解決帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)問題的兩種思路

3為°,y/3為°,y/VO;c>0寸瞞s解決帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)問題的兩種思路白艷華山東省勝利第一中學(xué)郵編257027帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)是《磁場(chǎng)》這一章中的重點(diǎn)，也是高中物理所要研究的一個(gè)重要模型。求解這類問題的基礎(chǔ)是能確定軌跡圓的圓心，標(biāo)出半徑畫出圓運(yùn)動(dòng)的軌跡，然后綜合運(yùn)用洛倫磁力、圓周運(yùn)動(dòng)以及相關(guān)幾何知識(shí)來進(jìn)行求解。這部分知識(shí)往往讓多數(shù)學(xué)生感到困難，覺得無從下手。而主要的困難就在于找不到圓心從而畫不出軌跡。在實(shí)際教學(xué)的過程中，根據(jù)具體的物理情景筆者總結(jié)出了處理這類問題的兩種基本思路。、根據(jù)所給的條件畫圓。這種方法是我們?cè)诮鉀Q此類問題時(shí)的常規(guī)做法。若粒子在有界磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，已知磁場(chǎng)的邊界和軌跡上一點(diǎn)的速度方向，則可以根據(jù)這些條件確定圓心的位置，定性畫出軌跡圓。具體的做法是：1）假設(shè)一出射點(diǎn)，得到軌跡圓上的兩點(diǎn)。2）作已知速度的垂線與兩點(diǎn)連線的中垂線交于一點(diǎn)即為圓心。3）連接兩點(diǎn)與圓心即半徑。4）依據(jù)圓心和半徑定性畫出軌跡圓。此類問題的關(guān)鍵是確定圓心，圓心的確定方法一般可以考慮兩點(diǎn)洛侖茲力的交點(diǎn)、速度的垂線與弦的中垂線的交點(diǎn)等圓心的一些特點(diǎn)。例1：如圖1所示，在y<0的區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感強(qiáng)度為B。一帶正電的粒子以速度v0從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正向夾角為。若粒子射出磁場(chǎng)的位置q與O點(diǎn)的距離為1，求該粒子的電荷量與質(zhì)量之比m。處理方法：如圖首先根據(jù)粒子的電性和磁場(chǎng)的方向利用左手定則判定偏轉(zhuǎn)方向一向左偏；然后在入射點(diǎn)O的左側(cè)假設(shè)一出射點(diǎn)A，做OA的中垂線與O點(diǎn)的速度的垂線交于一點(diǎn)C，則C點(diǎn)即軌跡圓的圓心。并在此基礎(chǔ)上畫出軌跡圓，標(biāo)出對(duì)求解此問題有利的三角形。則可以利用三角形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解半徑并最終得到粒子的比荷。、先畫圓，再標(biāo)記條件。當(dāng)題目中所給的條件較少或圓無法直接畫出時(shí)，可以考慮先畫一個(gè)圓為粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圓，標(biāo)出粒子的轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)轫槙r(shí)針或逆時(shí)針，此圓上各點(diǎn)的速度方向不同則可以表示題目所給的不同條件，從而可以判定題目中涉及的粒子的圓周運(yùn)動(dòng)為軌跡圓上的哪一部分，把問題簡(jiǎn)化。這種方法不常規(guī)，但對(duì)有些問題處理起來卻非常簡(jiǎn)單。例2：一質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子以速度v0從O點(diǎn)沿y軸正方向射入磁感強(qiáng)度為B的一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于紙面，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)后，從b處穿過x軸，速度方向與x軸正向夾角為30°，如圖2所示（粒子重力忽略不計(jì)）。試求：（1）圓形磁場(chǎng)區(qū)的最小面積；（2）粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)到達(dá)b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間；（3）b點(diǎn)的坐標(biāo)。分析方法：解決這一問題，關(guān)鍵在于畫軌跡圓和圓形的磁場(chǎng)區(qū)域?？梢圆捎脙煞N方法畫軌跡圓。（1）可以將b點(diǎn)的速度反向延長與O點(diǎn)速度的延長線即y軸交于A點(diǎn)，做/OAb的角平分線交O點(diǎn)速度的垂線即x軸于C點(diǎn)，則C點(diǎn)即圓心，OC即軌跡圓的半徑，過O點(diǎn)做Ab的垂線交Ab于D點(diǎn)，則D點(diǎn)即為粒子射出磁場(chǎng)的點(diǎn)。由此可以得出最小的圓形磁場(chǎng)區(qū)域 尸一'凌的直徑即OD,最小的圓形磁場(chǎng)區(qū)域如圖所示可以畫出。