力學(xué)專第十章 波動(dòng)和聲

力學(xué)專第十章波動(dòng)和聲第1頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月22波的基本概念平面簡諧波方程、波速平均能流密度、聲強(qiáng)與聲壓波的疊加和干涉、駐波多譜勒效應(yīng)本章主要學(xué)習(xí)內(nèi)容第2頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3310.2.210.2.410.2.710.2.1010.4.210.5.210.5.9

10.6.2第3頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月44§10.1波的基本概念

1.波：振動(dòng)在媒質(zhì)（介質(zhì)）中的傳播就是波，分為橫波和縱波。

2.橫波：媒質(zhì)中各體元振動(dòng)的方向與波傳播的方向垂直。例如：一根均勻柔軟的細(xì)繩的振動(dòng)，形成的波就是橫波。

3.縱波：媒質(zhì)中各體元振動(dòng)的方向與波傳播的方向平行。例如：空氣中的聲波，空氣中體元時(shí)而靠近，時(shí)而疏遠(yuǎn)。波的產(chǎn)生4.表面波：在兩種媒質(zhì)的界面上傳播的波。例如：水面波。5.波面：波傳播時(shí)，同相位各點(diǎn)所組成的面。第4頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月556.波前：離波源最遠(yuǎn)，即“最前方”的波面。7.波射線：與波面垂直且表明波的傳播方向的線叫波射線。8.平面波：波前為平面的波。波線是互相平行的。

9.球面波：波前為球面。點(diǎn)波源在均勻的和各向同性媒質(zhì)中發(fā)生的波是球面波。波線是相交于波源的直線。§10.1波的基本概念第5頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月66§10.1波的基本概念第6頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月77§10.2平面簡諧波一、平面簡諧波平面波傳播時(shí)，媒質(zhì)中體元均按正弦（或余弦）規(guī)律運(yùn)動(dòng)。二、平面簡諧波方程（從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度考慮）描述不同時(shí)刻不同體元的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。設(shè)：一列平面簡諧波沿x

軸正向傳播，選擇原點(diǎn)x=0處體元相位為0的時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，即該體元的相位為零，則

x=0處體元的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：第7頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月88其中：y

為體元距平衡位置的位移，A

、ω為波源的振幅和圓頻率。經(jīng)的時(shí)間，x=0處體元的振動(dòng)狀態(tài)傳到位于x

處的體元，即：t

時(shí)刻，位于x

處的體元的振動(dòng)狀態(tài)應(yīng)與時(shí)刻處體元的振動(dòng)狀態(tài)一樣，則x

處體元的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：（1）§10.2平面簡諧波第8頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月99

其中，v

為振動(dòng)狀態(tài)傳播的速度，叫波速，也叫相速。⑴式就是平面簡諧波方程。從⑴式看出：x

處質(zhì)元的振動(dòng)比原點(diǎn)處的質(zhì)元落后。若：波動(dòng)沿x

軸負(fù)方向傳播，則波動(dòng)方程為：§10.2平面簡諧波（1）第9頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月1010（2）⑵式可以看出：x

處質(zhì)元的振動(dòng)超前于原點(diǎn)處的質(zhì)元§10.2平面簡諧波第10頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月1111三、平面簡諧波方程的物理意義

1.

當(dāng)x一定時(shí)，表示x處質(zhì)元的振動(dòng)方程，初位相是。

2.

當(dāng)t一定時(shí)，表示t時(shí)刻各個(gè)質(zhì)元偏離平衡位置的位移，即t時(shí)刻的波形。§10.2平面簡諧波第11頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月1212由⑴可知：x

處體元振動(dòng)的周期、頻率和圓頻率：不一定是振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率而取決于波源頻率，所以⑴中的形式不意味著各體元作簡諧振動(dòng)。注意§10.2平面簡諧波第12頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月1313（2）由⑵知：t一定時(shí)，y

是x

的周期函數(shù)，也存在空間位置上的周期，波長（3）即：波長是波在一個(gè)周期內(nèi)傳播的距離；或，沿波傳播方向相鄰?fù)辔粌牲c(diǎn)間的距離?！?0.2平面簡諧波第13頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月1414另外，由空間位置的周期性可知：§10.2平面簡諧波第14頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月1515定義：，稱為波數(shù)：（4）表示單位長度上的波數(shù)，而表示長度上波的數(shù)目。都描述平面簡諧波的空間周期性?！?0.2平面簡諧波第15頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月16163.

