《計(jì)算電磁學(xué)》第二講課件

第二講有限差分法Dr.PingDU(杜平)SchoolofElectronicScienceandAppliedPhysics，HefeiUniversityofTechnology(HFUT)E-mail:pdu@7/31/20231第二講有限差分法Dr.PingDU(杜平)它是函數(shù)的一階差分。由于它是有限量的差，被稱為有限差分。其與增量的商為一階差商

(1)(2)微積分中一階導(dǎo)數(shù)(3)可以看出，h越小，(2)和(3)的值越接近。§2.1差分運(yùn)算基本概念設(shè)函數(shù)，其自變量有一很小的增量,則該函數(shù)的增量為7/31/20232它是函數(shù)的一階差分。由于它是有限量的差，被稱為(前向差分)一階導(dǎo)數(shù)也可近似表達(dá)為

(后向差分)或者，(中心差分)(4)(5)(6)一階導(dǎo)數(shù)可近似表示為它們對一階導(dǎo)數(shù)的逼近度可通過Taylor級數(shù)展開式得到。7/31/20233(前向差分)一階導(dǎo)數(shù)也可近似表達(dá)為(后向差分)或者，(中心式(4)和(5)都略去了

及更高冪次項(xiàng)。

式(6)相當(dāng)于將相應(yīng)的Taylor公式

的項(xiàng)及更高冪次項(xiàng)略去了。

(7)(8)(9)由Taylor級數(shù)展開，式(6)的截?cái)嗾`差小于式(4)和(5)。因此，一般采用中心差分公式。7/31/20234式(4)和(5)都略去了及更高冪次項(xiàng)。式(6)相當(dāng)對二階導(dǎo)數(shù)也可近似表達(dá)為差商的差商（二階差商），如下

推導(dǎo)過程：

由式(7)和(8)，有

當(dāng)略去及更高冪次項(xiàng)，可得到式(10).

(10)(11)7/31/20235對二階導(dǎo)數(shù)也可近似表達(dá)為差商的差商（二階差商），如下推導(dǎo)過在上面的差分公式中，自變量x的微分為.在廣義差分中，可取如

有限差分法原理及步驟

原理：有限差分法是利用差分原理，將電磁場連續(xù)域的問題變?yōu)殡x散系統(tǒng)的問題來求解。

有限差分法分析電磁場邊值問題，其步驟為：(12).7/31/20236在上面的差分公式中，自變量x的微分為采用一定的網(wǎng)格劃分離散場域。常見的規(guī)則網(wǎng)格有正方形、矩形、平行四邊形、等角六邊形和極坐標(biāo)網(wǎng)格等。基于差分原理，對場域內(nèi)偏微分方程以及場域邊界上的邊界條件，也包括不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，進(jìn)行差分離散化處理，給出相應(yīng)的差分計(jì)算格式。結(jié)合選定的代數(shù)方程組的解法，編寫計(jì)算程序，求解由上所得對應(yīng)于待求邊值問題的差分方程組。所得解答即為邊值問題的數(shù)值解。

7/31/20237采用一定的網(wǎng)格劃分離散場域。常見的規(guī)則網(wǎng)格有正方形、矩形、§2.2二維電磁場Poisson方程的差分格式設(shè)在一個由邊界C限定的二維場域D內(nèi)滿足Poisson方程圖1場域D及矩形網(wǎng)格離散(2.2-1)7/31/20238§2.2二維電磁場Poisson方程的差分格式設(shè)第一步:采用矩形網(wǎng)格離散場域D.點(diǎn)0對x的一階偏導(dǎo)數(shù)可通過前向/后向差商得到，其為或可以看出，單側(cè)差商誤差較大。(2.2-2)(2.2-3)7/31/20239第一步:采用矩形網(wǎng)格離散場域D.點(diǎn)0對x的一階偏導(dǎo)數(shù)可通為得到較精確的差分格式，引入待定常數(shù)、，對和進(jìn)行Taylor級數(shù)展開，有令項(xiàng)系數(shù)為0，得和滿足將(2.2-5)代入式（2.2-4），并舍去高次項(xiàng)，可得的另一差分表達(dá)式(2.2-4)(2.2-5)(2.2-6)7/31/202310為得到較精確的差分格式，引入待定常數(shù)、，對若，有推導(dǎo)二階偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式。令(2.2-4)中的項(xiàng)的系數(shù)為0，則和滿足將(2.2-8)代入式(2.2-4)，忽略三階以上的高次項(xiàng)，可得(2.2-7)(2.2-8)(2.2-9)7/31/202311若，有推導(dǎo)二階偏導(dǎo)數(shù)的差分若，有與上面的類似，我們可以很容易地推導(dǎo)出若，有(2.2-10)(2.2-11)(2.2-12)7/31/202312若，有與上面的類似，我們可以很將(2.2-9)、（2.2-11）代入式（2.2-1)，可得二維Poisson方程的差分表達(dá)式當(dāng),，上式變?yōu)榭捎霉?jié)點(diǎn)的下標(biāo)將上式寫為這就是“五點(diǎn)差分格式”。(2.2-13)(2.2-14)(2.2-15)7/31/202313將(2.2-9)、（2.2-11）代入式（2.2-1)，可得當(dāng)，有當(dāng)時(Laplace方程)，上式變?yōu)橹鴺?biāo)系下的差分公式柱坐標(biāo)系下Laplace算子的公式(2.2-16)(2.2-17)(2.2-18)7/31/202314當(dāng)，有當(dāng)時如果是旋轉(zhuǎn)對稱的，則上式右邊第二項(xiàng)為0.經(jīng)過簡單推導(dǎo)，可得圖2旋轉(zhuǎn)對稱場的不等距網(wǎng)格(2.2-19)7/31/202315如果是旋轉(zhuǎn)對稱的，則上式右邊第二項(xiàng)為0.經(jīng)過簡單推其差分表達(dá)式對不等距網(wǎng)格為在等間距情形下，。令軸線處，點(diǎn)0位于第j(j>1)行,則。。根據(jù)式（2.2-20），有(2.2-20)(2.2-21)7/31/202316其差分表達(dá)式對不等距網(wǎng)格為在等間距情形下，若點(diǎn)0位于軸上，需特別處理。，。由羅必塔法則，這種情況下，Laplace方程變?yōu)?2.2-22)(2.2-23)7/31/202317若點(diǎn)0位于軸上，需特別處理。，等間距情形時，差分格式推導(dǎo)由于旋轉(zhuǎn)對稱性，。則式（2.2-25）變?yōu)?2.2-25)(2.2-24)(2.2-26)7/31/202318等間距情形時，差分格式推導(dǎo)由于旋轉(zhuǎn)對稱性，將式（2.2-24）、（2.2-26）代入式（2.2-23），有經(jīng)過化簡，可得(2.2-27)(2.2-28)7/31/202319將式（2.2-24）、（2.2-26）代入式（2