華東師大版初中數(shù)學(xué)七年級下冊課件：第7章-一次方程組

第7章一次方程組7.1二元一次方程組和它的解問題1暑假里，《新晚報》組織了“我們的小世界杯”足球邀請賽.比賽規(guī)定：勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分.勇士隊在第一輪中賽了9場，只負(fù)了2場，共得17分.

那么這個隊勝了幾場？又平了幾場呢？情境導(dǎo)入你一定會解答這個問題！請將你的解法與大家交流，比較一下，誰的方法好？用算術(shù)方法解答：勝了5

場，平了2

場。方法一：[3×（9–2）–17]÷（3–1）=2（場）9–2–2=5（場）用一元一次方程解方法二：設(shè)勇士隊勝了x

場，則平了（7–x）場，根據(jù)題意，得3x

+（7–x）=

17解這個方程，得x

=

5，∴7–x

=

2，答：勝了5

場，平了2

場。探索問題中有兩個未知數(shù)，如果分別設(shè)為x、y，又會怎樣呢？勝平合計場數(shù)得分xy73xy17探究新知設(shè)勇士隊勝了x場，平了y場，那么根據(jù)題意，由上表得

x+y=7，①

3x+y=17.②兩個未知數(shù)x、y必須同時滿足①、②這兩個方程.因此，把兩個方程合在一起，并寫成

x+y=7，①

3x+y=17.②上面列出的兩個方程都有兩個未知數(shù)，并且含未知數(shù)項的次數(shù)都是1.像這樣的方程，叫做二元一次方程.把這樣的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.練習(xí)

下列方程組中不是二元一次方程組的是

（填序號）.③④⑤前面用算術(shù)方法或者通過列一元一次方程以求得勇士隊勝了5場，平了2場，即x=5，y=2.這里的x=5與y=2既滿足方程①，即5+2=7，又滿足方程②，即3×5+2=17.我們就說x=5與y=2是二元一次方程組

x+y=7，

3x+y=17.

的解，并記作

x=5，

y=2.

一般地，使二元一次方程組中兩個方程的左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解.下面4組數(shù)值中，哪些是二元一次方程2x+y=10的解？x=–2

y=6（1）x=3y=4（2）x=4y=3（3）x=6y

=–2（4）×√×√練習(xí)問題2某校現(xiàn)有校舍20

000

m2，計劃拆除部分舊校舍，改建新校舍，使校舍總面積增加30%.若新建校舍的面積為被拆除的舊校舍面積的4

倍，則應(yīng)該拆除多少舊校舍，建造多少新校舍？試一試設(shè)應(yīng)拆除xm2

舊校舍，建造ym2

新校舍，

y–x=20000×30%，y=4x.

1.若方程（m–2）x|m－1|+（n+3）yn－8=6是關(guān)于x，y的二元一次方程，則m=

，n=

.09課堂練習(xí)2.下列方程中，是二元一次方程的是（

）.Dx=–1y=–2x=1y=23.下列四組數(shù)值中，

（

）是二元一次方程組的解.2x+3y=4，3x–y=–5.x=1y=–2A.D.x=–1y=2C.B.C4.根據(jù)題意，列出二元一次方程組；（1）小華買了60分與80分的郵票共10枚，花了7元2角，那么，60分和80分的郵票各買了多少枚？解：設(shè)60分的郵票買了x枚，80分的郵票買了y枚.x+y=10，60x+80y=720.（2）甲、乙兩人共植樹138棵，甲所植的樹比乙所植的樹的多8棵，試問甲、乙兩人各植樹多少棵？解：設(shè)甲植樹x棵，乙植樹y棵.x+y=138，x–y=8.含有兩個未知數(shù)的一次方程二元一次方程二元一次方程組兩個二元一次方程組的解歸納總結(jié)1.完成課本P26習(xí)題7.1第1、2題，2.完成練習(xí)冊本課時的習(xí)題.課后作業(yè)謝謝！第7章一次方程組7.2二元一次方程組的解法第1課時運用代入法解二元一次方程組探索回顧上節(jié)課的問題2.設(shè)應(yīng)拆除xm2

舊校舍，建造ym2

新校舍，

y–x=20000×30%，①y=4x.②

那么根據(jù)題意可列出方程組怎樣求這個二元一次方程組的解呢？回顧導(dǎo)入方程②表明，y與4x的值是相等的，因此，方程①中的y可以看成4x，即將②代人①：y=4xy–x=20000×30%，可得4x–x=20000×30%.探究新知解把②代入①，得4x–x=20000×30%，3x=6000，x=2000.把x=2000代人②，得y=8000.

x=2000，

y=8000.

