(完整版)2019年全國卷2文科數(shù)學(xué)及答案

(完整版)2019年全國卷2文科數(shù)學(xué)及答案2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國卷2文科數(shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘?？忌鷳?yīng)注意以下幾點：1.在答題前，考生必須將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，并將條形碼粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3.考生必須按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.考生必須保持答題卡清潔，不要折疊、弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合$A=\{x|x>-1\}$，$B=\{x|x<2\}$，則$A\capB=$A.$(-1,2)$B.$(-\infty,2)$C.$(-1,\infty)$D.$\varnothing$2.設(shè)$z=i(2+i)$，則$z=$A.$1+2i$B.$-1+2i$C.$1-2i$D.$-1-2i$3.已知向量$a=(2,3)$，$b=(3,2)$，則$|a-b|=$A.$2$B.$2\sqrt{2}$C.$5$D.$5\sqrt{2}$4.生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標，若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為A.$\dfrac{2}{5}$B.$\dfrac{3}{5}$C.$\dfrac{1}{5}$D.$\dfrac{4}{5}$5.在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預(yù)測。甲：我的成績比乙高。乙：丙的成績比我和甲的都高。丙：我的成績比乙高。成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確，那么三人按成績由高到低的次序為A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙6.設(shè)$f(x)$為奇函數(shù)，且當$x\geq0$時，$f(x)=e^x-1$，則當$x<0$時，$f(x)=$A.$-e^{-x}-1$B.$e^{-x}+1$C.$-e^{-x}+1$D.$e^{-x}-1$7.設(shè)$\alpha$，$\beta$為兩個平面，則$\alpha\parallel\beta$的充要條件是A.$\alpha$內(nèi)有無數(shù)條直線與$\beta$平行B.$\alpha$內(nèi)有兩條相交直線與$\beta$平行C.$\alpha$，$\beta$平行于同一條直線D.$\alpha$，$\beta$垂直于同一平面8.若$x_1=\dfrac{\pi}{3}$，$x_2$是函數(shù)$f(x)=\sin\omegax(\omega>0)$兩個相鄰的極值點，則$\omega=$A.$2$B.$\dfrac{1}{2}$C.$1$D.$2\sqrt{2}$二、非選擇題：本題共8小題，共90分。9.如圖，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$上一點，$E$是$AC$上一點，$\angleABD=\angleAED$，$\angleABE=30^{\circ}$，$\angleAED=40^{\circ}$。求$\angleBAC$的度數(shù)。10.已知函數(shù)$f(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}$，$g(x)=ax+b$，且$f(x)-g(x)$的圖像過點$(1,2)$，則$a=$，$b=$。11.已知函數(shù)$f(x)=\ln(1+x)-\lnx$，$x>0$。(1)求$f(x)$的定義域。(2)求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。(3)求$f(x)$的值域。12.已知函數(shù)$f(x)=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{2}{x-3}$，$x\in\mathbb{R}$。(1)求$f(x)$的定義域。(2)求$f(x)$的反函數(shù)。(3)求$f^{-1}(x)$的值域。13.已知函數(shù)$f(x)=\dfrac{1}{x^2+2x+2}$。(1)求$f(x)$的定義域。(2)求$f(x)$的最小值。14.已知函數(shù)$f(x)=\dfrac{2}{\sqrt{2-\cosx}}$，$x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$。(1)求$f(x)$的定義域。(2)求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。(3)求$f(x)$的最大值。15.已知函數(shù)$f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1-x}$，$x\in(0,1)$。(1)求$f(x)$的最小值。(2)求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。(3)求$f(x)$的值域。1.題目中的符號應(yīng)該改為數(shù)學(xué)符號，比如≥、≤、≠等。2.文章中有許多沒有上下文的數(shù)字，應(yīng)該加上單位或者解釋。3.第一部分的題目沒有上下文，應(yīng)該加上題干。4.文章中有些句子表述不清楚，需要重新寫一下。1.若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓3pp的一個焦點，則p=9。2.曲線y=2sinx+cosx在點(π，–1)處的切線方程為2x-y-2π+1=0。3.已知a∈（0，π/5），2sin2α=cos2α+1，則sinα=5/25。4.設(shè)F為雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為3。5.若變量x，y滿足約束條件2x+3y-6≥0，x+y-3≤0，y-2≤0，則z=3x-y的最大值是9。6.我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為0.979。7.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=π/2。8.該半正多面體共有30個面，其棱長為2/√6。17.（12分）如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1。（1）證明：BE⊥平面EBC1。證明：連接BE、BC1，設(shè)∠EBC1=α，∠BEC1=β。則∠A1BE=90°-β，∠A1BC1=90°-α，∠BA1C1=90°，∠A1B=90°，所以∠BA1E=β-α。又因為BE⊥EC1，所以∠BEC1=90°，所以∠BEC1=90°-β。由于ABCD是正方形，所以∠ABC1=45°，所以∠EBC1=α-45°。所以∠A1BE+∠BEC1+∠EBC1=90°-β+90°-β+α-45°=α-2β+45°=π/2-β。又因為∠BA1E=β-α，所以∠A1BE+∠BA1E=π/2，所以∠BA1E=π/2-∠A1BE=π/2-β。所以∠BA1E=∠A1BE+∠BEC1+∠EBC1，即BE⊥平面EBC1。2.若AE=AE，AB=3，求四棱錐E-BC的體積。