有限元第四章-桿系結構的整體分析課件

第4章桿系結構的整體分析坐標變換由局部坐標下的單元剛度矩陣和單元等效節(jié)點荷載矩陣，通過坐標轉換形成整體坐標下的單元剛度矩陣和等效荷載矩陣。集成規(guī)則用最小勢能原理（或虛位移原理）建立結構的的整體剛度方程，并有次導出直接剛度法的集成規(guī)則。約束處理采用先處理法或后處理法進行邊界約束處理，使結構的邊界已知位移得以自動滿足。解方程選取與整體（結構）剛度矩陣存貯方法相應的線性方程組，求得結構的結點位移。求內(nèi)力從結構全部結點位移中取出單元的結點位移，經(jīng)坐標轉換變成局部坐標下桿端位移，在由單元剛度方程求得桿端內(nèi)力，進一步還可求出反力和截面內(nèi)力，為結構設計提供數(shù)據(jù)。本章包含的內(nèi)容第4章桿系結構的整體分析坐標變換由局部坐標下的單14-1坐標轉換在講結構離散時，需要建立二套坐標桿系：桿軸為另兩軸為慣性主軸的局部坐標。整個結構統(tǒng)一的笛卡爾坐標。上一章單元分析是在局部坐標下進行的，而實際結構的中的每個桿件（也即單元）方位除了連續(xù)梁之外各不相同，要考慮結點位移協(xié)調(diào)、受力平衡，很自然應該用統(tǒng)一的結構整體坐標系。顯然，二套坐標下對應的物理量必然存在相互轉換關系，在進行具體整體分析之前應該將局部的量轉換成整體的量，或?qū)⒄w的量轉換成局部的量。這項工作稱為坐標轉換。4-1坐標轉換在講結構離散時，需要建立2xyzXYZe1e1Oe2e3e2e34-1-1坐標系單位矢量間的轉換關系圖4-1兩坐標系及單位矢量示意xyzXYZe1e1Oe2e3e2e34-1-13

圖4-1為同原點兩坐標系示意（非同原點額可經(jīng)過坐標平移變成同原點的，坐標的平移對轉換關系無影響）。由矢量代數(shù)可以得到兩組坐標單位向量的轉換關系為：（4-1）圖4-1為同原點兩坐標系示意（非同原點額4以矩陣方程表示則有（4-2）矩陣即為變換矩陣。顯然，對直角坐標系，從圖4-1和上式可得（4-3）也即變換矩陣是正交矩陣。以矩陣方程表示則有（4-2）矩陣即為變換矩陣。顯然，5基于上述關系，設、兩矢量在圖示兩坐標下可表為顯然有以下結論：（4-6）（4-5）（4-4）基于上述關系，設、兩矢量在圖示兩坐標64-1-2各單元物理量的轉換符號約定：局部坐標下的物理量加上畫線來標記；整體坐標下的物理量沒有上畫線。1、位移轉換各類單元位移轉換根據(jù)4-1-1均可寫作式中:味為整體坐標下的單元桿端位移矩陣，則為局部坐標下的單元桿端位移矩陣，稱為位移變換矩陣或坐標變換矩陣。除了空間剛架自由式單元外它們均可以寫作（4-7）（4-8）4-1-2各單元物理量的轉換符號約定：局部坐標7坐標變換矩陣因單元類型不同而異。1.1平面桁架單元圖4-2平面桁架位移示意由圖4-2桿端位移（圖中整體到局部坐標之間的夾角逆時針為正）示意可得（4-9）1.2空間桁架單元圖4-3空間桁架位移示意由圖4-3桿端位移示意可得（4-10）坐標變換矩陣因單元類型不同而異。1.1平面桁架單元圖4-81.3平面自由式單元由圖4-4桿端位移示意可得圖4-4平面自由式單元位移示意（4-11）1.3平面自由式單元由圖4-4桿端位移示意可得圖4-491.4交叉梁單元由圖4-5桿端位移示意可得圖4-5交叉梁單元位移示意（4-12）1.4交叉梁單元由圖4-5桿端位移示意可得圖4-5交101.5空間剛架自由式單元特點1：每個節(jié)點有沿單元坐標軸方向的兩組位移向量，即線位移（ui、vi、wi）和角位移（xi、yi、zi）。它們都需要坐標變換?？臻g梁單元與空間桿單元相比，有以下兩個特點：因此，坐標變換矩陣應為（4-13）1.5空間剛架自由式單元特點1：每個節(jié)點有沿單元坐標軸方向11特點2：空間梁單元單元坐標系中的y、z軸是單元橫截面上的兩個慣性主軸，可能是不能任意確定的，因而無法保證z軸一定在水平面內(nèi)，即在結構坐標系中的XZ平面內(nèi)。這就導致[]矩陣的計算變得比空間桿復雜得多。但有兩種情況可以空間桿單元的[]矩陣。①具有軸對稱截面的梁單元

