力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法張量

力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法張量第1頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在分量表示法中，與分量指標(biāo)相配的基矢量被省略了，但隱含如下約定：所討論的同階張量都具有相同的基，并且張量指標(biāo)的正常排列順序應(yīng)和基矢量的順序相同，否則就是轉(zhuǎn)置張量。例如：一、隱含約定對(duì)1，2指標(biāo)的轉(zhuǎn)置張量為：而張量S的按其分量應(yīng)記為：故(見：黃克智等《張量分析》第2版，清華大學(xué)出版社，p31)第2頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、二階張量的分解任何一個(gè)一般二階張量都可以分解成一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)反對(duì)稱張量之和，即：反對(duì)稱張量對(duì)稱張量第3頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、高階張量的對(duì)稱和反對(duì)稱高階張量可以是關(guān)于一對(duì)下標(biāo)(或上標(biāo))對(duì)稱或反對(duì)稱。例如置換張量，它關(guān)于任一對(duì)下標(biāo)是反對(duì)稱的：第4頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、兩個(gè)二階張量點(diǎn)乘有下面性質(zhì)證明：1）1）第5頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2）證明：利用即2）第6頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月五、實(shí)對(duì)稱方陣的本征值(特征值)與本征矢量（特征向量）實(shí)對(duì)稱方陣對(duì)應(yīng)實(shí)對(duì)稱二階張量在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，常出現(xiàn)下述形式的齊次代數(shù)方程參見：匡震邦《非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ)》和黃克智等《張量分析》（可寫成）（可寫成）特征值特征方程對(duì)應(yīng)三個(gè)根的三組非零解，各自構(gòu)成不同的矢量方向，稱為特征矢量第7頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1）坐標(biāo)變換xyzx’y’z’六、坐標(biāo)變換與二階張量不變量?jī)蓚€(gè)直角坐標(biāo)系，基矢量分別為兩個(gè)坐標(biāo)系坐標(biāo)軸夾角余弦基矢量間的變換第8頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有9個(gè)分量，構(gòu)成二階張量注意到同理第9頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月張量記法矩陣記法是正交張量，是歸一化正交矩陣坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)第10頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月類似于矢量的坐標(biāo)變換二階張量的坐標(biāo)變換第11頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2）二階變量的不變量由第12頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由第13頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月七、各向同性張量在所有正交變換下分量都相同的張量，稱為各向同性張量第14頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.5張量的微分與積分

第15頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、微分運(yùn)算

——梯度1）標(biāo)量場(chǎng)的梯度

例如：笛卡爾直角坐