值具有某種程度的相關(guān)性，這體現(xiàn)了其結(jié)構(gòu)性。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院區(qū)域化變量的組成部分

數(shù)據(jù)點結(jié)構(gòu)性可以用均值和常數(shù)趨勢表示空間相關(guān)數(shù)據(jù)通常呈現(xiàn)正空間相關(guān)性

隨機性測量誤差，其他誤差

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院distanceelevation結(jié)構(gòu)性隨機性實際值甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院（二）協(xié)方差函數(shù)

協(xié)方差函數(shù)的概念

區(qū)域化隨機變量之間的差異，可以用空間協(xié)方差來表示。在概率論中,隨機向量X與Y的協(xié)方差被定義為

區(qū)域化變量在空間點x和x+h處的兩個隨機變量和的二階混合中心矩定義為Z(x)的自協(xié)方差函數(shù)，即（4.2.2）(4.2.1)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院協(xié)方差函數(shù)的計算公式式中：h為兩樣本點空間分隔距離或距離滯后；為在空間位置處的實測值；是在處距離偏離h的實測值[i=1，2，…，]，是分隔距離為h時的樣本點對（paris）總數(shù)，和分別為和的樣本平均數(shù),即(4.2.3)(4.2.4)(4.2.5)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院若==m（常數(shù)），則上式可以改寫為

式中：m為樣本平均數(shù)，可由一般算術(shù)平均數(shù)公式求得，即

(4.2.6)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院（三）變異函數(shù)

變異函數(shù)的概念

變異函數(shù)(variograms)，又稱變差函數(shù)、變異矩，是地統(tǒng)計分析所特有的基本工具。在一維條件下變異函數(shù)定義為，當(dāng)空間點x在一維x軸上變化時，區(qū)域化變量Z(x)在點x和x+h處的值Z(x)與Z(x+h)差的方差的一半為區(qū)域化變量Z(x)在x軸方向上的變異函數(shù)，記為γ(h)，即

(4.2.7)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院在二階平穩(wěn)假設(shè)條件下，對任意的h有因此，公式可以改寫為

從上式可知，變異函數(shù)依賴于兩個自變量x和h，當(dāng)變異函數(shù)僅僅依賴于距離h而與位置x無關(guān)時，可改寫成，即

(4.2.9)(4.2.8)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院變異函數(shù)的性質(zhì)

設(shè)Z(x)是區(qū)域化變量，在滿足二階平穩(wěn)假設(shè)條件下，變異函數(shù)式具有如下性質(zhì)：(1)=0，即在h=0處，變異函數(shù)為0；(2)=，即關(guān)于直線h=0是對稱的，它是一個偶函數(shù)；(3)≥0，即只能大于或等于0；甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院(4)|h|→∞時，→c(0)或=c(0),即當(dāng)空間距離增大時,變異函數(shù)接近先驗方差

(5)[-]必須是一個條件非負定函數(shù)，由[-]構(gòu)成的變異函數(shù)矩陣在條件時，為非負定的。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院變異函數(shù)的計算公式

設(shè)是系統(tǒng)某屬性Z在空間位置x處的值，為一區(qū)域化隨機變量，并滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，h為兩樣本點空間分隔距離，和分別是區(qū)域化變量在空間位置和處的實測值[i=1,2,…,N(h)]，那么，變異函數(shù)的離散計算公式為(4.2.10)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院這樣對不同的空間分隔距離h，計算出相應(yīng)的和值。如果分別以h為橫坐標(biāo)，或為縱坐標(biāo)，畫出協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)曲線圖，就可以直接展示區(qū)域化變量Z(x)的空間變異特點。可見，變異函數(shù)能同時描述區(qū)域化變量的隨機性和結(jié)構(gòu)性，從而在數(shù)學(xué)上對區(qū)域化變量進行嚴格分析，是空間變異規(guī)律分析和空間結(jié)構(gòu)分析的有效工具。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院例如：假設(shè)某地區(qū)降水量Z(x)（單位：mm）是二維區(qū)域化隨機變量，滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，其觀測值的空間正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)如圖4.2.1所示（點與點之間的距離為h=1km）。試計算其南北方向及西北和東南方向的變異函數(shù)。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院圖4.2.1空間正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)（點間距h=1km）