截面內(nèi)過形心的任一根軸皆可作為慣性主軸。因而，恒可將z軸取在水平面內(nèi)。對于豎直空間梁單元，也可使z軸與結構坐標系的Z軸重合。因而可用豎直鉸接桿單元的[]矩陣。②

截面有一根慣性主軸軸在水平面內(nèi)

對于沒有截面慣性主軸在水平面內(nèi)的空間梁單元，就不能使用空間鉸接桿單元[]矩陣。選擇結構坐標系XYZ，單元坐標系xyz。并使：x軸沿i→j，y、z是梁截面的兩個慣性主軸。特點2：空間梁單元單元坐標系中的y、z軸是單元橫截面上的兩個12XYZxyz(b)在單元坐標系的3個坐標軸上分別取3個單位矢量：e1、e2、e3。結構坐標系中3個坐標軸上的單位矢量為i1、i2、i3。yzXYZ(a)xXYZxyz(b)在單元坐標系的3個坐標軸上13XYZxyz若e1是已知的?，F(xiàn)在只須計算e2、e3。為此，在主慣性平面xy上任取一參考點k，k點不能在x軸上，k點在結構坐標系中的坐標記為（Xk、Yk、Zk）。ij·k沿線段ik方向取單位向量g，g在結構坐標系中的3個方向余弦是：gXYZxyz若e1是已知的?，F(xiàn)在只須計算e2、e3。為此，14因z軸與xy平面垂直，故有（a）再從右手螺旋直角坐標系條件確定e2，（b）下面，用式（a）、（b）計算各有關值。因z軸與xy平面垂直，故有（a）再從右手螺旋直角坐標系條件確15記則記則16故（c）最后，用式（b）計算。把式（c）代入后，得故（c）最后，用式（b）計算。把式（c）代入后，得17（4-14）綜合上述結果，一般空間單元的[]矩陣為：

推導過程只需了解。式（4-13）和式（4-14）分別是空間位移變換矩陣和空間坐標變換矩陣。（4-14）綜合上述結果，一般空間單元的[]矩陣為：181.6有約束單元對一端有力矩為零（鉸接）約束的單元來說，可有以下變換矩陣先固后鉸單元先鉸后固單元（4-15）（4-15）1.6有約束單元對一端有力矩為零（鉸接）約束的單元來說，可192力的轉換

由于桿端位移和桿端力是一一對應，圖4-2至圖4-5中的位移均換成，則立即可得到各單元或（4-18）（4-19）自式（4-19）出發(fā)，考慮到局部坐標的單元剛度方程，則有3單元剛度方程的轉換再將式（4-17）位移轉換廣西代入上式，則如果記為整體坐標單元矩陣則有即為整體坐標單元剛度方程。（4-20）（4-21）2力的轉換由于桿端位移和桿端力是一一對應，圖4-204-1-3整體單元剛度矩陣舉例【例題4-1】試求例題3-1桁架中①、②兩單元的整體坐標單元剛度矩陣。

