湖南省永州市云龍中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

湖南省永州市云龍中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.當(dāng)時(shí)，下面的程序段執(zhí)行后所得的結(jié)果是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：C2.今有2個(gè)紅球、2個(gè)黃球、3個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這7個(gè)球排成一列的不同方法有A.210種 B.162種 C.720種 D.840種參考答案：A【分析】先在7個(gè)位置中選3個(gè)位置排白球，有種排法，再?gòu)氖Ｓ嗟?個(gè)位置中選2個(gè)位置排紅球，有種排法，剩余的2個(gè)位置排黃球有種排法，由乘法原理可得答案．【詳解】解：由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個(gè)組合問(wèn)題．先在7位置中選3個(gè)位置排白球，有種排法，再?gòu)氖Ｓ嗟?個(gè)位置中選2個(gè)位置排紅球，有種排法，剩余的2個(gè)位置排黃球有種排法，所以共有??＝210．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的基本知識(shí)．分步計(jì)數(shù)原理與分類(lèi)計(jì)數(shù)原理是排列組合中解決問(wèn)題的重要手段，也是基礎(chǔ)方法．3.設(shè)，則（

）A．0.16

B．0.32

C．0.84

D．0.64參考答案：A4.已知向量、滿(mǎn)足，，，則與夾角為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C5.已知函數(shù)

，使函數(shù)值為5的的值是（

）A．-2 B．2或 C．2或-2 D．2或-2或參考答案：A6.某人5次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x﹣y|的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：D【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．【分析】由題意知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2可得到關(guān)于x，y的一個(gè)方程組，解這個(gè)方程組需要用一些技巧，因?yàn)椴灰苯忧蟪鰔、y，只要求出|x﹣y|，利用換元法來(lái)解出結(jié)果．【解答】解：由題意這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解這個(gè)方程組需要用一些技巧，因?yàn)椴灰苯忧蟪鰔、y，只要求出|x﹣y|，設(shè)x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故選D．7.給出以下數(shù)對(duì)序列：……記第行第個(gè)數(shù)對(duì)為，如，則（

）A. B.C. D.參考答案：A第n行的第1個(gè)數(shù)對(duì)為（1，n），所以第m個(gè)數(shù)對(duì)為(m,n-m+1),選A點(diǎn)睛：由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見(jiàn)的數(shù)列)等方法.(2)具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征；⑤化異為同.對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；⑥對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用處理.8.設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線(xiàn)=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若在雙曲線(xiàn)右支上存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足|PF2|=|F1F2|，且F2到直線(xiàn)PF1的距離等于雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．2參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用題設(shè)條件和雙曲線(xiàn)性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與b之間的等量關(guān)系，運(yùn)用雙曲線(xiàn)的a，b，c的關(guān)系和離心率公式即可求出雙曲線(xiàn)的離心率．【解答】解：依題意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一個(gè)等腰三角形，F(xiàn)2在直線(xiàn)PF1的投影是其中點(diǎn)，且F2到直線(xiàn)PF1的距離等于雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)，由勾股定理可知|PF1|=4b，根據(jù)雙曲定義可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=，即b=a，則c==a，即有e==．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線(xiàn)的定義、方程和性質(zhì)，突出了對(duì)計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)能力的考查，屬中檔題．9.函數(shù)y=x2+1的圖象上一點(diǎn)(1,2)及鄰近一點(diǎn)(1+△x,2+△y)，則等于(

)

A．2B．2x

C．2+△x

D．2+△x2參考答案：A略10.圓（x﹣4）2+y2=9和圓x2+（y﹣3）2=4的公切線(xiàn)有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條參考答案：C【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【分析】求出兩圓的圓心和半徑，根據(jù)兩圓的圓心距小于半徑之和，可得兩圓相交，由此可得兩圓的公切線(xiàn)的條數(shù)．【解答】解：圓（x﹣4）2+y2=9，表示以（4，0）為圓心，半徑等于3的圓．圓x2+（y﹣3）2=4，表示以（0，3）為圓心，半徑等于2的圓．兩圓的圓心距等于=5=2+3，兩圓相外切，故兩圓的公切線(xiàn)的條數(shù)為3，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，則參考答案：12.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上時(shí)增函數(shù)，若，則的解集為

.參考答案：13.某拋物線(xiàn)形拱橋的跨度為20米，拱高是4米，在建橋時(shí)，每隔4米需用一根支柱支撐，其中最高支柱的高度是

米．（答案保留兩位小數(shù)）

參考答案：3.84解：拋物線(xiàn)方程為：

當(dāng)時(shí)，∴最高支柱的高度是3.84米.

14.圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，類(lèi)似地，可以求得橢圓在處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_______．參考答案：15.設(shè)a1，a2，…，an是各項(xiàng)不為零的n（n≥4）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差d≠0．將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后，得到的數(shù)列（按原來(lái)順序）是等比數(shù)列．（1）若n=4，則=

