第四章有限差分方法離散方程課件

有限差分方法離散方程

及性能分析

主講：董玉萍

有限差分方法離散方程

及性能分析

主講：董玉萍

11基本概念在實(shí)際問題中，我們所關(guān)心的是因變量在空間若干特定位置的數(shù)值。

將因變量在給定點(diǎn)的數(shù)值直接作為未知數(shù)系數(shù)，并求解這些數(shù)值，作為滿足實(shí)際需要的解。1基本概念在實(shí)際問題中，我們所關(guān)心的是因變量2離散方法比較項(xiàng)目有限差分法有限元法普方法試函數(shù)程序難易程度程序靈活性精確性計(jì)算效率適宜的方程主要優(yōu)點(diǎn)主要缺點(diǎn)局部近似很好好差好各類型經(jīng)濟(jì)、程序簡單較難推廣到高階局部近似好很好好好橢圓型靈活性好不經(jīng)濟(jì)總體近似差差很好很好橢圓型精度高不靈活離散方法比較項(xiàng)目有限差分法有限元法普方法試函數(shù)局部近似局部近3有限差分的概念在采用數(shù)值計(jì)算方法求解偏微分方程時(shí)，若將每一處導(dǎo)數(shù)由有限差分近似公式替代，從而把求解偏微分方程的問題轉(zhuǎn)換成求解代數(shù)方程的問題，即所謂的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步驟如下：（1）區(qū)域離散化（2）近似替代（3）逼近求解有限差分的概念在采用數(shù)值計(jì)算方法求解偏微42差分的基本形式及精度用差商代替微分方程中的導(dǎo)數(shù)。以空間導(dǎo)數(shù)為例，微分中心為（n,j）向前差分向后差分中心差分2差分的基本形式及精度用差商代替微分方程中的導(dǎo)數(shù)。5

上述幾種差分形式可通過Taylor級

數(shù)展開的方法，得到前差分和后差分具

有一階精度;中心差分具有二階精度。上述幾種差分形式可通過Taylor級

數(shù)63顯式差分與隱式差分顯式格式以時(shí)間步差——空間中心差對上式離散則因?yàn)閚Δt時(shí)刻的Γ值為已知，可用上式直接計(jì)算n+1時(shí)刻的Γ值。擴(kuò)散方程3顯式差分與隱式差分顯式格式以時(shí)間步差——空間中心差對7隱式格式

以時(shí)間步差——空間在（n+1）層中心差時(shí)對擴(kuò)散方程離散。

未知函數(shù)不可能通過上式由已知值直接求解，它必須求解線性方程組才能求出。此為隱式格式。隱式格式以時(shí)間步差——空間在（n+1）層中心差時(shí)對擴(kuò)84有限差分格式的

相容性、收斂性及穩(wěn)定性概念：從偏微分方程建立差分方程時(shí)，總是要求τ→0，h→0時(shí)差分方程與微分方程充分接近。

作用：研究差分方程與微分方程的關(guān)系。

分類：有條件相容和無條件相容有限差分格式的相容性4有限差分格式的

相容性、收斂性及穩(wěn)定性有限差分格式的相容9以擴(kuò)散方程為例：當(dāng)時(shí)間步差——空間中心差得差分方程為若以Taylor級數(shù)展開擴(kuò)散方得：以擴(kuò)散方程為例：當(dāng)時(shí)間步差——空間中心差得差分方程為若以Ta10類似于導(dǎo)數(shù)的差分形式的截?cái)嗾`差，擴(kuò)散方程的差分形式的截?cái)嗾`差為o(Δt,Δx2)。如果Δx，Δt→0時(shí)，截?cái)嗾`差o(Δt,Δx2)→0，則稱差分方程與原微分方程是相的。當(dāng)Δx，Δt以任何形式→0時(shí)，o(Δt,Δx2)→0，則稱無條件相容。當(dāng)Δx，Δt以某種方式→0時(shí)，o(Δt,Δx2)→0，則稱有條件相容。類似于導(dǎo)數(shù)的差分形式的截?cái)嗾`差，擴(kuò)散方程的差分形式的截11有限差分格式的收斂性概念：指差分方程的解，當(dāng)Δx，Δt→0時(shí)是否逼近原始微分方程的真解。作用：研究差分方程的解是否逼近真解的問題。有限差分格式的收斂性概念：指差分方程的解，當(dāng)Δx，Δt12有限差分格式的穩(wěn)定性

