數(shù)學(xué)模型在日常生活中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型在日常生活中的應(yīng)用李青芳咸陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院信息與計算科學(xué)專業(yè)）摘要：21實際是知識經(jīng)濟和信息時代，也是人才和科學(xué)技術(shù)激烈競爭的時代。為使人才和科學(xué)技術(shù)在激烈的競爭中立于不敗之地，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會的不斷進步，數(shù)學(xué)這一重要的基礎(chǔ)科學(xué)迅速地向自然科學(xué)和社會科學(xué)的各個領(lǐng)域滲透，并在工程技術(shù)、經(jīng)濟建設(shè)及金融管理、生物醫(yī)學(xué)等方面發(fā)揮出愈來愈明顯的作用。特別是數(shù)學(xué)與計算機技術(shù)相結(jié)合，已經(jīng)形成一種重要的、可以實現(xiàn)的技術(shù)。要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的作用，首先要將所考查的現(xiàn)實世界中的現(xiàn)實問題歸結(jié)為一個相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，即建立該問題的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型一種培養(yǎng)綜合素質(zhì)的有效手段，在實踐中樹立建模的思想對綜合素質(zhì)發(fā)展有很大的幫助，通過對數(shù)學(xué)模型過程進行分析，應(yīng)用數(shù)學(xué)求解實際問題。數(shù)學(xué)模型在社會各領(lǐng)域中的應(yīng)用越來越廣泛，作用越來越大，本文舉例說明了利用數(shù)學(xué)模型可以解決現(xiàn)實生活中許多問題，有利于提高生活質(zhì)量。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)建模；應(yīng)用21實際是知識經(jīng)濟和信息時代，也是人才和科學(xué)技術(shù)激烈競爭的時代。為使人才和科學(xué)技術(shù)在激烈的競爭中立于不敗之地，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會的不斷進步，數(shù)學(xué)這一重要的基礎(chǔ)科學(xué)迅速地向自然科學(xué)和社會科學(xué)的各個領(lǐng)域滲透,并在工程技術(shù)、經(jīng)濟建設(shè)及金融管理、生物醫(yī)學(xué)等方面發(fā)揮出愈來愈明顯的作用。特別是數(shù)學(xué)與計算機技術(shù)相結(jié)合，一經(jīng)形成一種重要的、可以實現(xiàn)的技術(shù)。要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的作用，首先要將所考查的現(xiàn)實世界中的現(xiàn)實問題歸結(jié)為一個相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，即建立該問題的數(shù)學(xué)模型。1從生活到數(shù)學(xué)模型隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)代人的生產(chǎn)、工作和社會活動中發(fā)揮著重要的作用。插圖P4現(xiàn)實對象與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系數(shù)學(xué)模型的概念數(shù)學(xué)模型即就是將某一領(lǐng)域或部門的某個實際問題，經(jīng)過抽象、簡化、明確變量和參量，并依據(jù)某種“規(guī)律”建立變量和參量間的明確關(guān)系（數(shù)學(xué)模型），然后求解該問題，并對結(jié)果進行解釋和驗證，如果正確則可以投入使用，否則將重新對問題的假設(shè)進行改進，多次循環(huán)，直到正確。完成“實踐—理論—實踐”這一循環(huán)。數(shù)學(xué)模型的一般步驟這里所說的數(shù)學(xué)建模步驟只是大體上的規(guī)范，實際操作中應(yīng)針對問題具體分析，靈活運用。建立數(shù)學(xué)模型的一半步驟如下：（1） 模型準(zhǔn)備：對問題（事件或系統(tǒng)）進行觀察.