社會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)(盧淑華)-第十三章課件

第十三講方差分析（定類—定距） （x、y屬丌同變量層次）定類——定距是常見(jiàn)的現(xiàn)象：

性別——考試成績(jī) 地區(qū)——平均收入 民族——離婚率方差分析：分析或檢驗(yàn)總體間均值是否有所不同，而 不是方差是否不同。檢驗(yàn)所用的手段則是通過(guò)方差

來(lái)進(jìn)行的。種類：一元方差分析（一個(gè)定類變量）二元方差分析三元方差分析不只一個(gè)第十三講方差分析（定類—定距）定類——定距是常見(jiàn)的現(xiàn)象：1第一節(jié)一元方差分析一、方差分析的假定1、與回歸的比較（定距——定距）自變量控制后，因變量是一連串的值（yi為隨機(jī)變量）回歸：可以找出自變量與因變量之間的變化方向。方差：自變量取不同類別時(shí)，因變量yi的均值是否有所不同第一節(jié)一元方差分析一、方差分析的假定2例：回歸不方差分析比較職業(yè)聲望受教育程度801870605040151210 8職業(yè)子女?dāng)?shù)工人（4人）2；1；3；2；干部（3人）農(nóng)民（3人）1；2；1；2；3；4；例：回歸不方差分析比較職業(yè)聲望受教育程度80187015職業(yè)321m2、方差分析的假定：（對(duì)因變量分布的必要限制，只有總體分布滿足這些限制的條件下，方差分析的討論才是有意義的）1）等方差性總體中，自變量xi的每一個(gè)數(shù)值A(chǔ)1,A2,Am對(duì)應(yīng)的因變量yi

的分布都具有相同的方差

222214注意：1、總體方差相等，樣本方差不一定相等。2、來(lái)自等總體的樣本方差不會(huì)相差太遠(yuǎn)，最 大與最小相差不超過(guò)2-3倍。3、總體方差可通過(guò)樣本方差進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)。公式：樣本容量的加權(quán)：n11S12n21S22

n11n21S2注意：1、總體方差相等，樣本方差不一定相等。n1152）yi的分布為正態(tài)形要求每一個(gè)Ai所對(duì)應(yīng)的yi分布都呈正態(tài)性（與回歸一致）總結(jié)：yi應(yīng)滿足正態(tài)分布Nui,22）yi的分布為正態(tài)形yi應(yīng)滿足正態(tài)分布Nui6二、方差分析的檢驗(yàn)：設(shè)：總體自變量A共分為m類，A1,A2,Am從A1中抽取n1

A2n2

Amnm則有統(tǒng)計(jì)表：二、方差分析的檢驗(yàn)：設(shè)：總體自變量A共分為m類，A1,7A1A2Am2122m1m2y1n1y2n2ynmmy11

y12yy

yy

y1y2ymA1A2Am21m1y1n1y2n2ynmmy11yyy18原假設(shè)H0：u1u2um備擇假設(shè)H1：有一個(gè)以上類別，其均值不等統(tǒng)計(jì)量：

BSSRSSF

m1nmFm1,nm當(dāng)FF時(shí)，拒絕原假設(shè)當(dāng)FF時(shí)，接受原假設(shè)原假設(shè)H0：u1u2um BSSF9總平方和：TSS(yijy)組間平方和：BSS(yiy)ni(yiy)mnim統(tǒng)計(jì)量的推導(dǎo)不計(jì)算222TSSBSSRSSi1j1i1

2i1j1

mnii1j1總平方和：TSS(yijy)組間平方10yyijnniyiij11n

1ni

nij1總平均值：y第i類樣本的組平均值：yi

統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算還需：觀測(cè)總數(shù)：nniyyijnniyiij11 111例：下列資料，迚行方差檢驗(yàn)。教師（n=5)讀書數(shù) （本/年） 8 10 12 20 5學(xué)生（n=5）讀書數(shù) （本/年） 10 3 6 12 5例：下列資料，迚行方差檢驗(yàn)。教師（n=5)讀書數(shù)學(xué)生（n=12yijyE1TSS2ijyyRSS。2ERSSi