解：①單元

根據(jù)式（4-20）可得整體坐標單元剛度矩陣成為

的矩陣。

實際也即在局部坐標單元剛度矩陣基礎上，添加坐標y方向位移所對應得第二、四行和列元素全部為零。

4-1-3整體單元剛度矩陣舉例【例題4-1】試求例題21②單元

,根據(jù)矩陣乘法可得

由計算過程可知，任意傾角

時的桁架單元整體坐標單元剛度矩陣為

（4-22）

②單元,根據(jù)矩陣乘法可得由計算過程可知，任意傾角時的桁22【例題4-2】試求圖3-17所示但考慮軸向變形的鋼架中①、③兩單元的整體坐標單元剛度矩陣，

解：根據(jù)考慮軸向變形的局部坐標自由式單元的單元剛度矩陣式（3-33）

【例題4-2】試求圖3-17所示但考慮軸向變形的鋼架中①、③23由此①、②單元局部坐標下的單元剛度矩陣分別為

由此①、②單元局部坐標下的單元剛度矩陣分別為24單元③單元由此可得坐標轉換矩陣分別為由剛度矩陣坐標轉換公式

,作矩陣乘即可得到整體坐標單元剛度矩陣，其元素數(shù)值如下所示

單元③單元由此可得坐標轉換矩陣分別為由剛度矩陣坐標轉換公式25對照和可以發(fā)現(xiàn)對于傾角為的單元，整體坐標單元剛度矩陣可以按一定規(guī)則由局部坐標單元剛度矩陣作變換得到，不需要作坐標變換的矩陣乘。這一變換規(guī)則，請讀者自行總結。

提示將分塊剛度矩陣作出零換位，即可得到，但不權威也無相關資料證實。對照和可以發(fā)現(xiàn)對于傾角26【例題4-3】試求【例題3-4】圖3-19所示交叉各指定單元的整體坐標單元剛度矩陣。

解：由于①、②兩單元的局部坐標與整體坐標相同，即

，故整體單元剛度矩陣和局部剛度矩陣也相同。

【例題4-3】試求【例題3-4】圖3-19所示交叉各27對于③、④單元，其中

，則由式（4-8）和（4-12）知

由剛度矩陣坐標轉換公式

，作矩陣乘即可求得整體坐標單

元剛度矩陣

顯然，正交交叉梁局部坐標和整體坐標相差的單元整體剛度矩陣，和剛架單元具有相似的變化規(guī)律。

對于③、④單元，其中，則由式（4-8）和（4-12）知由284-2結構整體分析對桿系結構進行單元分析，僅僅是有限元分析中的第一步。我們的目的是要對整個結構進行分析，研究結構的整體性能。因此，在對結構的各單元分析完成后，必須將單元分析的結果進行整合，對結構進行整體分析。整體分析的過程實際上是如何將單元分析的結果進行有效組合，建立整體剛度方程并求解結點位移的過程,即單元剛度方程、力和位移都認為是對于整體坐標的。根據(jù)對結點位移的編碼方式，可以采用“先處理法”和“后處理法”來建立整體剛度方程。4-2結構整體分析對桿系結構進行單元分析，僅僅是有限元294-2-1用最小勢能原理進行結構整體分析設結構被離散化為m個單元，總共有n個結點。又設第單元的桿端位移為，桿端力矩陣，以及等效結點荷載矩陣為，單元剛度方程為：單元的總勢能為式中：為第單元的整體剛度矩陣。（4-23）4-2-1用最小勢能原理進行結構整體分析設結構被離散化為m301、結構總勢能若記第個結點的結點位移矩陣為，直接作用于該結點的荷載矩陣為。則記結構的結點位移矩陣、直接結點荷載矩陣分別為考慮到結構應該包含全部單元和結點，因此結構的總勢能EP應該是EP=各單元勢能之和+結點的外力勢能若第結點是個單元的匯交點，其中個單元這一結點是單元局部編碼結點，個是局部編碼結點，則結點的外力勢可表示為:（4-24）（4-25）（4-26）（4-27）1、結構總勢能若記第個結點的結點位移矩陣31（a）結構離散示意③②①①②③（b）單元結點受力圖4-6結點外力勢計算圖（a）結構離散示意③②①①②③（b）單元結點受力圖4-632顯然式（a）結論適合于任何情況。由此式（4-26）可具體寫為例如圖4-6所示結構結點的外力勢為式（a）中:（a）（b）（4-28）顯然式（a）結論適合于任何情況。由此式（4-26）可具體寫為33若引入如下矩陣符號（4-31）（4-30）（4-29）（4-32）式（4-31）中，diag表示“元素”對角線排列，也即為塊對角矩陣。根據(jù)矩陣乘法規(guī)則，不難驗證式（4-28）可改寫為：（4-33）若引入如下矩陣符號（4-31）（4-30）（4-29）（4-342、位移轉換由單元桿端位移和結點位移之間的協(xié)調(diào)條件，可建立，之間的對應關系式中:為反映位移協(xié)調(diào)的位移變換矩陣。例如圖4-6所示結構，其，為由此可得位移變換矩陣為式中為單位矩陣。（4-34）2、位移轉換由單元桿端位移和結點位移之間的協(xié)調(diào)條353、整體剛度方程將式（4-34）代入（4-33）則可得（4-35）式中令結構勢能的一階變分為零，即則可得或式中：為結構原始單元綜合等效結點荷載矩陣。（4-36）式（4-38）即為經(jīng)過最小勢能原理分析所得到的整體剛度方程。顯然，對于其他非桿系結構，只需注意到單元結點位移、結點力將因所分析問題的不同而異。單元的結點數(shù)取決于分析所采用的具體單元類型，按完全相同分析思路進行推導，所得的最終表達式將完全一致。3、整體剛度方程將式（4-34）代入（4-33）則可得（4-364-2-2直接剛度法集裝整體剛度方程規(guī)則所謂后處理法，就是由單元剛度矩陣形成整體剛度矩陣，建立剛度方程后再引入支承條件，進而求解結點位移的方法。運用這種方法時，假設所有結點位移均為未知量，按照順序統(tǒng)一進行編碼，如圖所示的平面桿件單元。1、后處理法4-2-2直接剛度法集裝整體剛度方程規(guī)則所謂后處理法37結點位移矩陣為：