想象其運動變化情況.掌握研究對象的各種信息（如數(shù)據(jù)、資料等）.用非形式語言（自然語言）進行描述。（2） 模型假設(shè)：分析處理數(shù)據(jù)、資料.確定現(xiàn)實原型的主要因素.拋棄次要的因素.對問題進行必要的簡化.用精確的語言找出必要的假設(shè).這是非常關(guān)鍵的一步。（3） 模型建立：根據(jù)主要因素及所作假設(shè).利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具描述有關(guān)變量和元素的關(guān)系.并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型（如方程、不等式、表格、圖形、函數(shù)、邏輯運算式、數(shù)值計算式等）。在建模時，數(shù)學(xué)工具的采用要根據(jù)實際問題的特征、建模的目的和要求以及建模者的數(shù)學(xué)特長而定。因此，采用的數(shù)學(xué)方法不同，建立的模型也可能不同，但應(yīng)遵循一條原則，及盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具，以使模型得到更廣泛的應(yīng)用。（4） 模型求解使用已知數(shù)據(jù)，觀測數(shù)據(jù)或者實際問題的有關(guān)背景知識對所建模型中的參數(shù)給出估計值。利用數(shù)學(xué)工具，對模型進行求解，包括解方程、圖解、邏輯推理、定理證明、性質(zhì)討論等，以找出數(shù)學(xué)上的結(jié)果。要求建模者掌握相關(guān)技巧和計算技術(shù)。（5） 模型分析：對模型求解的結(jié)果進行數(shù)學(xué)上的分析，有時需要根據(jù)問題的性質(zhì)分析各變量之間的依賴關(guān)系或性態(tài)，有時需要根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學(xué)式的預(yù)測和最優(yōu)決策、控制等。（6） 模型檢驗：把模型分析的結(jié)果返回到實際應(yīng)用中，用實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇院蛯嵱眯?，即驗證模型的正確性。通常，一個成功的模型不僅能夠解釋已知現(xiàn)象，而且還能預(yù)言一些未知現(xiàn)象。（7） 模型應(yīng)用：如果檢驗結(jié)果與實際不符或與部分不符，而且求解過程沒有錯誤，那么問題一般出在模型假設(shè)上，此時應(yīng)該修改或是補充假設(shè)。如果檢驗結(jié)果與實際相符，并滿足問題所需要的精度，則認(rèn)為模型可用，便可進行模型應(yīng)用。4數(shù)學(xué)模型介紹：4.1最優(yōu)化介紹線性模型例1（汽車租價問題）一個汽車租賃公司有150輛小汽車，每輛小汽車租價相等，最高租價為198元，最低租價為88元。經(jīng)過一段時間的經(jīng)營實踐，店長得到了一些數(shù)據(jù)：每輛小汽車租價為198元時，租車率為55%；每輛小汽車租價為168元時，租車率為65%；每輛小汽車租價為138元時，租車率為75%；每輛小汽車租價為108元時，租車率為85%.預(yù)使汽車租賃公司每天收入最高，每輛小汽車應(yīng)如何定價？分析與思考：據(jù)店長提供的數(shù)據(jù)，小汽車租價每下降30元，租車率即提高10個百分點。相當(dāng)于平均每下降1元，租車率提高1個百分點。因此，可假設(shè)隨著租車價格的下降，租車率呈線性增長。這樣，我們可通過建立函數(shù)模型來求解本題。設(shè)y表示汽車租賃公司一天的總收入，X表示與最高價198元相比每輛小汽車降低的租價可建立數(shù)學(xué)模型：Y=150x(198-x)X(0.55+丄x)300解得，當(dāng)x=16.5時，y取最大值16471.125元，即最大收入對應(yīng)的租車價格為181.5元。如果為了方便管理，租價為180元/(輛.天)月也是可以的，因為總收入y=16470元，與理論上的最高收入只差僅為1.125元。本題建模的關(guān)鍵在于：根據(jù)小汽車租費的降幅與租車率的升幅關(guān)系，假設(shè)兩者存在著線性關(guān)系。/4.2建立方程(方程組)模型例2(航行問題)甲乙兩地相距120km,船從甲到乙順?biāo)叫行?h，從乙到甲逆水航行需6h,問船速、水速各為多少？