所以答：應(yīng)拆除2000m2舊校舍，建造8000m2新校舍.從這個解法中我們可以發(fā)現(xiàn)：通過“代入”消去一個未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解的這種解法叫做代入消元法，簡稱代入法.代入法用同樣的方法解上節(jié)課問題1中的二元一次方程組.

解方程組：

x+y=7，①

3x+y=17.②這里沒有一個方程是一個未知數(shù)用另一個未知數(shù)表示的形式，怎么辦呢?例1解由①，得y=7–x.③將③代入②，得3x+7–x=17.解得x=5.將x=5代入③，得y=2.

x=5，

y=2.

所以練習(xí)已知方程x–2y=6，用x表示y，則y=________；用y表示x，則x=________.6+2y思考回顧并概括上面的解答過程，并想一想，怎樣解方程組：

3x–5y=6，①

x+4y=–15.②解由②，得x=–15–4y.③將③代入①，得3（–15–4y

）

–5y=6.解得y=–3.將y=–3代入③，得x=–3.

x=–3，

y=–3.

所以練習(xí)

x

=

3y

+

2，①

x+3y=8.②解將①代入②，得3y

+2+3y

=8.解得y=1.將y=1代入①，得x=5.

x=5，

y=1.所以

解方程組：

2x–7y=8，①

3x–8y–10=0.②這兩個方程中未知數(shù)的系數(shù)都不是1，怎么辦？能不能將其中一個方程適當(dāng)變形，用一個未知數(shù)來表示另一個未知數(shù)呢？例2解由①，得x=4+y.③將③代入②，得解得y=–0.8.將y=–0.8代入③，得x=1.2.

x=1.2，

y=–0.8.

所以723（4+y

）

–8y

–10=0.721.把下列方程改寫成用含x的式子表示y的形式：解：課堂練習(xí)2.二元一次方程組的解為（）.x+2y=10y=2x

x=4y=3A.x=2y=4C.x=3y=6B.x=4y=2D.C3.用代入法解下列方程組：解：（1）把①代入②，得7x+5（x+3）=9，解得，代入①，得，

∴方程組的解為解：（2）由①，得y=–4x+15.③把③代入②得3x–2（–4x+15）=3.解得x=3.把x=3代入③，得y=3.∴方程組的解為4.小婷知道和都是二元一次方程ax+by+4=0的解，她想知道是否也是方程ax+by+4=0的解，你能幫幫她嗎？說說你的方法.解：∵和都是二元一次方程ax+by+4=0的解，∴解得代入二元一次方程ax+by+4=0，得–3x+y+4=0.將代入–3x+y+4=0，得–3×3+4+4=–1≠0，∴不是方程

–3x+y+4=0的解.用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)代入消元解一元一次方程得到一個未知數(shù)的值求另一個未知數(shù)的值代入法的核心思想是消元

歸納總結(jié)1.完成課本P30練習(xí)第1、2題，2.完成練習(xí)冊本課時的習(xí)題.課后作業(yè)謝謝！第7章一次方程組7.2二元一次方程組的解法第2課時運用加減法解二元一次方程組復(fù)習(xí)回顧根據(jù)等式性質(zhì)填空：若a=b，那么a±c=______.若a=b，那么ac=______.思考若a=b，c=d，那么a+c=b+d嗎?b±cbc等于復(fù)習(xí)導(dǎo)入

解方程組：

3x+5y=5，①

3x–4y=23.②注意這個方程組的未知數(shù)x的系數(shù)相同，都是3.請你把這兩個方程的左邊與左邊相減，右邊與右邊相減，看看，能得到什么結(jié)果？探究新知例3把兩個方程的兩邊分別相減，就消去了x，得到9y

=–18，即

y=–2.把y=–2代入①，得x=5.

x=5，

y=–2.

所以思考從上面的解答過程中，你發(fā)現(xiàn)了二元一次方程組的新解法嗎？通過將兩個方程的兩邊分別相加（或相減）消去一個未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程.這種解法叫做加減消元法，簡稱加減法.加減法

解方程組：

3x+7y=9，①

4x–7y=5.②解①+②，得7x=14，

即x=2.將x=2代入①，得y=.

x=2，

y=.