概念：指差分方程在求解的過程中，差分方程的解能否保持一致有界。

作用：差分方程的穩(wěn)定性是其收斂性的充分必要條件，它具有實(shí)用價(jià)值。

分類：點(diǎn)穩(wěn)定和步穩(wěn)定。

有限差分格式的穩(wěn)定性

概念：指差分方程在求解的過程中，13

為了理解穩(wěn)定性的概念，下面介紹兩種類型的不穩(wěn)定。對流擴(kuò)散方程

用FTCS離散

在n時(shí)刻方程有一個(gè)穩(wěn)定解，由于某種原因存在一個(gè)擾動(dòng)，由該擾動(dòng)帶來解的誤差,假定其為線性疊加即待人上式

14則有

對流項(xiàng)擴(kuò)散項(xiàng)其顯式解：將方程變形可得則有對流項(xiàng)擴(kuò)散項(xiàng)其顯式解：將15為了便于討論，將上述兩項(xiàng)的影響分開來討論

由圖可見，1)由于εj+1n>0,εjn<0,εj-1n>0,則4εj+1n>0；由于εjn<0，所以，|εj+1n|<|εjn|擴(kuò)散項(xiàng)：為了便于討論，將上述兩項(xiàng)的影響分開來討論擴(kuò)散項(xiàng)：16即Δεj+1n趨向于校正負(fù)的擾動(dòng)εjn，同理可分析出Δεj+1n+1<0，即Δεj+1n+1正好校正正的擾動(dòng)εj+1n。εj+1n的幅度小于εjn，擾動(dòng)會(huì)趨向于消失，所以擴(kuò)散過程有利于計(jì)算的穩(wěn)定。2)εj+1n與Δt有關(guān)，與Δt成正比，若Δt很大，隨著Δt增大，Δ|εj+1n|增大；若|εj+1n|<|εjn|，則εj+1n會(huì)形成振幅不斷增大的振動(dòng)型過沖，有可能不穩(wěn)定，屬于動(dòng)態(tài)不穩(wěn)定，可用減小Δt的辦法來消除。即Δεj+1n趨向于校正負(fù)的擾動(dòng)εjn，同理可分析出Δ17對流項(xiàng)：

假定對流速度u＞0，擾動(dòng)是一個(gè)振蕩型的。|εjn|，則對j節(jié)點(diǎn)有即Δεj+1n與εjn，

|εj+1n|<|εjn|。從而擾動(dòng)隨時(shí)間不斷的單調(diào)增大。結(jié)果是不穩(wěn)定的。稱為靜態(tài)不穩(wěn)定。對流項(xiàng)：18它不能依靠改變參數(shù)來消除，只有改變差分差分格式才能避免。

在實(shí)際計(jì)算中，這種初始誤差的產(chǎn)生和分布常常是隨機(jī)的，若處理不當(dāng)，會(huì)造成計(jì)算不穩(wěn)定。如果方程中對流項(xiàng)與擴(kuò)散項(xiàng)同時(shí)存在時(shí)，兩者的相互牽制對時(shí)間步長的限制條件，取決于對流項(xiàng)與擴(kuò)散項(xiàng)的相對重要程度。它不能依靠改變參數(shù)來消除，只有改變差分差分格式才能避免。19

概念：法國數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因?yàn)樗鼈兪钦坏模笫婪Q為傅里葉級數(shù)，是一種特殊的三角級數(shù)。公式如下：其中kj:波數(shù)λ=2π/kj相角φ=kjΔjωj：周期

傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)20

設(shè)，上式可整理為擴(kuò)散方程為：用FTCS離散擴(kuò)散方程用VonNeumann法對擴(kuò)散方程（FTCS）格式進(jìn)行穩(wěn)定分析擴(kuò)散方程為：用FTCS離散擴(kuò)散方程用VonNeumann法21方程的解用傅里葉分量可寫成其中：kx為波數(shù)；λ為波長，λ=2π/kjx，當(dāng)λ→

∞，kx→0.所以kx=0代表直線；定義相角θ=kxΔx,是波數(shù)為kx的分量在時(shí)刻n的幅度函數(shù)。將解的傅里葉分量帶人差分方程方程的解用傅里葉分量可寫成22消去得，利用Euler公式：消去得，利用Euler公式：23定義，G為幅度因子由上式可得

可見，G=G（θ），由于不同的θ值代表不同的分量，所以幅度因子對于不同的傅里葉分量有不同的值。根據(jù)VonNeumann法的定義，要使方程的解保持有界，對于所有的θ值都應(yīng)該有︳G︳≦1相當(dāng)于定義，24

因?yàn)槎x域在（-1,1）要使定義域在上式成立，只有

d≦1/2即為保持差分方程計(jì)算穩(wěn)定的條件。因?yàn)?，較穩(wěn)定條件也可寫成

不存在δ﹤0的情況。d≦1/2，-1≦1-4d因?yàn)槎x域在（-1,1）要使25用VonNeumann法對對流擴(kuò)散方程的（FTCS）格式進(jìn)行穩(wěn)定分析對流擴(kuò)散方程：用FTCS離散用VonNeumann法對對流擴(kuò)散方程的（FTCS）格式進(jìn)26用VonNeumann進(jìn)行穩(wěn)定分析消去得用VonNeumann進(jìn)行穩(wěn)定分析消去得27幅度因子實(shí)部虛部可見G是一個(gè)復(fù)變量。當(dāng)c→0時(shí)，即對流擴(kuò)散方程化成純擴(kuò)散方程，這個(gè)幅度因子即轉(zhuǎn)化成實(shí)幅度因子，與前述討論的結(jié)果一致。穩(wěn)定條件可以從模︳G︳來討論