解：設(shè)x，y分別代表船速和水速，可以列方程{4(x+y)=120 解得{x=256(x+y)=120 y=5列出方程，原問題已經(jīng)轉(zhuǎn)化成純粹的數(shù)學(xué)問題。不等式模型例3(住房問題)一個星級旅館有30間客房，其中豪華房20間，標(biāo)準(zhǔn)房10間?，F(xiàn)將這30間房間分給A、B兩地的游客，其中20間分給A地的游客，10間分給B地的游客，兩地游客與旅館經(jīng)理商定每天價格如表1：表1每間豪華間價格每間標(biāo)準(zhǔn)間價格A地1000元/天800元/天B地900元/天600元/天設(shè)分給A地的標(biāo)準(zhǔn)間x間，旅館這30間房間共獲得y(元)，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；2)若要使旅館這30間房間一天所獲得的總金額不低于26800元，請說明有多少種分配方案，并將各種方案設(shè)計出來。解:(1)y=1000(20-x)+900x+800x+600(10-x)=26000+100x(0<x<10)由題意得：26000+100x^26800，又因為0<x<10，且x是整數(shù)，所以x取8,，9，10，故方案有3種：方案1：A地派甲型車12輛，乙型車8輛；B地派甲型車8輛，乙型車2輛；方案2:A地派甲型車11輛，乙型車9輛；B地派甲型車9輛，乙型車1輛；方案3:A地派甲型車10輛，乙型車10輛；B地派甲型車10輛。例4學(xué)校食堂定期從糧食店以每噸1500元的價格購買大米，每次購進大米需支付運輸費100元，食堂每天需用大米1噸，儲存大米的費用為每噸每天2元，假設(shè)食堂每天將在用完大米的當(dāng)天購買。（1） 該食堂每多少天購買一次大米可使平均每天支出的費用最少？（2） 糧食提出價格優(yōu)惠條件：一次購買量不少于20噸時，大米價格可享受九五折（即原價的95%），問食堂可否接受此優(yōu)惠條件？說明理由。解：（1）設(shè)每n天購進一次大米，則購米量為n噸，那么庫存費用為：2[n+（n-1）+ +2+1]=n（n+1），記平均每天總費用為，則『廣丄二山（n+1）+100]+1500=門凹+巧。^15211 1n n當(dāng)且僅當(dāng)n=^，即n=10時，等號成立，故應(yīng)每10天購買一次大米，可使平n均每天支出的費用最少。（3）顯然，若接受優(yōu)惠條件，則至少每20天訂購一次，即每m天購一次時,有m>20，記此時每天總費用為y2，那么y2_[m（m+1）+100]+1500X0.95=m+100+1426（m>20）2— m因為y2_1-型，當(dāng)m>20,時，有y2>0，2 m2 2所以函數(shù)是增函數(shù)，故當(dāng)m=20時，y2最小值1451,因為1451<1521，所以接受優(yōu)惠價格條件。揭示：函數(shù)與不等式往往是形影相隨的伙伴，有時巧用不等式性質(zhì)去解決問題能起到事半功倍的作用，幫助我們速達目的。4.2金融與經(jīng)濟現(xiàn)在經(jīng)濟生活中，人與金融的關(guān)系日益密切。金融的題目注重了針對性，典型性，新穎性，生活性和全面性，因而對數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求也在力求。涉及金融與經(jīng)濟的建模題常見的有投資問題，證券問題，住房問題，分期付款問題等。一般就是通過數(shù)學(xué)建模把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)換成初等數(shù)學(xué)中的常見只是來解決，如數(shù)列問題，冪函數(shù)問題，不等式問題等。例1（購房問題，小張年初向某銀行貸款20萬元用來購房，已知貸款年利率優(yōu)惠10%，按復(fù)利計算。若這筆貸款要求分10次等額歸還，每年一次，并從借款后次年年初開始歸還，問每年應(yīng)還多少元（精確1元，？分析與思考：已知貸款數(shù)額、貸款利率、歸還年限，要求出每年的歸還額。本題即可化為求每年的歸還額與貸款數(shù)額、貸款利率、歸還年限的關(guān)系。不妨先把這個問題作一般化處理。設(shè)某人向銀行貸款元M0,年利率為a,按復(fù)利計算(即本年的利息記入次年的本金生息)，并從借款后次年年初開始每次k元等額歸還，第n次全部還清。那么，一年后欠款數(shù)M1=(1+a)M°-k兩年后欠款數(shù)M2=(1+a)M1-k=(1+a)2M0-k[(1+a)+1n年后欠款數(shù)Mn=(1+a)Mn-1-k=(1+a)M0一K[(1+a)2-1]由M=0可得k=a(1+a)_+M0n (1+a)n-1這就是每年歸還額與貸款數(shù)額、貸款利率