（2）如圖先畫出一軌跡圓，標(biāo)出粒子的偏轉(zhuǎn)方向，根據(jù)題目中所給的條 號(hào)三華匕—卜工件可以找到O點(diǎn)的位置如圖，按照粒子的轉(zhuǎn)動(dòng)方向轉(zhuǎn)過120o即可以得到 ' ）D點(diǎn)，OD的連線即最小圓形磁場(chǎng)區(qū)域的直徑。 7軌跡圓一旦正確畫出，下面的求解過程是很簡(jiǎn)單的。（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=四，可知，/DCb=60。，磁場(chǎng)區(qū)域最小半徑qBr=Rcos30。=、3”0，磁場(chǎng)區(qū)域最小面積S=兀r2=新""02qB 4q2B2（2）粒子從O至D做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=-=—，從D飛出磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)。?/tan30。=旦「.Db=<3RtDbJ3R V3m . m(2兀 知2v v qB 1 2qB3(3).sin30。 -Cb=2RCb.Ob=3R=3而0 故b點(diǎn)的坐標(biāo)為（3mV0，0）比較兩種方法的簡(jiǎn)繁程度，我們不難看出第二種方法更簡(jiǎn)潔也更容易理解，涉及到的幾何知識(shí)較少，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求比較低。尤其當(dāng)在原題中直接畫圓有困難時(shí)，先畫軌跡圓再標(biāo)條件則可以達(dá)到事半功倍的效果，原本無從下手的難題也就迎刃而解了。下面再舉一例說明這種方法在不同情況下的具體應(yīng)用。例3：如下左圖所示，真空中狹長形區(qū)域內(nèi)分布有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向內(nèi)，區(qū)域的寬度為d，CD、EF為區(qū)域的邊界?，F(xiàn)有一束電子（電量為e，質(zhì)量為m）以速率v從CD側(cè)垂直于磁場(chǎng)與CD成。角射入，為使電子能從另一側(cè)EF射出，則電子的速率v應(yīng)滿足的條件是分析方法：先在草稿紙上畫一個(gè)圓（如上右圖所示）。電子從P點(diǎn)入射后受f洛作用將作順時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌跡肯定是一個(gè)圓（可能不完整），根據(jù)題意，可在已畫好的圓上確定入射點(diǎn)P，畫出磁場(chǎng)的左邊界CD；假定磁場(chǎng)的右邊界可移動(dòng)，我們?cè)佼嬕粭l與CD平行的直線EF（磁場(chǎng)的右邊界），并逐漸向圓靠近，則當(dāng)EF與圓相切時(shí)，就是電子能從EF射出的臨界條件（設(shè)此時(shí)圓的半徑為r0）。依題意，磁場(chǎng)寬度一定，故只有當(dāng)圓的半徑r>r0時(shí)才能滿足要求。根據(jù)圓的幾何知識(shí)，可得：r0+r0cos6=d/.r0=d/（1+cos。）又r=mv/eBmv/eB>d/（1+cos6） 即v>edB/m（1+cos。）解決帶電粒子在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問題，根據(jù)題目的條件不同合理選擇根據(jù)條件畫圓還是先畫圓后標(biāo)條件，以圓為核心，結(jié)合數(shù)學(xué)中圓的平面幾何知識(shí)，找出相應(yīng)的關(guān)系，此類問題便輕松解決了。第2頁共4頁附鞏固方法用練習(xí)及解答:1、如右圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d=8cm,磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.332T,方向垂直紙面向里。在磁場(chǎng)邊界CD的中央放一個(gè)放射源S，它向各個(gè)不同方向均勻地放出速率相同的a粒子。已知a粒子質(zhì)量m=1、如右圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d=8cm,磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.332T,方向垂直紙面向里。在磁場(chǎng)邊界CD的中央放一個(gè)放射源S，它向各個(gè)不同方向均勻地放出速率相同的a粒子。已知a粒子質(zhì)量m=6.64x10-27kg,電荷量q=3.2x10-19C，初