結點荷載矩陣為：

求出各單元剛度方程后，根據(jù)平衡條件和位移連續(xù)條件，可以建立整個結構的位移法方程：結點位移矩陣為：38簡寫成：

這里為結構的整體剛度矩陣，有：

應該注意到，在建立方程的過程中，我們假設所有結點都有位移。因此整個結構在外力作用下，除了發(fā)生彈性變形外，還可能發(fā)生剛體平動位移，這樣各結點位移不能唯一確定。這說明整體剛度矩陣為一奇異矩陣，不能求逆矩陣，即根據(jù)整體剛度方程可得到無窮多個解。簡寫成：應該注意到，在建立方程的過程中，我們假設所有39實際上，在圖所示剛架中，結點1和結點4均為固定端，其三個位移分量均為0，即有：

這樣，將上述支承條件引入到方程中，對整體剛度方程進行修改，可得：

實際上，在圖所示剛架中，結點1和結點4均為固定端，其三個位移40對上述方程進行化簡，可以得到兩組方程：

和

這樣，利用第1式可以求得結點位移和，再根據(jù)第2式可以求得支座反力和。(1)(2)對上述方程進行化簡，可以得到兩組方程：這樣，利用第1式可以求41所謂先處理法，就是先引入支承條件，根據(jù)支承條件僅對未知的自由結點位移分量編號，得到的位移矩陣中不包含已知的約束位移分量，即可以直接得到方程求解自由結點位移分量。2、先處理法所謂先處理法，就是先引入支承條件，根據(jù)支承條件僅對未知的42如圖所示的平面剛架結構ABCD，由于在A處和D處均為固定端，其位移為0，故位移編碼均為0，在C處為鉸接，故BC桿在C端的角位移與DC桿在C端的角位移不相同，因此在C處編兩個結點3和4，但結點3和4的橫向位移和豎向位移相同，故采用相同的編號，各結點位移編碼如圖所示。圖4-7先處理法位移編碼示意圖如圖所示的平面剛架結構ABCD，由于在A處和D處均為固定43由單元剛度矩陣集成整體剛度矩陣通常采用剛度集成法。其計算過程可以分為兩步：首先求出各單元的貢獻矩陣，然后將它們疊加起來形成整體剛度矩陣。但這樣處理在實際中很少采用，因為在編程過程時需先將各單元的貢獻矩陣儲存起來，而各單元貢獻矩陣的階數(shù)與整體剛度矩陣的階數(shù)相同，因此占用的空間非常巨大，不利于節(jié)約資源，并且在實際中有可能耗盡所有資源。故在實際中并不是采用貢獻矩陣法，而是利用各單元的定位數(shù)組，采用“邊定位，邊累加”的方法。由單元剛度矩陣集成整體剛度矩陣通常采用剛度集成法。其計算44所謂單元的定位數(shù)組，就是將單元的始端及末端的位移編碼排成一行（始端在前，末端在后），寫成如下的形式：