所以3737例4

利用加減消元法解方程組時，在方程組的兩個方程中:（1）某個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)，則可以直接____________________________消去這個未知數(shù)；

（2）如果某個未知數(shù)的系數(shù)相等，則可以直接_____________________________消去這個未知數(shù).把這兩個方程中的兩邊分別相加把這兩個方程中的兩邊分別相減結(jié)論：練習(xí)解方程組：①②解：①+②，得4x=8.解得x=2.把x=2代入①，得2+2y=9.解得∴這個方程組的解為

解方程組：

5x+6y=42.②

3x–4y=10，

①直接相加減不能消去一個未知數(shù)，怎么辦呢？例5解由①×3，②×2，得③+④，得19x=114.解得x=6.將x=6代入②，得y=2.

x=6，

y=2.

所以

10x+12y=84.④

9x–12y=30，

③思考能否先消去x

再求解？怎么做？解由①×5，②×3，得④–③，得38y=76，解得y=2.將y=2代入②，得x=6.

x=6，

y=2.

所以

15x+18y=126.④

15x–20y=50，

③試一試在上節(jié)課例2的方程組是用代入法解的，現(xiàn)在用加減法試試，看哪種方法比較簡便.

2x–7y=8，①

3x–8y–10=0.②解得y=–0.8.將y=–0.8代入②，得x=1.2.

x=1.2，

y=–0.8.

所以解由①×3–②×2，得–5y=4，1.用加減法解下列方程組：解：（1）②–①，得a=1.把a=1代入①，得2×1+b=3.解得b=1.∴這個方程組的解為課堂練習(xí)解：（2）②–①×4，得7y=7.解得y=1.把y=1代入②，得2x+1=3.解得x=1.∴這個方程組的解為①②2.解方程組：③代入法加減法解：由①得將③代入②，得代入③，得解：①×4–②，得代入①，得3.解下列方程組：解：（1）整理得①+②，得4y=28.解得y=7.把y=7代入①，得3x–7=8，解得x=5.∴這個方程組的解為解：（2）整理得①×3–②，得2v=4.解得v=2.把v=2代入①，得8u+18=6.解得.

∴這個方程組的解為4.已知方程組的解滿足方程x+y=8，求m的值.解：①+②，得5x+5y=2m+2.又∵x+y=8，∴5×8=2m+2.解得m=19.故m的值為19.加減消元法條件：步驟：方程組中同一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成整數(shù)倍變形加減求解回代寫出解歸納總結(jié)1.完成課本P34練習(xí)，2.完成練習(xí)冊本課時的習(xí)題.課后作業(yè)謝謝！第7章一次方程組7.2二元一次方程組的解法第3課時二元一次方程（組）的簡單應(yīng)用我國古代算書《孫子算經(jīng)》中有一題：今有雉（雞）兔同籠，上有35頭，下有94足，問雉、兔各幾何？問題情境導(dǎo)入設(shè)有雉x只，兔y只.根據(jù)頭數(shù)、足數(shù)可得二元一次方程組：x+y=35，2x+4y=94，

某蔬菜公司收購到某種蔬菜140噸，準(zhǔn)備加工后上市銷售.該公司的加工能力是：每天可以粗加工16噸或者精加工6噸.現(xiàn)計劃用15天完成加工任務(wù)，該公司應(yīng)安排幾天粗加工，幾天精加工？如果每噸蔬菜粗加工后的利潤為1000元，精加工后的利潤為

2000元，那么照此安排，該公司出售這些加工后的蔬菜共可獲利多少元？探究新知例6

分析：問題的關(guān)鍵是先解答前一個問題，即先求出安排粗加工和精加工的天數(shù).從題目中的信息我們可以得到這樣的等量關(guān)系：（1）粗加工天數(shù)+精加工天數(shù)=15；（2）粗加工任務(wù)+精加工任務(wù)=140.

解設(shè)應(yīng)安排x天粗加工，y天精加工.根據(jù)題意，有

16x+6y=140.

x+y=15，

解得

x=5，

y=10.