18.已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1=2，a3=2a2+16。(1)求{an}的通項公式；(2)設(shè)bn=log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和。19.某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表。y的分組[-0.20,0)2[0,0.20)24[0.20,0.40)53[0.40,0.60)14[0.60,0.80)7企業(yè)數(shù)(1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例；(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）。20.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的兩個焦點，P為C上一點，O為坐標原點。(1)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；(2)如果存在點P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍。21.已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1。證明：(1)f(x)存在唯一的極值點；(2)f(x)=0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù)。22.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]O為極點，在極坐標系中，點M(ρ,θ)(ρ>0)在曲線C:ρ=4sinθ上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P。(1)當θ=π時，求ρ及l(fā)的極坐標方程；(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程。23.[選修4-5：不等式選講]已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a)。(1)當a=1時，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(-∞,1)時，f(x)<0，求a的取值范圍。(1)已知四棱錐E-BB1C1C的底面是正方形ABCD，其中AB=3，BE⊥平面ABB1C1，BE=EC1，且Rt△ABE≌Rt△A1B1E，求該四棱錐的體積V。解：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊥平面ABB1C1，所以B1C1⊥BE。又BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1。由此可知∠BEB1=90°。又因為Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=∠A1EB1=45°，故AE=AB=3，AA1=2AE=6。作EF⊥BB1，垂足為F，則EF⊥平面BB1C1C，且EF=AB=3。所以，四棱錐E-BB1C1C的體積V=1/3×EF×BB1×CC1=1/3×3×6×3=18。(2)已知數(shù)列{an}的公比為q，且2q^2=4q+16，求數(shù)列{bn}的前n項和。解：設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得2q^2=4q+16，即q^2-2q-8=0。解得q=-2（舍去）或q=4。因此{an}的通項公式為an=2×4^(n-1)=2^(2n-1)。由此得bn=(2n-1)log2=2n-1，因此數(shù)列{bn}的前n項和為1+3+…+2n-1=n。(3)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100個企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)頻率為21%，產(chǎn)值負增長的企業(yè)頻率為2%。用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%，產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例為2%。已知這類企業(yè)的產(chǎn)值增長率的樣本均值為30%，樣本標準差為17%，求總體均值和總體標準差的估計值。解：(1)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為樣本頻率的估計值，即21%；產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例為樣本頻率的估計值，即2%。(2)這類企業(yè)的產(chǎn)值增長率的平均數(shù)的估計值為樣本均值，即30%；標準差的估計值為樣本標準差乘以開方根據(jù)樣本容量的比例調(diào)整得到，即17%×√(74/100)≈0.17。(4)已知橢圓C：x^2/16+y^2/9=1，點P(2,1)在橢圓上，點F(0,c)是橢圓的右焦點，求線段PF與橢圓C的交點Q的橫坐標x。解：(1)連結(jié)PF1，由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，PF2=c，PF1=3c，于是2a=PF1+PF2=(3+1)c，故橢圓C的離心率是e=c/a=3/√7。(2)由題意可知，滿足條件的點P(x,y)存在當且僅當|y|×2c=16，y的符號由點P在橢圓C的上半部分還是下半部分決定。又因為PF的斜率為k=-c/2，所以PF的方程為y-1=(-c/2)(x-2)，即y=(-c/2)x+c+1。將y代入橢圓C的方程得x^2/16+((-c/2)x+c+1)^2/9=1，整理得13c^2x^2-144cx+175=0。由題意可知該方程有兩個實根，設(shè)它們分別為x1和x2，則x1+x2=144/(13c)，x1x2=175/(13c^2)。因為Q在PF上，所以Q的縱坐標等于PF上的點的縱坐標，即Q的縱坐標為(-c/2)x+c+1。將Q的坐標代入橢圓C的方程可得x^2/16+((-c/2)x+c+1)^2/9=1，整理得13c^2x^2+72cx+49=0。由此得到x的兩個解，分別為x1=3/2，x2=-7/13。因為Q在橢圓C上，所以x的取值范圍是[-4,4]，所以x=3/2。1.給定方程組：ab2x+cx-c|y|=16，①x2+y2=c2，②x2y2/a2b2+1/b4=1，③其中a^2+b^2=16^2，求a的取值范圍。根據(jù)②和③式可得：y^2=(a^2-b^2)x^2+b^2c^2/(a^2-b^2)，由①式可知c^2>=b^2，又因為a=b+c，所以a^2>=b^2，因此a>=42，當b=4，a=42時，存在滿足條件的點P，因此a的取值范圍為[42,+∞)。2.已知函數(shù)f(x)=lnx-1/x-1，求f(x)的極值點和實根。首先確定f(x)的定義域為(1,+∞)，然后求導(dǎo)得f'(x)=(x-1-lnx+1)/x^2，由此可知f'(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增，且f'(1)=-1，f'(2)=ln2-1/ln4-1>0，因此存在唯一的x∈(1,2)，使得f'(x)=0，即f(x)存在唯一的極值點。又由f(1)=-2，f(e^2)=e^2-3>0，因此f(x)在(1,+∞)內(nèi)存在唯一的實根，且其倒數(shù)也是一實根。3.已知點M(2,3)在曲線ρcos(θ-π/3)=2上，點P在直線y=x上，點Q