聯(lián)系平面簡諧波的空間周期性與時(shí)間周期性的公式：（5）§10.2平面簡諧波第16頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月1717四、平面簡諧波方程的多種形式§10.2平面簡諧波平面簡諧波的一般形式（原點(diǎn)初位相不為零）第17頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月1818[例]（10.2.10）圖（1）、圖（2）分別表示t=0和t=2s時(shí)的某一平面簡諧波的波形圖，試寫出此平面簡諧波方程?！?0.2平面簡諧波第18頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月1919§10.2平面簡諧波第19頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月20[例]

有一列向x軸正方向傳播的平面簡諧波，它在t=0時(shí)刻的波形如圖所示,其波速為u=600m/s。試寫出波動(dòng)方程。x/my/m512.O§10.2平面簡諧波第20頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月21=5mA24m=原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為波動(dòng)方程為[解]§10.2平面簡諧波第21頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月2222§10.3波動(dòng)方程與波速一、波動(dòng)方程（平面簡諧波的動(dòng)力學(xué)方程）（不是依據(jù)課本上的推導(dǎo)，而是從“平面簡諧波方程”出發(fā)來尋找動(dòng)力學(xué)方程。）已知：(代表t

時(shí)刻x

處質(zhì)元的速度)（波的動(dòng)力學(xué)方程）

第22頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月2323(代表t

時(shí)刻x

處質(zhì)元的加速度)(代表t

時(shí)刻x

處的應(yīng)變)§10.3波動(dòng)方程與波速第23頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月2424（1）⑴式就是波的動(dòng)力學(xué)方程，而就是波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。類比于：（簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程）（簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程）§10.3波動(dòng)方程與波速第24頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月2525二、波速⒈橫波（多為固體剪切形變，詳見第八章）由§10.3波動(dòng)方程與波速第25頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月2626質(zhì)元所受的和外力（忽略掉質(zhì)元的重力）：因此，§10.3波動(dòng)方程與波速第26頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月2727或（2）此式也是波的動(dòng)力學(xué)方程。其中：

N

是剪切模量，是物塊的密度。⑴、⑵比較可知：（3）§10.3波動(dòng)方程與波速第27頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月2828⒉縱波同理：其中：

Y是楊氏模量，是物塊的密度（固體中）。由此可知：固體中的縱波和橫波的波速與媒質(zhì)彈性密切相關(guān)?！?0.3波動(dòng)方程與波速第28頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月2929另外，張緊的柔軟細(xì)繩中橫波波速為：（其中，T

是繩中的張力）流體中縱波的波速為（其中K為流體的體積模量）聲速（拉普拉斯）：§10.3波動(dòng)方程與波速第29頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3030三、色散現(xiàn)象在重力和表面張力作用下的表面波，若其波長為λ，則其波速為此式也適用于深水情況，即水深比波長大很多。此時(shí)：波速不僅與介質(zhì)性質(zhì)和狀態(tài)有關(guān)、還和波長從而和頻率有關(guān)。

色散：幾列波在介質(zhì)中傳播，因其頻率不同而傳播速度不同的現(xiàn)象。色散介質(zhì)§10.3波動(dòng)方程與波速第30頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3131§10.4平均能流密度·聲強(qiáng)與聲壓一、媒質(zhì)中波的能量分布主要研究某體元?jiǎng)幽?、形變勢能以及總能的變化?guī)律。1.動(dòng)能由（體元的振動(dòng)速度）第31頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3232設(shè)：媒質(zhì)密度為ρ，dv表示體元的體積。則該體積的動(dòng)能為：（1）§10.4平均能流密度·聲強(qiáng)與聲壓第32頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月33332.勢能由體元的剪切應(yīng)變?yōu)椋海裕后w元剪切應(yīng)變勢能為：（2）§10.4平均能流密度·聲強(qiáng)與聲壓第33頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3434又因?yàn)闄M波：，所以有：（2’）(1)和(2’)式比較，得：。