速度v=3.2x106m/s。求從磁場(chǎng)區(qū)另一邊界EF射出時(shí)沿EF上下方向的最大長度范圍。：XDXKbJ^EXIIXIIXIIXIIXlnIF2、如右圖所示，在坐標(biāo)軸的第一象限同時(shí)存在著勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)。場(chǎng)與坐標(biāo)平面垂直，水平勻強(qiáng)電場(chǎng)與坐標(biāo)平面平行。一質(zhì)量m=1g，水平勻強(qiáng)磁電量q=2.0x10-3C的帶電粒子，以速度v=10m/s與X軸成45°角從坐標(biāo)原點(diǎn)O斜向上射入此復(fù)合場(chǎng)中，已知粒子在復(fù)合場(chǎng)中作勻速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)粒子到達(dá)圖中的A點(diǎn)時(shí)，突然將電場(chǎng)方向變?yōu)樨Q直向上，粒子從Q點(diǎn)（圖中未畫出）飛離第一象限。已知OA兩點(diǎn)間的距離為5寸2m。試求：1）電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大??；2） Q點(diǎn)的坐標(biāo)及帶電粒子在第一象限內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。3、電量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子在XOY平面內(nèi)沿著Y=a的直線以速度v經(jīng)Y軸上的P點(diǎn)射入XOY平面的第一象限。要求在第一象限內(nèi)設(shè)置磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的一個(gè)圓形區(qū)域，使帶電粒子發(fā)生偏轉(zhuǎn)，最后經(jīng)X軸上的M點(diǎn)（Xm=2a）射出，且偏轉(zhuǎn)角0=60°，如右圖所示。試求能達(dá)到此目的的最小圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑（粒子的重力不計(jì)）。解答：1、粒子在磁場(chǎng)里作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=mv/qB=6.64X10-27X3.2X106/3.2X10-19X0.332m=0.2m=20cm，從S以相同的速度v開始射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)的帶電粒子均作半徑相同的圓周運(yùn)動(dòng)，能從磁場(chǎng)的右邊界EF射出的粒子的范圍就是兩個(gè)分別與磁場(chǎng)的左A圖右邊界相切的圓在EF邊界相交（切）的P、Q之間的距離（如右圖B所示）。由幾何關(guān)系可知PM=QM。PM的求法如右上圖A所示，PM2+（r-d）2=r2,「?PM=16cm，即帶電粒子能從EF邊界射出的范圍是32cm。2、該題雖然是帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，但在第2）問中，仍是圓周運(yùn)動(dòng)的問題。①對(duì)帶電粒子進(jìn)行受力分析（如右圖），因粒子作勻速直線運(yùn)動(dòng)，則EF=0， qE=mg；qvB=v2mg...E=mg/q=1X10-3X10/2X10-3N/C=5N/CB=<2mg/qv=方X1X10-3X10/2X10-3X10T=<2/2TqE②若帶電粒子運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)突然將電場(chǎng)方向變?yōu)樨Q直向上，則由1）知mg與qE平衡，只剩下洛倫磁力，故粒子將從A點(diǎn)開始作逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌跡肯定是一個(gè)圓（部分），其半徑②若帶電粒子運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)突然將電場(chǎng)方向變?yōu)樨Q直向上，則由1）知mg與qE平衡，只剩下洛倫磁力，故粒子將從A點(diǎn)開始作逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌跡肯定是一個(gè)圓（部分），其半徑r=mv/qB=1X10-3X10/2X10-3X蘭-m=5\；2m。我們可在草稿紙上先畫一個(gè)圓，依題意可確定A點(diǎn)在圓上的位置（如右圖所示）。將速度矢量延長，則O'A±v，又...OA=5<2m=O'A=r，」.OAO'恰好構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，故原題中的Y軸過圓心，則Q點(diǎn)可確定了。從圖中很容易得Q點(diǎn)在Y軸上的坐標(biāo)為r+OO'=（5\'2+10）m；粒子的運(yùn)行時(shí)間是OA間的勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1與A至Q點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2之和。t1=OA/v=V2 s2ZQO'A=180°—45°=135°<2 3七‘‘2t=t+t=（ + 兀）s135 135 2兀x1x10-3 32J-360T—360xv'T—8兀^2x10-3xJ3、依題意，磁場(chǎng)的方向垂直紙面向外。由于帶電粒子的速度和磁場(chǎng)都是確定的，所以帶電粒子作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=mv/qB也是確定的。將X軸和Y軸上的兩個(gè)速度矢量（或反向）延長，與X、Y軸組成一個(gè)梯形，再畫一個(gè)半徑確定的圓（軌跡），并將此圓移至坐標(biāo)