出售這些加工后的蔬菜一共可獲利1000×16×5+2000×6×10=200000（元）.答：應(yīng)安排5天粗加工，10天精加工，加工后出售共可獲利200000元.我們可以借助列方程或方程組的方法來處理這些問題.這種處理問題的過程可以進(jìn)一步概括為:問題方程（組）解答分析抽象求解檢驗列二元一次方程組解應(yīng)用題的般步驟：審弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的兩個等量關(guān)系；設(shè)根據(jù)問題設(shè)出兩個未知數(shù)；列根據(jù)等量關(guān)系，列出需要的代數(shù)式，從而列出方程組;解解這個方程組，得出未知數(shù)的值；驗檢驗所求的未知數(shù)的值是否符合題意，是否符合實際情況；寫出答.答練習(xí)

甲、乙兩人相距4km，以各自的速度同時出發(fā).如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，兩人0.5h后相遇，試問兩人的速度各是多少？分析：·甲出發(fā)點乙出發(fā)點4km··甲追上乙乙2h行程甲2h行程同時出發(fā)，同向而行··甲出發(fā)點乙出發(fā)點4km乙0.5h行程甲0.5h行程相遇地同時出發(fā)，同向而行解設(shè)甲、乙的速度分別是xkm/h，y

km/h.根據(jù)題意與分析圖示的兩個相等關(guān)系，得2x–2y=4，x+y=4.1212解得x=5，y=3.答：甲的速度是5km/h，乙的速度是3km/h.1.現(xiàn)在父親的年齡是兒子的年齡的3倍，7年前父親的年齡是兒子的年齡的5倍，問父親、兒子現(xiàn)在的年齡分別是（

）A.42歲，14歲 B.48歲，16歲

C.36歲，12歲 D.39歲，13歲A課堂練習(xí)2.蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀，現(xiàn)這兩種小蟲共有腿108條和20對翅膀，則蜻蜓有____只，蟬有_____只.2163.如圖，寬為50cm的長方形圖案由10個相同的小長方形拼成，則每個小長方形的長和寬分別是多少？解：設(shè)每個小長方形的寬為

xcm，長為ycm.觀察圖形，得把①代入②，得x+4x=50.解得x=10.把x=10代入①，得y=40.∴這個方程組的解為答：每個小長方形的長為40cm，寬為10cm.4.用含藥30%和75%的兩種防腐藥水，配制含藥50%的防腐藥水18kg，兩種藥水各需多少千克？解：設(shè)需含藥30%的藥水xkg，含藥75%的藥水ykg.由題意，得由②，得2x+5y=60.③③–①×2，得3y=24.解得y=8.把y=8代入①.得x=10.∴這個方程組的解為答：兩種藥水分別需10kg和8kg.問題方程（組）解答分析抽象求解檢驗處理問題的過程歸納總結(jié)1.完成課本P36習(xí)題7.2第2、3、4題，2.完成練習(xí)冊本課時的習(xí)題.課后作業(yè)謝謝！第7章一次方程組7.3三元一次方程組及其解法問題在7.1節(jié)中，我們應(yīng)用二元一次方程組，求出了勇士隊在“我們的小世界杯”足球賽第一輪比賽中勝與平的場數(shù).問題導(dǎo)入探索在第二輪比賽中，勇士隊參加了10場比賽，按同樣的計分規(guī)則，共得18分.已知勇士隊在比賽中勝的場數(shù)正好等于平與負(fù)的場數(shù)之和，那么勇士隊在第二輪比賽中勝、平、負(fù)的場數(shù)各是多少？探究新知勝了10÷2=5（場），平了18–5×3=3（場），負(fù)了10–5–3=2（場）.方法1方法2由題意知，勝了10÷2=5（場），設(shè)平了x場，則負(fù)了（10–5–

x）場，依題意得5×3+x=18，解得x=3，所以勝了5場，平了3場，負(fù)了2場.設(shè)勝了x場，平了y

場，則負(fù)了（x–y）場.方法3依題意，得

x+y

+（x–y）=10，

3x+y=18.

解得

x=5，

y=3.

所以勝了5場，平了3場，負(fù)了2場。如果設(shè)這個隊在第二輪比賽中勝、平、負(fù)的場數(shù)分別為x、y、z，又將怎樣呢？

x+y

+z

=10，①

3x+y=18，

②

x

=

y

+z.

③怎樣解三元一次方程組呢？對于三元一次方程組，同樣可以先消去一個（或兩個）未知數(shù)，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組（或一元一次方程）求解。將③代入①和②，得到

2y

+2z

=10，④

4y+3z=18.⑤

解得

y=3，

z=2.

將y=3，z=2代入方程③，得到x=5.

x=5，

y=3，

z=2.所以試一試上面的三元一次方程組能否應(yīng)用加減消元法求解？或者能否利用方程③，直接消去方程①中的y+z？比較一下，哪種方法更簡便？將③代入①，得2x=10，解得

x=5.將

x=5代入②，得y=3.將

x=5，y=3代入③，得

z=2.

解方程組：

2x–3y

+4z

=3，①

3x–2y

+z

=7.②

x

+

2y–3z=1.