即：體元的動(dòng)能和勢能具有相同的數(shù)值，同時(shí)達(dá)最大或最小。§10.4平均能流密度·聲強(qiáng)與聲壓第34頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月35353.總能由前面討論，某體元的總能等于兩者之和，即：（3）由（3）式可知：某體元的總能為空間和時(shí)間的函數(shù)。注意：波動(dòng)過程中體元?jiǎng)菽苁怯捎隗w元的形變而為體元所有?！?0.4平均能流密度·聲強(qiáng)與聲壓第35頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月36364.能量密度單位體積媒質(zhì)所有的能量,用ε

表示，由（3）式知：§10.4平均能流密度·聲強(qiáng)與聲壓第36頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3737平均能量密度：能量密度在一周期內(nèi)的平均值：（4）§10.4平均能流密度·聲強(qiáng)與聲壓第37頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3838二、平均能流密度媒質(zhì)中體元的能量由振動(dòng)狀態(tài)決定，而振動(dòng)狀態(tài)又以波動(dòng)傳播，所以能量也以波速傳播?，F(xiàn)取波面上一面元ds

，則在一周期內(nèi)體積為vTds的柱體內(nèi)的能量均得流過該面元，流過的能量為：，則：單位時(shí)間通過單位面積的能量：§10.4平均能流密度·聲強(qiáng)與聲壓第38頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月3939

平均能流密度：大小等于單位時(shí)間內(nèi)通過與波傳播方向面積的能量，方向沿波傳播方向，是一矢量，符號(hào)“”：即：平均能流密度的大小等于平均能量密度與波速的乘積。單位：

§10.4平均能流密度·聲強(qiáng)與聲壓第39頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月4040三、聲強(qiáng)與聲強(qiáng)級(jí)聲強(qiáng)：聲波平均能流密度的大小。聲功率：單位時(shí)間內(nèi)通過一定面積的聲波能量。

人剛好能聽見的1000Hz聲音的聲強(qiáng)約10×10－12

W/m2，能引起耳膜壓迫痛感的聲強(qiáng)則高達(dá)10W/m2。§10.4平均能流密度·聲強(qiáng)與聲壓聲波：次聲波：超聲波：第40頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月4141

聲強(qiáng)級(jí)：取10－12W/m2的聲強(qiáng)為標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)I0，聲強(qiáng)I與標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)I0之比的對(duì)數(shù)則為聲強(qiáng)I的聲強(qiáng)級(jí)：國際符號(hào)：B國際符號(hào)：dB§10.4平均能流密度·聲強(qiáng)與聲壓

聲波傳播的速度幾乎與頻率無關(guān)，而速度與介質(zhì)的密度有關(guān)，所以聲波傳播的速度對(duì)于溫度和壓強(qiáng)的變化很敏感。第41頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月42（紅線為等響度線）語言區(qū)域痛閾聞閾/HZ20100050010050001000002040608010012010-210-410-610010-810-1010-12L/dbI/Wm-2第42頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月43引起痛覺的聲音炮聲鉚釘機(jī)交通繁忙的亍道通常談話耳語引起聽覺的最低聲音樹葉沙沙聲聲源聲強(qiáng)/Wm-21110-210-510-610-1010-1110-12聲強(qiáng)級(jí)/dB

震耳響正常輕極輕120100706020100120第43頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月44

聲壓：在有聲波傳播的空間，某一點(diǎn)在某一瞬時(shí)的壓強(qiáng)p與沒有聲波時(shí)壓強(qiáng)p0的差。第44頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月4545§10.5波的疊加和干涉駐波一、波的疊加