從圖4.2.1可以看出，空間上有些點，由于某種原因沒有采集到。如果沒有缺失值，可直接對正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)計算變異函數(shù)；在有缺失值的情況下，也可以計算變異函數(shù)。只要“跳過”缺失點位置即可（圖4.2.2）。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院圖1空間正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)（點間距h=100m）

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院首先計算南北方向上的變異函數(shù)值，由變異函數(shù)的計算公式可得

=385/72=5.35圖4.2.2缺失值情況下樣本數(shù)對的組成和計算過程

☉為缺失值

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院同樣計算出最后，得到南北方向和西北—東南方向上的變異函數(shù)計算結(jié)果見下表。同樣可以計算東西方向上的變異函數(shù)。

方向

南北

方向

西北—東南

h12345h1.412.824.245.657.07N(h)

362721135N(h)

322113825.359.2617.5525.6922.907.0612.9530.8558.1350.00甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院變異函數(shù)的參數(shù)

變異函數(shù)有4個非常重要的參數(shù)，即基臺值（sill）、變程（range）或稱空間依賴范圍（rangeofspatialdependence）、塊金值（nugget）或稱區(qū)域不連續(xù)性值（localizeddiscontinuity）和分維數(shù)（fractaldimension）。前3個參數(shù)可以直接從變異函數(shù)圖中得到。它們決定變異函數(shù)的形狀與結(jié)構(gòu)。變異函數(shù)的形狀反映自然現(xiàn)象空間分布結(jié)構(gòu)或空間相關(guān)的類型，同時還能給出這種空間相關(guān)的范圍。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院當(dāng)變異函數(shù)隨著間隔距離h的增大，從非零值達到一個相對穩(wěn)定的常數(shù)時，該常數(shù)稱為基臺值C0+C。當(dāng)間隔距離h=0時，γ(0)=C0，該值稱為塊金值或塊金方差（nuggetvariance）。基臺值是系統(tǒng)或系統(tǒng)屬性中最大的變異，變異函數(shù)達到基臺值時的間隔距離a稱為變程。變程表示在h≥a以后，區(qū)域化變量Z(x)空間相關(guān)性消失。塊金值表示區(qū)域化變量在小于抽樣尺度時非連續(xù)變異，由區(qū)域化變量的屬性或測量誤差決定。

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院上述3個參數(shù)可從變異函數(shù)曲線圖直接得到，或通過估計曲線回歸參數(shù)得到。第4個參數(shù)，即分維數(shù)用于表示變異函數(shù)的特性，由變異函數(shù)和間隔距離h之間的關(guān)系確定分維數(shù)D為雙對數(shù)直線回歸方程中的斜率，它是一個無量綱數(shù)。分維數(shù)D的大小，表示變異函數(shù)曲線的曲率，可以作為隨機變異的量度。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院理論變異函數(shù)模型實踐中，常用的是變異函數(shù)圖：偏基臺值:C(partialsill)塊金值:C0(nugget)變程:a(range)h基臺值(sill)notrelatedanymore變程范圍內(nèi)才有結(jié)構(gòu)性變化（有規(guī)律的變化）反映隨機性大?。褐饕獊碓从趨^(qū)域化變量Z(x)在小于抽樣尺度h時所具有的內(nèi)部變異；另外還有抽樣分析誤差。變異函數(shù)是一個單調(diào)不減函數(shù)。當(dāng)h超過某一個范圍，例如變程，變異函數(shù)不再增大，而是趨于一個極限值，即為基臺值。實際上等于區(qū)域化變量的先驗方差。即，即基臺值與塊金值之差，表示數(shù)據(jù)中存在空間相關(guān)性引起的方差變化范圍。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院變異函數(shù)的理論模型

地統(tǒng)計學(xué)將變異函數(shù)理論模型分為3大類：第1類是有基臺值模型，包括球狀模型、指數(shù)模型、高斯模型、線性有基臺值模型和純塊金效應(yīng)模型；第2類是無基臺值模型，包括冪函數(shù)模型、線性無基臺值模型、拋物線模型；第3類是孔穴效應(yīng)模型。下面有代表性地介紹幾種常見的變異函數(shù)理論模型。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院

①純塊金效應(yīng)模型:其一般公式為式中：c0>0，為先驗方差。該模型相當(dāng)于區(qū)域化變量為隨機分布，樣本點間的協(xié)方差函數(shù)對于所有距離h均等于0，變量的空間相關(guān)不存在。