如圖中，各單元的定位數(shù)組分別為：

這樣處理，得到的整體剛度矩陣與疊加所有貢獻矩陣得到的結果完全一致，但可以節(jié)約大量的存儲空間。所謂單元的定位數(shù)組，就是將單元的始端及末端的位45如圖所示的結構有3個單元，5個結點，7個獨立的位移分量，這樣其整體剛度矩陣應為階矩陣，即：

如圖所示的結構有3個單元，5個結點，7個獨立的位移分量，這46對于單元，其單元定位數(shù)組為，我們將定位數(shù)組標記在單元剛度矩陣的上面和右側，其與單元剛度矩陣一起寫成如下形式：各元素在整體剛度矩陣中的位置為：對于單元，其單元定位數(shù)組為，我們將定位47單元②的剛度矩陣和它的定位數(shù)組為：

中各元素在整體剛度矩陣中的位置為：

單元②的剛度矩陣和它的定位數(shù)組為：48單元③的剛度矩陣和它的定位數(shù)組為：

中各元素在整體剛度矩陣中的位置為：

單元③的剛度矩陣和它的定位數(shù)組為：49這樣，按照以上所講的定位方法，將、、中的相關元素累加到整體剛度矩陣對應的元素上，可以得到整體剛度矩陣為：這樣，按照以上所講的定位方法，將、、中的相關元素累50在實際編程過程中，集成整體剛度矩陣的過程可以概括為：（1）根據(jù)位移編號，建立整體剛度矩陣Ｋ的存儲空間，并置0，若位移個數(shù)為n，則整體剛度矩陣為階矩陣。（2）對每個單元，根據(jù)其定位數(shù)組，將其元素累加到整體剛度矩陣中對應的元素上，直到處理完所有的單元。在實際編程過程中，集成整體剛度矩陣的過程可以概括為：51圖4-8例題4-2剛架所受荷載圖4-9位移編碼【例題4-4】試用后處理法建立例題4-2結構在圖4-8所示荷載下的結構剛度方程。同時用先處理法建立在圖4-9編碼下的結構剛度方程。4-2-3直接剛度法集裝整體剛度方程舉例圖4-8例題4-2剛架所受荷載圖4-9位移編碼4-252解：后處理法集成設結點1的支座反力分別為結點2支座反力為則直接作用結點荷載矩陣根據(jù)結點號集成結果為

單元②的，所以等效結點荷載整體坐標下的和局部坐標下的相同，即①、③單元上無荷載，因此。基于此，根據(jù)集成規(guī)則可得結構等效結點荷載矩陣為

由此可得綜合結點荷載矩陣為解：后處理法集成由此可得綜合結點荷載矩陣為53

利用[例題4-2]的單元整體剛度矩陣結果，按直接剛度法集

成可得結構剛度矩陣如下所示其中非零的的子矩陣如下

利用[例題4-2]的單元整體剛度矩陣結果54有限元第四章-桿系結構的整體分析ppt課件55由于對稱性，。有了上述結果，即可得到后處理法的結構剛度方程。由于對稱性，56先處理法集成

此結構各單元的定位向量和符號表達式的結構剛度矩陣已在4-2-2中給出，將各單元的剛度矩陣具體元素數(shù)值代入后可得先處理法集成57顯然，這一結果和后處理法中劃去1、2結點對應的子矩陣后所得結果相同。后處理法必須對剛度矩陣引入邊界條件后才能求解，而且是解12階的方程。先處理法不需要再處理零位移約束條件，只需要解6階的方程。因此當前的程序都是按先處理法設計的。