波的疊加原理：兩列波相獨(dú)立的傳播，在兩列波相遇處體元的位移等于各列波單獨(dú)傳播時(shí)在該處引起的位移的矢量和。波的疊加第45頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月4646(b)兩者疊加，產(chǎn)生拍的現(xiàn)象(a)兩組波動(dòng)的頻率不同，但相差很小§10.5波的疊加和干涉駐波第46頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月4747理論上解釋：因波動(dòng)方程對(duì)于t

和x都是線性的，若：y1

和y2是該方程的解，則y1+y2也是方程的解。因此，波的疊加原理與方程的線性密切相關(guān)?！?0.5波的疊加和干涉駐波注：此原理只適用于線性行波，對(duì)非線性行波(如爆炸)不適用。重要性：可將任一復(fù)雜的線性行波分解為簡諧波的疊加。第47頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月4848二、波的干涉１.波的干涉

兩列波滿足一定條件，則兩列波相遇各空間點(diǎn)的合振動(dòng)能各保持恒定振幅而不同位置各點(diǎn)以不同動(dòng)能振動(dòng)，這種現(xiàn)象稱為波的干涉?！?0.5波的疊加和干涉駐波第48頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月4949２.波的干涉條件（１）兩列波具有相同的振動(dòng)方向；（２）兩列波具有相同的頻率；（３）兩列波在空間每一點(diǎn)引起的振動(dòng)都有固定的相位差。

簡言之，即：振動(dòng)方向相同、頻率相同且在各空間點(diǎn)保持固定的相位差。如：同頻率同方向的正弦或余弦振動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)仍為正弦或余弦振動(dòng)，合振動(dòng)的振幅由分振動(dòng)振幅以及相位差決定?！?0.5波的疊加和干涉駐波第49頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月5050光學(xué)里，常用“光程差”：如果光程差是波長的整數(shù)倍，則該處振動(dòng)加強(qiáng)；如果光程差是半波長的奇數(shù)倍，則該處振動(dòng)減弱。滿足干涉條件的兩列波，才能實(shí)現(xiàn)干涉現(xiàn)象所要求的空間各點(diǎn)振動(dòng)強(qiáng)弱所具有的確定的分布?！?0.5波的疊加和干涉駐波第50頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月5151三、駐波１.駐波的概念

振幅、頻率相同而傳播方向相反的兩列簡諧相干波疊加得到的振動(dòng)，稱為駐波?！榜v波”可造成高速行車爆胎駐波演示§10.5波的疊加和干涉駐波第51頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月52第52頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月5353２.駐波方程相遇處各體元的合位移為：設(shè)兩列波：§10.5波的疊加和干涉駐波第53頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月5454將代入上式得：（1）(1)式振幅介于0~2A之間，(1)式就是駐波方程。§10.5波的疊加和干涉駐波第54頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月55

（1）振幅：令，對(duì)于不同x處的質(zhì)元，振幅不同，介于0~2A之間。55當(dāng)A駐＝2A時(shí)，（2）即：處于(2)式中處的質(zhì)元的振幅為2A，最大振幅，稱為駐波的波腹，用（A）表示。駐波方程的特點(diǎn)：§10.5波的疊加和干涉駐波第55頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月5656當(dāng)A駐＝0

時(shí)，（3）即：處于(3)式中處的質(zhì)元的振幅為0，是最小振幅，稱為相鄰兩波節(jié)，用（Ｎ）表示?！?0.5波的疊加和干涉駐波波節(jié)波腹/2/2第56頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月57（2）由(2)式知，相鄰兩波腹間的距離為由(3)式知，相鄰兩波節(jié)間的距離為由(2)、(3)式知：相鄰波節(jié)和波腹之間距離則為§10.5波的疊加和干涉駐波（2）（3）波節(jié)波腹/2/2第57頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月5858（3）相位（駐波各點(diǎn)振動(dòng)的相位關(guān)系）（a）相鄰波節(jié)之間各點(diǎn)質(zhì)元的相位關(guān)系

由：，取兩相鄰的波節(jié)處的質(zhì)元：代入駐波方程中的振幅因子，得：§10.5波的疊加和干涉駐波第58頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月5959由此可知，處于兩波節(jié)之間的各點(diǎn)的值不是第2、3象限就是第1、4象限，即符號(hào)不變化。