幅度因子實(shí)部虛部可見G是一個(gè)復(fù)變量。當(dāng)c→28是的函數(shù)，當(dāng)（-1,1）內(nèi)變化時(shí)，的變化狀態(tài)，進(jìn)一步判別差分的穩(wěn)定性和穩(wěn)定條件為了研究G（θ）取得權(quán)值的條件，將對求二階導(dǎo)數(shù)，得由數(shù)學(xué)分析可知，當(dāng)時(shí)，取得極小值。是的函數(shù)，當(dāng)（-1,1）內(nèi)變化時(shí)，的變化狀態(tài)，進(jìn)一步判別差分29在邊界上如果在邊界上滿足穩(wěn)定條件，則整個(gè)計(jì)算過程都是穩(wěn)定的。dc→在邊界上如果在邊界上滿足穩(wěn)定條件，則整個(gè)計(jì)算dc→30第四章有限差分方法離散方程課件31差分方程穩(wěn)定的必要充分條件：這種方法對一維、二維的問題都適用。是一種普遍方法。差分方程穩(wěn)定的必要充分條件：325守恒性物理概念：如果對一個(gè)差分方程在定義域的任一有限空間內(nèi)作求和運(yùn)算（相當(dāng)于連續(xù)問題中對微分方程積分），所得的表達(dá)式滿足該區(qū)域上物理量守恒的關(guān)系時(shí)，稱差分格式具有守恒性。5守恒性物理概念：如果對一個(gè)差分方程在定義域33

在Δt時(shí)間間隔內(nèi)流入與流出某一區(qū)域中的通量之差等于該時(shí)間間隔中該區(qū)域內(nèi)的Φ增量。第四章有限差分方法離散方程課件34如何控制守恒性從控制容積積分法建立差分方程的角度看，滿足下列兩個(gè)條件時(shí)差分格式具有守恒性：1）控制方程守恒型的。2）在同一界面上各物理量（Φ及有關(guān)物性）及Φ的一階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。所謂連續(xù)，這里指的是從界面兩側(cè)的兩個(gè)控制容積來寫出的該界面的值是相等的。如何控制守恒性356遷移性物理概念：如果對流項(xiàng)的某種差分格式僅能使擾動(dòng)沿著流動(dòng)方向傳遞，則這種格式稱為具有遷移性。6遷移性物理概念：如果對流項(xiàng)的某種差分格式僅能使擾動(dòng)沿著流367誤差7.1誤差的類型：1）截?cái)嗾`差是指以差分代替導(dǎo)數(shù)時(shí)略去的部分，與函數(shù)性質(zhì)及變量有關(guān)。嚴(yán)格來說，是差分方程的誤差而不是解的誤差。2）舍入誤差是指在差分方程的求解的過程中，特別是迭代求解時(shí)，由于計(jì)算機(jī)計(jì)算長度的限制而引起的。舍入誤差的計(jì)算較困難，必須用概率分析的方法來定量估計(jì)。7誤差7.1誤差的類型：377.2誤差的物理概念從物理概念上理解，誤差可分成阻尼誤差、相位誤差、混淆誤差、傳輸誤差四種。1）阻尼誤差是由于離散引入的隱含的人工粘性所造成的誤差。2）相位誤差是由于離散的作用引起的。在有限差分計(jì)算中，不同的傅里葉分量有不同的對流流速，波長越大的分量對流流速越接近于正確的速度u，而波長較短的分量則以低于或高于u的相速傳送這樣各個(gè)傅里葉分量間的相位關(guān)系產(chǎn)生畸變，造成解的相位誤差。7.2誤差的物理概念1）阻尼誤差是由于離散引入的隱含的人工粘383）混淆誤差是由于傅里葉分量的相互作用，能量逆轉(zhuǎn)重新補(bǔ)充到長波分量中，從而使長波分量產(chǎn)生畸變甚至引起計(jì)算的不穩(wěn)定。4）傳輸誤差是由于不正確的對出流邊界條件的額外要求引出的另一種類型的誤差。3）混淆誤差是由于傅里葉分量的相互作4）傳輸誤差是由于不正確398舉例將對流方程用（FTCS）顯示差分離散，并分析其性能。用（FTCS）離散用VonNeumann法分析穩(wěn)定性8舉例將對流方程用（FTCS）顯示差分離散，并分析其性40幅度因子幅度因子G為幅變量，分析︳G︳的變化