根據(jù)結點位移碼，由式4-9直接可得由單元（2）的等效結點荷載可得從而可得綜合結點荷載矩陣為結構剛度矩陣方程為顯然，這一結果和后處理法中劃去1、2結點對應的584-3整體剛度性質(zhì)4-3-1性質(zhì)對稱性

結構整體剛度矩陣是有單元剛度矩陣集裝得到的，而整體單元剛度矩陣是又局部單元剛度矩陣經(jīng)過坐標變換得到得。由于局部單元剛度是對稱的，所以整體剛度矩陣也必然是對稱的。奇異性由自由式單元剛度矩陣用后處理法集裝成德整體原始剛度矩陣具有奇異性。這是因為，1）自由式單元剛度矩陣本身是奇異的；2）結構是無任何約束的，因此在給定的外荷載作用下，將產(chǎn)生運動，不能得到結點位移的唯一解。稀疏帶狀結構整體剛度矩陣是個稀疏矩陣，他的絕大多數(shù)元素是零，當合理編碼是只在剛度矩陣主對角線兩側一窄的帶狀區(qū)域存在非零元素。這是因為，結構中的任一結點通過單元只與其鄰近的少數(shù)結點相關聯(lián)，與結點無單元連接的其他結點由集成規(guī)則可知其元素必然為零。4-3整體剛度性質(zhì)4-3-1性質(zhì)對稱性59僅當時，上式變成4-3-2元素的物理意義結構整體剛度方程由此可見，整體剛度矩陣元素的物理意義為：當結構僅發(fā)生第位移分量單位位移時，所需要施加的第個位移分量方向的外力（廣義力）。根據(jù)這一物理意義，在節(jié)能型手算分析時，可在使結構僅產(chǎn)生條件下，根據(jù)位移法的形常數(shù)和上述物理意義直接求得。僅當時，上式變成4-3-2元素的物理意義604-4整體分析的物理實質(zhì)式（4-28）給出了結構的總勢能為由于單元分析已使，所以在整體分析令時，可得利用式（4-29）、式（4-30）和式（4-34），上式可改寫成由變分的任意性，故可得將式（4-39）代入式（4-45），則有（4-44）（4-45）（4-46）考慮到的具體表達式（4-42），則不難理解式（4-45）所代表的是全部結點平衡條件。這就是有限元整體分析的物理實質(zhì)。本課件無該公式4-4整體分析的物理實質(zhì)式（4-28）給出了結構的總61例如教材圖4-7所示結構，設結點1至4的外荷載分別為，，，。由式（4-46）計算有顯然這就是結點上外荷載與桿端力（結點力）平衡的條件。例如教材圖4-7所示結構，設結點1至4的外荷載分別為624-5邊界條件的處理從集裝規(guī)律討論可知，對于先處理法，實際上已經(jīng)將為零位移的約束條件進行了處理。但計算問題可能還存在非零已知支座位移，此外，當用后處理法建立結構整體剛度方程時，剛度矩陣式奇異的。因此，為了從整體剛度方程求解出實際問題的解答，必須進入支承條件，修改整體剛度方程。4-5邊界條件的處理從集裝規(guī)律討論可知，對于先處理法，634-5-1“劃零置一”法設結點位移向量中第個位移已知，對應整體剛度方程有如下修改。（1）將改為（2）整體剛度矩陣中的第行第列中，將主對角線元素改為1，其他元素改為0。經(jīng)修改后第個方程就改為，滿足了邊界條件，同時也考慮了他對其他方程的影響4-5-1“劃零置一”法設結點位移向644-5-2乘大數(shù)法

仍設結點位移向量中第個位移已知，應對第個方程進行如下修改。在和中將對角線元素改為GKrr，將改為，其中G為一大數(shù)通常為106~108（雙精度是也可更大），經(jīng)過修改后，第個方程變?yōu)樵谏鲜降仁絻蛇呁訥Krr，由于G是很大的數(shù)，故可得即對于后處理法建立的剛度方程，經(jīng)過上述修改后在整個剛度方程完全滿足了結構在支座處的位移邊界條件，如果邊界位移條件足以消除結構的剛性位移，則修改后的剛度矩陣改稱為整體剛度矩陣，此時他已是非奇異的對稱矩陣，通過求解結構剛度方程，即可求得未知數(shù)的結點位移。4-5-2乘大數(shù)法仍設結654-5-3斜支撐處理（略）4-5-3斜支撐處理（略）66附;邊界條件的處理