由此可知：處于兩波節(jié)間各點(diǎn)質(zhì)元具有相同的相位?！?0.5波的疊加和干涉駐波第59頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月6060（b）相鄰兩波腹處質(zhì)元的相位關(guān)系由相鄰兩波腹：由此可知：相鄰兩波腹的相位是相反的；又由：相鄰波節(jié)之間的質(zhì)元的相位相同，可以得知：波節(jié)兩側(cè)各體元的振動(dòng)相位相反；波腹兩側(cè)各體元的振動(dòng)相位相同?！?0.5波的疊加和干涉駐波第60頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月61613.駐波中的能量駐波中的能量以形變勢能集中于波節(jié)附近，以動(dòng)能形式集中于波腹附近，某些時(shí)刻，動(dòng)能和勢能并存；總之，駐波中不斷進(jìn)行著動(dòng)能和勢能之間的轉(zhuǎn)換和在波腹與波節(jié)之間的轉(zhuǎn)移，然而沒有能量的定向傳播?！?0.5波的疊加和干涉駐波第61頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月62624.行波與駐波的區(qū)別行波駐波波方程

振幅

所有質(zhì)元處都為A

各質(zhì)元處的振幅不同：

相位：各處的相位不同

：同相位或反相位能量由近向遠(yuǎn)傳播（沿波傳播方向）波節(jié)或波腹之間的能量交換和轉(zhuǎn)移（沒有定向的傳播）

經(jīng)常見到的駐波是：一列前進(jìn)波與它在某一界面的反射波疊加而形成的?！?0.5波的疊加和干涉駐波第62頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月63635.舉例

半波損失：波從波疏媒質(zhì)傳入波密媒質(zhì)時(shí)，反射波在邊界處引起的分震動(dòng)比入射波在此引起的分振動(dòng)在相位上落后π，即：波傳播中此處相距半個(gè)波長，故這種現(xiàn)象稱半波損失。如：一金屬絲上傳播波，金屬絲兩端固定，在固定端處將發(fā)生半波損失。§10.5波的疊加和干涉駐波第63頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月64有半波損失Z大Z小無半波損失Z大Z小§10.5波的疊加和干涉駐波第64頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月6565如：兩端固定的弦振動(dòng)，入射波與反射波在該處引起的分振動(dòng)因半波損失而反相位，所以如形成駐波，兩端點(diǎn)必是波節(jié)，設(shè)弦長為l,，則有如下關(guān)系：如，兩端自由，反射波與入射波在該處引起的分振動(dòng)無半波損失，則端點(diǎn)是同相位，即：端點(diǎn)處是波腹?！?0.5波的疊加和干涉駐波第65頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月66入射波反射波透射波介質(zhì)1(Z1小)介質(zhì)2(Z2大）界面入射波反射波透射波介質(zhì)1(Z1大介質(zhì)2(Z2小)界面

脈沖波在界面處的反射和透射§10.5波的疊加和干涉駐波第66頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月6767§10.6多譜勒效應(yīng)

多普勒效應(yīng)：由于波源或觀察者的運(yùn)動(dòng)而出現(xiàn)觀測頻率與波源頻率不同的現(xiàn)象。一、波源靜止而觀察者運(yùn)動(dòng)

討論：靜止點(diǎn)波源的振動(dòng)在均勻各向同性媒質(zhì)中傳播的情況：O點(diǎn)為波源，相位差為，（縱向，橫向多譜勒效應(yīng)為零）第67頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月68

設(shè)：觀測者觀測到的波速，波長，觀測頻率，即：

設(shè)：波相對(duì)于靜止媒質(zhì)以波速傳播，為波源振動(dòng)的頻率，則：§10.6多譜勒效應(yīng)第68頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月69當(dāng)波源和觀察者都相對(duì)于媒質(zhì)靜止時(shí)，則：設(shè)：觀測者以相對(duì)于媒質(zhì)朝波源O運(yùn)動(dòng)，