(4.2.11)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院②球狀模型:其一般公式為

式中：c0為塊金（效應(yīng)）常數(shù);c為拱高;c0+c為基臺值;a為變程。當(dāng)c0=0，c=1時，稱為標(biāo)準球狀模型。球狀模型是地統(tǒng)計分析中應(yīng)用最廣泛的理論模型，許多區(qū)域化變量的理論模型都可以用該模型去擬合。

(4.2.12)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院

③指數(shù)模型:其一般公式為式中：c0和c意義與前相同，但a不是變程。當(dāng)h=3α?xí)r，，即，從而指數(shù)模型的變程約為。當(dāng)c0=0，c=1時，稱為標(biāo)準指數(shù)模型。(4.2.13)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院④高斯模型:其一般公式為式中：c0和c意義與前相同，a也不是變程。當(dāng)時，，即，因此高斯模型的變程約為。當(dāng)時，稱為標(biāo)準高斯函數(shù)模型。(4.2.14)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院⑤冪函數(shù)模型:其一般公式為式中：θ為冪指數(shù)。當(dāng)θ變化時，這種模型可以反映在原點附近的各種性狀。但是θ必須小于2，若，則函數(shù)就不再是一個條件非負定函數(shù)了，也就是說它已經(jīng)不能成為變異函數(shù)了。

(4.2.15)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院⑥對數(shù)模型:其一般公式為顯然，當(dāng)，這與變異函數(shù)的性質(zhì)不符。因此，對數(shù)模型不能描述點支撐上的區(qū)域化變量的結(jié)構(gòu)。(4.2.16)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院

⑦線性有基臺值模型:其一般公式為

式中:該模型的變程為a，基臺值為。

⑧線性無基臺值模型:其一般公式為

從式中可以看出，該模型沒有基臺值，也沒有變程。

(4.2.18)(4.2.17)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院例如:某地區(qū)降水量是一個區(qū)域化變量，其變異函數(shù)的實測值及距離h的關(guān)系見下表，下面我們試用回歸分析方法建立其球狀變異函數(shù)模型。實測值γ(h)距離h實測值γ(h)距離h2.10.69.24.94.31.110.35.15.72.210.56.26.52.510.97.57.83.111.29.58.83.812.49.8甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院從上面的介紹和討論，我們知道，球狀變異函數(shù)的一般形式為當(dāng)時，有甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院如果記，則可以得到線性模型

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，對上式進行最小二乘擬合，得到

(4.2.20)

計算可知，上式的顯著性檢驗參數(shù)F=114.054，R2=0.962，可見模型的擬合效果是很好的。(4.2.19)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院比較(4.2.20)式與(4.2.19)式，并做簡單計算可知：c0=2.048，c=1.154，a=8.353，所以，球狀變異函數(shù)模型為(4.2.21)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院(四)克立格插值方法

克立格（Kriging）插值法，又稱空間局部估計或空間局部插值法，是地統(tǒng)計學(xué)的主要內(nèi)容之一。克立格法是建立在變異函數(shù)理論及結(jié)構(gòu)分析基礎(chǔ)之上的，它是在有限區(qū)域內(nèi)對區(qū)域化變量的取值進行無偏最優(yōu)估計的一種方法?？肆⒏穹ㄟm用的條件是，如果變異函數(shù)和相關(guān)分析的結(jié)果表明區(qū)域化變量存在空間相關(guān)性。其實質(zhì)是利用區(qū)域化變量的原始數(shù)據(jù)和變異函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，對未采樣點的區(qū)域化變量的取值進行線性無偏、最優(yōu)估計。從數(shù)學(xué)角度抽象來說，克立格是一種對空間分布數(shù)據(jù)求最優(yōu)、線性、無偏內(nèi)插估計量(BestLinearUnbaiasedEstimation)方法。具體來說，它是根據(jù)待估樣點(或待估塊段)有限鄰域內(nèi)若干已測定的樣點數(shù)據(jù)，在認真考慮樣點的形狀、大小和空間相互位置關(guān)系，它們與待估樣點相互空間位置關(guān)系，以及變異函數(shù)提供的結(jié)構(gòu)信息之后，對該待估樣點值進行的一種線性無偏最優(yōu)估計。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院克立格插值（kriginginterpolation)是根據(jù)變異函數(shù)模型而發(fā)展起來的一系列地統(tǒng)計的空間插值方法，包括：普通克立格法（ordinarykriging）;