當(dāng)方差分析檢驗(yàn)呈顯著性后，討論兩變量 之間的相關(guān)程度，用減少誤差比例PRE的 方法：

E1：不知因變量y與自變量取值A(chǔ)1,A2,Am

有關(guān)時(shí)，預(yù)測(cè)y所犯的錯(cuò)誤，其值為TSS。

mn i1j1E2：知道因變量y與自變量取值A(chǔ)1,A2,Am有關(guān)后，預(yù)測(cè)y時(shí)所犯的錯(cuò)誤，其值等于

mn

2

i1j12三、相關(guān)比率etayijyE1TSS2ij13

E1E2TSSRSSBSSBSS為已經(jīng)被自變量解釋掉的誤差，解釋掉的

誤差越大，變量之間的關(guān)系越密切，因此：TSSeta2BSS E1E2TSSRSSBSSTS14例：已知：BSS=3.5RSS=95

求eta2例：已知：BSS=3.5RSS=9515練習(xí)：以下資料求eta2甲地（家庭人口 數(shù)） 6 7 7 3 5乙地（家庭人口 數(shù)） 4 4 5 3 5丙地（家庭人口 數(shù)） 3 3 2 4 2練習(xí)：以下資料求eta2甲地（家庭人口乙地（家庭人口丙地（家16第三節(jié)二元方差分析 （自變量增加到兩個(gè))一、二元方差分析的數(shù)學(xué)模型（一）兩種模型

1、自變量A、B獨(dú)立的對(duì)因變量發(fā)生影響： 獨(dú)立模型（或線性可加性模型） 每一觀測(cè)值yi均為三種以上因素作用的結(jié) 果：yijyAi的效果Bj的效果ij

2、同時(shí)考慮A、B兩變量的交互影響：交互 模型：

yijyAi的效果Bj的效果ABij交互作用ij第三節(jié)二元方差分析一、二元方差分析的數(shù)學(xué)模型（一）兩種模17

（二）兩種模型對(duì)觀測(cè)值數(shù)目的要求1、對(duì)獨(dú)立模型：

A共有a種取值，B共有b種取值，對(duì)于可 能取值ab種搭配，每種情況只要隨機(jī) 抽取一次，組成ab個(gè)觀測(cè)值即可。2、對(duì)具有交互作用的模型： 如果ab種搭配只進(jìn)行一次觀測(cè)，則無(wú) 法區(qū)別數(shù)據(jù)的變化是由于自變量的交互 作用，還是外界未知因素干擾的結(jié)果。 因此，對(duì)于ab種搭配，每種情況至少 要觀測(cè)2次，則總觀測(cè)數(shù)為abrr2 （二）兩種模型對(duì)觀測(cè)值數(shù)目的要求18A與B兩個(gè)變量獨(dú)立，圖形是平行線（三）、忽略外界干擾因素后的兩種模型的圖形：01、理想的獨(dú)立模型

yijyAi的效果Bj的效果例：教員不同教學(xué)方法(A)和不同性格(B)對(duì)教學(xué)效果的影響。A1注入式教學(xué)法

A2啟發(fā)式教學(xué)法B1性格內(nèi)向

B1性格外向A與B兩個(gè)變量獨(dú)立，圖形是平行線（三）、忽略外界干擾因素19

2、理想的交互模型：yijyAi的效果Bj的效果ABij交互作用

線段失去平衡是變量間存在交互作用的 標(biāo)志。 2、理想的交互模型：20使每種搭配至少測(cè)量二次以上。2rBA（四）實(shí)際的模型在存在干擾情況下ij，上述線段不再是平行線，有三種情況：1、本身為獨(dú)立模型，其圖形為非平行性是由外界隨機(jī)因素干擾而成的：

yijyAi的效果Bj的效果ij2、非平行性是由交互作用引起的。

yijyAi的效果Bj的效果ABij交互作用3）非平行性由交互因素和隨機(jī)因素引起的。

yijyAi的效果Bj的效果ABij交互作用ij由于交互影響（長(zhǎng)駐）與隨機(jī)干擾（隨機(jī)）性質(zhì)不同，因此，為使交互作用表現(xiàn)出來(lái)，必須

ij使每種搭配至少測(cè)量二次以上。2r21二、無(wú)重復(fù)情況下二元方差分析（一）無(wú)重復(fù)情況下二元方差分析的假定和假設(shè)。原假設(shè)H0為：1、ai0i1a