1鉸結點在桿系結構中，除了剛性結點外，通常會遇到一些桿件通過鉸結點與其它桿件聯(lián)結，通過鉸支座與其它桿件鉸接和剛性接觸。對于這樣的鉸結點，具有如下的性質(zhì)：①鉸結點上各桿具有相同的線位移，但截面的轉角位移不相同；②結點上具有鉸接桿端不承受彎矩作用。附;邊界條件的處理1鉸結點67對于這樣的結點，我們在對其進行單元劃分時，通?？紤]在D處設置2個結點。按照先處理法，對圖示結構進行位移編碼，如圖4-10所示。圖4-10鉸結點的處理示意圖對于這樣的結點，我們在對其進行單元劃分時，通?？紤]在D處68

2.4.2.2彈性支承點在實際工程中，有時會遇到彈性支承的情況如下圖所示，這時一般將彈性支座看作是在結構約束點沿約束方向的一個彈簧，彈簧的剛度系數(shù)為，在數(shù)值上等于使彈簧支座沿約束方向產(chǎn)生單位位移時所需施加的力。2.4.2.2彈性支承點69設結構的第i個結點位移分量為彈性支座約束，彈簧的剛度系數(shù)為，則結構產(chǎn)生位移時所引起的支座反力為：

這里負號表示支座反力方向與約束點位移方向始終相反。作用在受約束的結點上，它是結點外力的一部分，由整體剛度方程可知，第個平衡方程應為：

式中為原有的第i個結點上的荷載分量。進行整理可得：

這樣就引入了彈性支承的約束條件。根據(jù)以上的分析，引入彈性支承的具體做法可以歸結為：先解除彈性支承點約束，在i處給一個結點號，形成總剛度矩陣，然后在總剛度矩陣中將第i行的主元素加上彈性支承的剛度系數(shù)，此時第i行變?yōu)椋涸O結構的第i個結點位移分量為彈性支座約束，彈簧的704-6單元內(nèi)力的計算經(jīng)過整體分析并且引入了邊界已知位移條件后，只要桿件體系是幾何不變的結構，整體剛度方程一定是非奇異的。如果整體剛度方程奇異，則表明桿件體系是可變的。因此，利用整體剛度矩陣的奇異性，可進行體系的可變分析但不能確定是怎樣可變的。對于桿系結構，調(diào)用與整體剛度矩陣在計算機里儲存方法相應的線性方程組揭發(fā)，即可求得結構全部結點位移。有了位移自然不難解決結構的剛度問題。但實際工程設計中，感興趣的是結構的內(nèi)力和應力。下面假設在求得了結構結點位移矩陣的情況下，說明桿系結構各單元桿端力和但單元任一截面內(nèi)力的計算問題。4-6單元內(nèi)力的計算經(jīng)過整體分析并且引入了邊界已714-5-3單元桿端內(nèi)力（軸力、剪力、彎矩等）的計算根據(jù)單元結點信息（兩端結點整體編碼）或單元定位向量（單元整體位移編碼向量），即可從結構位移矩陣中取出該單元的整體坐標位移矩陣。根據(jù)單元相關信息，可形成單元坐標轉換矩陣。又根據(jù)單元分析和位移坐標轉換可知由此可得上式即為單元桿端內(nèi)力的計算公式。由此可見包含兩部分：其一為桿端位移引起的桿端內(nèi)力，也即；另一為等效結點荷載或固端力引起的桿端力，顯然只有單元上有荷載作用時才有此項。內(nèi)力和桿端力符號規(guī)定，前者軸力受拉為正，剪力是桿段順時針旋轉為正，彎矩一般規(guī)定順時針為正，后者這是沿坐標正向為正。4-5-3單元桿端內(nèi)力（軸力、剪力、彎矩等）的計724-5-3單元桿端內(nèi)力（軸力、剪力、彎矩等）的計算圖4-12截面內(nèi)力計算示意對于桿系結構來說，有了桿端內(nèi)力即可將單元視為靜定梁。