泛克立格法（universalkriging）;

指示克立格法（indicatorkriging）;

析取克立格法（disjunctivekriging）;

協(xié)同克立格法（cokriging）等。下面僅對普通克立格法作一些簡單介紹。甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院首先假設(shè)區(qū)域化變量滿足二階平穩(wěn)假設(shè)和本征假設(shè)，其數(shù)學(xué)期望為m，協(xié)方差函數(shù)及變異函數(shù)存在。即

假設(shè)在待估計點（x）的臨域內(nèi)共有n個實測點，即x1，x2，…，xn，其樣本值為。那么，普通克里格法的插值公式為

(4.2.22)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院其中為權(quán)重系數(shù)，表示各空間樣本點處的觀測值對估計值的貢獻程度。可見，克立格插值的關(guān)鍵就是計算權(quán)重系數(shù)。顯然，權(quán)重系數(shù)的求取必須滿足兩個條件：一是使的估計是無偏的，即偏差的數(shù)學(xué)期望為零；二是最優(yōu)的，即使估計值和實際值之差的平方和最小。為此，需要滿足以下兩個條件：甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院

(1)無偏性。要使成為的無偏估計量，即。

當(dāng)時，也就是當(dāng)時，則有這時，為的無偏估計量。（2）最優(yōu)性。在滿足無偏性條件下，估計方差為(4.2.23)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院使用協(xié)方差函數(shù)表達，它可以進一步寫為

(4.2.24)為使估計方差最小，根據(jù)拉格朗日乘數(shù)原理，令(4.2.25)

求F對和的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，得克立格方程組

(4.2.26)

?????íì=--=??=--=????==niiijinjjiFxxcxxcF110)1(202),(2),(2lmmll甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院(4.2.27)(4.2.28)整理后得解線性方程組(4.2.27)式,求出權(quán)重系數(shù)λi和拉格朗日系數(shù)μ,代入公式(4.2.24),可得克立格估計方差甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院在變異函數(shù)存在的條件下，根據(jù)協(xié)方差與變異函數(shù)的關(guān)系：

或，也可以用變異函數(shù)表示普通克立格方程組和克立格估計方差，即(4.2.29)

解線性方程組(4.2.27)式，求出權(quán)重系數(shù)和拉格朗日乘數(shù)μ，代入公式(4.2.24)，可得克立格估計方差，即

(4.2.30)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院上述過程也可用矩陣形式表示，令

則普通克立格方程組為

(4.2.31)解方程組(4.2.31)式，可得

(4.2.32)其估計方差為

(4.2.33)

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院也可以將克立格方程組和估計方差用變異函數(shù)寫成上述矩陣形式。令

在以上的介紹中，區(qū)域化變量的數(shù)學(xué)期望可以是已知或未知的。如果m是已知常數(shù)，稱為簡單克立格法；如果m是未知常數(shù)，稱為普通克立格法。不管是哪一種方法，均可根據(jù)方法計算權(quán)重系數(shù)和克立格估計量。

(4.2.34)(4.2.35)(4.2.36)甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院以圖4.2.1為例，4個觀測點x1，x2，x3，x4的觀測值分別為Z(x1)=37、Z(x2)=42、Z(x3)=36、Z(x4)=35，如果假設(shè)降水量的變異函數(shù)是向同性（即變異函數(shù)在各個方向的變化都相同）的二維球狀模型，其具體形式為（4.2.21）式?，F(xiàn)在，我們用普通克立格法估計觀測點x0的降水量值Z(x0)。根據(jù)普通克立格法的基本原理，我們知道，Z(x0)估計的基本公式應(yīng)該是

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院根據(jù)公式(4.2.32)，可知

(4.2.37)

根據(jù)協(xié)方差與變異函數(shù)的關(guān)系以及（4.2.21）式，可得協(xié)方差函數(shù)

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院當(dāng)時，根據(jù)克立格矩陣的對稱性，當(dāng)時，，由此計算可得

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院將以上計算結(jié)果代入克立格方程組（4.2.31），得