2、i0j1b備擇假設(shè)H1

為：參數(shù)不全為0二、無(wú)重復(fù)情況下二元方差分析（一）無(wú)重復(fù)情況下二元方差分析22（二）、方差分析的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的推導(dǎo)（平方和的分析法）1、樣本觀測(cè)值T*1T*2T*jB1B2

Bj

BbA1y11y12A2Ai

y21yi1

y22yi2Aaya1ya2

y1j

y2j

yij

yaj

y1bT1*

y2bT2*

yibTi*yab（二）、方差分析的檢驗(yàn)T*1T*jB1 A1A223i1yijaT*jj1yijbTi*yiyijai1yibj1yj2、行平均值yj1a1ayjy1a1b

1ab5、總離差平方和TSS

2

AB

yj是A的平均值，因此，A的影響已被抵消，只反映變量B對(duì)A的影響。

3、列平均值yi：按列將觀測(cè)值加總求平均

1a1

b4、總平均值i1yijaT*jj1y24Ti*T**1BssAbi1：變量B的離差平方和（已被變量B：剩余平方和未被A、B解釋掉的誤差7、BssB8、Rss6、BssA：變量A的離差平方和（已被變量A解釋掉的錯(cuò)誤）2

a

2

ab解釋掉的錯(cuò)誤）

2

b

2Ti*T**1BssA25Rss9、變量A的平均離差平方和10、變量B的平均離差平方和BssA

a1BssAa1為自由度BssB

b1BssBb1為自由度11、平均剩余誤差平方和

Rss

a1b1

a1b1為自由度Rss9、變量A的平均離差平方和10、變量B的平均26Fb1a1b1FB統(tǒng)計(jì)量：Rss

RssAFAFa1a1b1F

RssB

Rss根據(jù)顯著性水平，查附表得A

B若：AA顯著即拒絕域，原假設(shè)不成立

FAA相反，接受域，原假設(shè)成立；

FBB顯著即拒絕域，原假設(shè)不成立

FBB相反，接受域，原假設(shè)成立Fb1a1b1FB統(tǒng)計(jì)27ijk相互獨(dú)立，且有0,三、重復(fù)情況下的二元方差分析i備擇假設(shè)H1：參數(shù)不全為0

(一）、假設(shè)與假定除考慮自變量A和B的獨(dú)立作用外，還要A和B的 交互作用，其數(shù)學(xué)模型為：

yijkuaijaijijk

k1,2r(r為ABj每種搭配重復(fù)數(shù)）

2原假設(shè)H0：ai0

j00aijijk相互獨(dú)立，且有0,三、重復(fù)情況下的28T***yijkabryyj（二）、重復(fù)情況下二元方差分析的檢驗(yàn)對(duì)每一種搭配各進(jìn)行r次重復(fù)的獨(dú)立觀測(cè)，得到a、b、r個(gè)樣本觀測(cè)值。1、總平均值：

1

abr2、行平均值：

T*j*

ar3、列平均值：yi

Ti**

brT***yijkabryyj29TssBssABssBTT***4、格平均值：T

rijyijRssAB5、總離差平方和TSS：

2

yijky6、BssA：列間平方和——變量A解釋掉的誤差。

2

i**brabrBssATssBssABssB30BssBTTTTRssyijkyij

22

ij****rabrBss7、行間平方和：

22 *j****

arabr8、交互作用：AB

ABBssBssABssB9、剩余誤差RSS：

2

RssTss