利用截面法列平衡方程，即可求的單元內(nèi)任意截面的內(nèi)力。如圖4-12所示的懸臂梁為例，建立內(nèi)力計算公式如下：（4-52）有了p(x)，q(x)的變化規(guī)律，由上式即可得到具體荷載的內(nèi)力公式。4-5-3單元桿端內(nèi)力（軸力、剪力、彎矩等）的計734-7程序調(diào)試中關鍵量的速算4-7-1整體剛度矩陣元素速算確定方法整體剛度矩陣元素物理意思是：僅僅結構第個位移分量產(chǎn)生單位整體位移時，第個相應的“附加約束”上的反力。計算的速算方法步驟為：（1）如果第個位移和第個位移分量間沒有直接的單元連接，。否則繼續(xù)以下步驟；（2）從結構中取出和相關的（存在直接連接的）單元部分，所取出部分的結點認為均有限制位移的約束；（3）令取出部分結構僅產(chǎn)生，作單位彎矩圖（或單位內(nèi)力圖）；（4）像位移法一樣，根據(jù)形常數(shù)和結點或隔離體平衡條件與相應的“附加約束”上的總反力，其值即為。參考教材87頁例題4-5和例題4-64-7程序調(diào)試中關鍵量的速算4-7-1整體剛度744-7-2綜合等效結點荷載元素的速算確定方法單元局部等效結點荷載和單元固端力之間的關系為速算方法就是利用這一關系和等直桿的載常數(shù)獲得單元的等效結點荷載。將等效結點荷載按其局部坐標方向作用于結構結點上，再與結構結點荷載一起投影到整體坐標系下，便可獲得綜合等效結點荷載元素的數(shù)值。計算綜合等效結點荷載矩陣元素的速算步驟為：（1）根據(jù)單元荷載情況和兩端固定梁（視位移編碼情況，也可以不是兩端固定梁）的載常數(shù)，將單元上的荷載按單元局部坐標方向?qū)⒐潭死锔淖兎较颉耙浦谩钡浇Y點上；（2）將局部坐標方向的等效結點荷載和直接結點荷載向整體坐標方向投影；（3）根據(jù)整體位移碼，將相同編碼上全部結點荷載分量累加即可得到與此位移碼相應的綜合等效結點荷載元素。參考教材90頁例題4-7和4-84-7-2綜合等效結點荷載元素的速算確定方法754-7-2已知結構的結點位移求指定單元桿端力速算確定方法單元桿端力的計算公式式中整體坐標下的單元結點位移是從結構結點位移中按定位向量取出的，整體坐標下的單元結點位移與局部坐標系下的單元結點位移之間的關系就是一個坐標轉換（或投影）關系，各類單元的矩陣可以算出，對于平面問題，考慮到只有結點位移存在轉換，轉角不需要轉換。根據(jù)這些特點，速算方法的步驟為：（1）根據(jù)單元定位向量從結構位移矩陣中取出單元整體坐標下的桿端位移矩陣；（2）將單元整體端線位移分量轉換成局部坐標系下的單元桿端線位移，其公式為：為與軸的夾角。4-7-2已知結構的結點位移求指定單元桿端力速算確定方76（3）根據(jù)所需求的桿端力元素，由形常數(shù)寫出非零桿端位移引起的該元素的計算公式并計算；（4）將各非零結點位移引起的該元素和荷載引起的固端里元素相加，即可得到該元素的值。（3）根據(jù)所需求的桿端力元素，由形常數(shù)寫出非零桿端位移引起的77附：桿系結構分析算例應用有限元位移法對桿系結構進行分析，如果按照“先處理法”的思想，其步驟可以歸結為如下：（1）對單元進行劃分，整理原始數(shù)據(jù)，對單元和結點進行編號，確定每個單元的局部坐標系整個結構的整體坐標系。（2）計算局部坐標系中的單元剛度矩陣。（3）確定每個單元的坐標轉換矩陣，計算整體坐標系下的單元剛度矩陣。

附：桿系結構分析算例應用有限元