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院即克立格權(quán)重系數(shù)分別為：λ1=0.287，λ2=0.210,λ3=0.202,λ4=0.301，μ=-0.473，所以觀測點的降水量的克立格估計值為：根據(jù)普通克立格法的基本原理，我們知道，Z(x0)估計的基本公式應(yīng)該是

37.25（mm）。

克立格估計方差為

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院二、應(yīng)用實例

年降水量和蒸發(fā)量，既服從地帶性規(guī)律，同時又受隨機性因素的影響，因此它們是典型的區(qū)域化變量。我們以甘肅省53個氣象臺站多年平均降水量和蒸發(fā)量數(shù)據(jù)（見教材表3.1.2）為實測值，擬合了年降水量和蒸發(fā)量的半變異函數(shù)理論模型，并采用普通克立格法和雙變量協(xié)同克里格法，做了空間插值計算，結(jié)論如下。

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院（一）半變異函數(shù)半變異函數(shù)模型，是克立格空間插值的前提條件，同時它也決定著空間插值的精度。一般情況下，半變異函數(shù)模型是根據(jù)半變異函數(shù)云圖的分布，選擇合適的理論模型，按照估計方差最小的原則，運用最小二乘法求得。圖4.2.4和圖4.2.5分別給出了年降水量和年蒸發(fā)量的半變異函數(shù)云圖。

圖4.2.4年降水量的半變異函數(shù)云圖

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院圖4.2.5年蒸發(fā)量的半變異函數(shù)云圖

從圖4.2.4和圖4.2.5可以看出，年降水量和年蒸發(fā)量的塊金效應(yīng)都不明顯，這是因為樣本點是各個氣象站點的實測值，空間分辨率可以忽略不計，另外實驗誤差和人為誤差基本上都很小。我們選擇各種不同的半變異函數(shù)理論模型，經(jīng)過多次擬合計算和對比分析，發(fā)現(xiàn)指數(shù)模型比較好地描述了年降水量的空間變異規(guī)律。其變異函數(shù)的具體形式如下：甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院

(4.2.38)

(4.2.38)式擬合的適度系數(shù)為。我們選擇各種不同的半變異函數(shù)理論模型，經(jīng)過多次擬合計算和對比分析，發(fā)現(xiàn)球狀模型比較好地描述了年蒸發(fā)量的空間變異規(guī)律。其變異函數(shù)的具體形式如下

(4.2.39)(4.2.39)式擬合的適度系數(shù)為。

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院（二）空間插值結(jié)果基于半變異函數(shù)的理論模型(4.2.38)和(4.2.39)，對甘肅省范圍內(nèi)的年降水量和蒸發(fā)量，用普通克立格法進行空間插值計算，得到的結(jié)果分別如圖4.2.4和圖4.2.5。（三）結(jié)果討論從圖4.2.6可以看出，在甘肅省范圍內(nèi)，年降水量的空間分布格局總體上是東南多西北少，并且呈現(xiàn)從東南方向到西北方向逐漸過渡，梯度變化明顯；山地多，平地少，南北方向從南部祁連山脈向北部的沙漠戈壁逐漸減少。

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院年降水量的空間變程很大，最多的東南部是最少的西北部的近10倍，其中，甘南東南部瑪曲和祿曲、隴南東南部以及平?jīng)龊挽`臺東南地區(qū)，年降水量達到691.59～786.75mm之間。400mm等降水線靠近蘭州附近，而到了西北端，幾乎整個酒泉市、嘉峪關(guān)市和張掖市的西北部，年降水量只有59.17～102.08mm。圖4.2.6甘肅省年降水量的普通克立格空間插值結(jié)果甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院圖4.2.7甘肅省年蒸發(fā)量的普通克立格空間插值結(jié)果從圖4.2.7可以看出，年蒸發(fā)量的空間格局，恰好與年降水量的空間格局相反：西北多、東南少，呈現(xiàn)出由西北向東南逐漸減少的變化趨勢，梯度變化明顯。

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院年蒸發(fā)量的空間變程雖然小于年降水量，但仍然較大，在西北端的酒泉大部分地區(qū)以及民勤北部的騰格里沙漠地區(qū)，年蒸發(fā)量可以達到2931.30～3522.76mm之間，而在甘南瑪曲的部分地區(qū)，只有1024.54～1