；（2）所有數(shù)對(duì)（n，）所組成的集合為

．參考答案：﹣4，1;{（4，﹣4），（4，1）}.【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【專(zhuān)題】綜合題；壓軸題．【分析】（1）當(dāng)n=4時(shí)，a1，a2，a3，a4中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)不可能成等比數(shù)列，再考慮分別刪去a2，a3，即可得到結(jié)論；（2）設(shè)出數(shù)列的公差d，列舉出數(shù)列的各項(xiàng)，討論從第一項(xiàng)開(kāi)始刪去，由得到的數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，列出關(guān)于d與首項(xiàng)的方程，求出方程的解即可得到d的值，根據(jù)d不為0，得到滿(mǎn)足題意的d的值，即可求出滿(mǎn)足題意的所有數(shù)對(duì)，組成集合的形式即可．【解答】解：（1）當(dāng)n=4時(shí)，a1，a2，a3，a4中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則由連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，可推出d=0．若刪去a2，則a32=a1?a4，即（a1+2d）2=a1?（a1+3d）化簡(jiǎn)得a1+4d=0，得=﹣4若刪去a3，則a22=a1?a4，即（a1+d）2=a1?（a1+3d）化簡(jiǎn)得a1﹣d=0，得=1綜上，得=﹣4或=1．（2）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則各項(xiàng)分別為：a1，a1+d，a1+2d，…，a1+（n﹣1）d，且a1≠0，d≠0，假設(shè)去掉第一項(xiàng)，則有（a1+d）（a1+3d）=（a1+2d）2，解得d=0，不合題意；去掉第二項(xiàng)，有a1（a1+3d）=（a1+2d）2，化簡(jiǎn)得：4d2+a1d=0即d（4d+a1）=0，解得d=﹣a1，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)不為零，所以數(shù)列不會(huì)出現(xiàn)第五項(xiàng)（a1+4d=0），所以數(shù)對(duì)（n，）=（4，﹣4）；去掉第三項(xiàng)，有a1（a1+3d）=（a1+d）2，化簡(jiǎn)得：d2﹣a1d=0即d（d﹣a1）=0，解得d=a1，則此數(shù)列為：a，2a，3a，4a，…此數(shù)列仍然不會(huì)出現(xiàn)第五項(xiàng)，因?yàn)槌霈F(xiàn)第五項(xiàng)，數(shù)列不為等比數(shù)列，所以數(shù)對(duì)（n，）=（4，1）；去掉第四項(xiàng)時(shí)，有a1（a1+2d）=（a1+d）2，化簡(jiǎn)得：d=0，不合題意；當(dāng)去掉第五項(xiàng)或更遠(yuǎn)的項(xiàng)時(shí)，必然出現(xiàn)上述去掉第一項(xiàng)和第四項(xiàng)時(shí)的情況，即d=0，不合題意．所以滿(mǎn)足題意的數(shù)對(duì)有兩個(gè)，組成的集合為{（4，﹣4），（4，1）}．故答案為：﹣4，1；{（4，﹣4），（4，1）}【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，是一道難題．16.兩條平行直線(xiàn)與的距離為

參考答案：217.設(shè)，有，…，根據(jù)以上規(guī)律，則函數(shù)的極小值之積為

.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿(mǎn)分12分）如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).（1）求的長(zhǎng)；（2）求cos<

>的值；（3）求證：A1B⊥C1M.參考答案：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz.

（1）依題意得B（0，1，0）、N（1，0，1）∴|

|=.（2）依題意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=∴cos<，>=.（3）證明：依題意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.略19.如圖，已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，焦距為2，過(guò)點(diǎn)F2作直線(xiàn)l交橢圓于M、N兩點(diǎn)，△F1MN的周長(zhǎng)為8．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線(xiàn)l分別交直線(xiàn)y=x，y=﹣x于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍．參考答案：【分析】（Ⅰ）由橢圓的焦距為2，過(guò)點(diǎn)F2作直線(xiàn)l交橢圓于M、N兩點(diǎn)，△F1MN的周長(zhǎng)為8，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓方程．（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my+1，聯(lián)立，得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、三角形面積公式，結(jié)合已知條件能求出的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，焦距為2，過(guò)點(diǎn)F2作直線(xiàn)l交橢圓于M、N兩點(diǎn)，△F1MN的周長(zhǎng)為8．∴，解得a=2，b=，c=1，∴橢圓方程為．（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my+1，聯(lián)立，消去x，整理，得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，，設(shè)P（x3，y3），N（x4，y4），聯(lián)立，得，同理，|PQ|==，∴==，當(dāng)0≤m2≤4時(shí)，=∈[0，]，當(dāng)m2＞4時(shí)，=∈（0，），∴的取值范圍是[0，]．20.如圖，△ABC的外接圓為⊙O，延長(zhǎng)CB至Q，再延長(zhǎng)QA至P，且QA為⊙O的切線(xiàn)（1）求證：QC2﹣QA2=BC?QC（2）若AC恰好為∠BAP的平分線(xiàn)，AB=10，AC=15，求QA的長(zhǎng)度．參考答案：【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段．【專(zhuān)題】證明題；選作題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；推理和證明．【分析】（1）由切線(xiàn)定理得QA2=QB?QC，由此能證明QC2﹣QA2=BC?QC．（2）由弦切角定理和角平分線(xiàn)性質(zhì)得QC2=QA2=15QC，△QCA∽△QAB，由此能求出QA的長(zhǎng)度．【解答】證明：（1）∵QA為⊙O的切線(xiàn)，∴QA2=QB?QC，∵QC﹣QB=BC，∴QC2﹣QA2=QC2﹣QB?QC=BC?QC．解：（2）∵QA為⊙O的切線(xiàn)，∴∠PAC=∠ABC，∵AC恰好為∠BAP的平分線(xiàn)，∴∠BAC=∠ABC，∴AC=BC=15，∴QC2=QA2=15QC，①又由△QCA∽△QAB，得，②聯(lián)合①②，消掉QC，得：QA=18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查