③解由方程②，得z=7–3x+2y.④將④分別代入①和③，得

–2x+y=–5，

5x–2y=11.

例1解這個二元一次方程組，得

x=1，

y=–3.

代入④，得z=–2.所以原方程組的解是

x=1，

y=–3，

z=–2.練習(xí)①②③解將③分別代入①和②，得5y+z=12，6y+

5z=22.

解這個二元一次方程組，得

y=2，

z

=2.

代入③，得x=8.所以原方程組的解是

x=8，

y=2，

z=2.

解方程組：

3x+4y–3z

=3，①

2x–3y–2z

=2.②

5x–3y+4z=–22.

③解③–

②，得x+2z=–8.①×3+②×4，得x–z=1.x+2z=–8，x–z=1.得方程組例2解得

x=–2，

z=–3.

代入②，得y=0.所以原方程組的解是

x=–2，

y=0，

z=–3.解三元一次方程組的基本思路是什么？

通過“代入”或“加減”進(jìn)行消元，把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解一元一次方程.三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程消元消元1.對于方程組此三元一次方程的最優(yōu)的解法是先消去（）轉(zhuǎn)化為二元一次方程組.C2x+3y=5，2x+y+z=6，3x–2y–

z=–2，D.都一樣課堂練習(xí)2.解下列三元一次方程組：①②③①②③解：（1）②×2+③得

x+2y=53.④④+①得

x=22.代入④得

y=代入②得

z=∴原方程的解是

解：（2）①+②得

5x+2y=16.④②+③得

3x+4y=18.⑤

⑤–④×2得

x=2.代入④得

y=3.∴原方程的解是

把

x=2，y=3代入③得z=1.3.在等式y(tǒng)=ax2+bx+c中，當(dāng)x=–1時，y=0；當(dāng)x=2時，y=3；當(dāng)x=5時，y=60，求a，b，c的值.解：根據(jù)題意，得三元一次方程組解得三元一次方程組定義含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1含有3個未知數(shù)解答思路化“三元”為“二元”一共有三個方程歸納總結(jié)1.完成課本P41習(xí)題7.3第1題，2.完成練習(xí)冊本課時的習(xí)題.課后作業(yè)謝謝！第7章一次方程組7.3三元一次方程組及其解法問題在7.1節(jié)中，我們應(yīng)用二元一次方程組，求出了勇士隊在“我們的小世界杯”足球賽第一輪比賽中勝與平的場數(shù).問題導(dǎo)入探索在第二輪比賽中，勇士隊參加了10場比賽，按同樣的計分規(guī)則，共得18分.已知勇士隊在比賽中勝的場數(shù)正好等于平與負(fù)的場數(shù)之和，那么勇士隊在第二輪比賽中勝、平、負(fù)的場數(shù)各是多少？探究新知勝了10÷2=5（場），平了18–5×3=3（場），負(fù)了10–5–3=2（場）.方法1方法2由題意知，勝了10÷2=5（場），設(shè)平了x場，則負(fù)了（10–5–

x）場，依題意得5×3+x=18，解得x=3，所以勝了5場，平了3場，負(fù)了2場.設(shè)勝了x場，平了y

場，則負(fù)了（x–y）場.方法3依題意，得

x+y

+（x–y）=10，

3x+y=18.

解得

x=5，

y=3.

所以勝了5場，平了3場，負(fù)了2場。如果設(shè)這個隊在第二輪比賽中勝、平、負(fù)的場數(shù)分別為x、y、z，又將怎樣呢？

x+y

+z

=10，①

3x+y=18，

②

x

=

y

+z.

③怎樣解三元一次方程組呢？對于三元一次方程組，同樣可以先消去一個（或兩個）未知數(shù)，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組（或一元一次方程）求解。將③代入①和②，得到

2y

+2z

=10，④

4y+3z=18.⑤

解得

y=3，

z=2.

將y=3，z=2代入方程③，得到x=5.

x=5，

y=3，

z=2.所以試一試上面的三元一次方程組能否應(yīng)用加減消元法求解？或者能否利用方程③，直接消去方程①中的y+z？比較一下，哪種方法更簡便？將③代入①，得2x=10，解得

x=5.將

x=5代入②，得y=3.將

x=5，y=3代入③，得

z=2.

解方程組：

2x–3y

+4z

=3，①

3x–2y

+z

=7.②

x

+

2y–3z=1.

③解由方程②，得z=7–3x+2y.④將④分別代入①和③，得

–2x