尺規(guī)作圖五點定橢圓的方法

_尺規(guī)作圖五點定橢圓的方法徐文平（東南大學南京210096）摘要：已知橢圓上五點，通過確定橢圓圓心、橢圓主軸方向和橢圓長軸短軸位置等三個步驟，尺規(guī)作圖完成橢圓作圖。謝謝閱讀橢圓在開普勒行星運行三定律中扮演了重要角色，在機械制圖和土木工程領域中也有重精品文檔放心下載要運用。利用幾何畫板和cad軟件，依據任意五個點的橢圓尺規(guī)作圖，具有重要意義。感謝閱讀一、引言在幾何畫板和cad軟件中，任意五個點作橢圓，具有意義。五點定橢圓在衛(wèi)星軌道，謝謝閱讀機械制圖和土木工程中是有重要用途。第一步，通過五點尋找橢圓圓心第二步，確定橢圓坐標x、y主軸方向第三步、確定橢圓的長軸a和短軸b1）大狗熊定理1：二次圓錐曲線內接四邊形的對邊延伸線兩交點調和分割對角線兩極精品文檔放心下載點。如圖1，橢圓內接四邊形KLMN，對邊線KN與LM交于A，對邊線KL與NM交于B，對感謝閱讀角線KM的極點為C，對角線LN的極點為D，KM與LN交于Q點，則A、B、C、D四精品文檔放心下載點共線，且AB調和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。雙曲線和拋物線也具有同樣性質。感謝閱讀_2）命題1：已知橢圓的斜向割線AB，作一條過橢圓圓心O點的任意割線JK，JA、精品文檔放心下載BK交于E點，JB、AK交于F點，確定EF的中點N點，連線NA、NB就是橢圓的切線。精品文檔放心下載證明：由于割線JK的切線交點極點在無窮遠，利用定理1，可以快速證明這個命題。精品文檔放心下載定理2：圓錐曲線的內接完全四點形的對邊三點形是圓錐曲線的自配極三點形。感謝閱讀命題3（高斯定理）：已知橢圓外一點P，過P點作PAB與PCD二條任意橢圓割線，精品文檔放心下載AD、CB交于Q點，AC、BD延長交于R，連線QR與橢圓交于S、T兩點，PS、PT就是精品文檔放心下載橢圓的切線。_圖 3二、通過五點尋找橢圓圓心原理：通過已知五點，作橢圓切線，獲得割線的極點，將割線的極點和割線中點連接并感謝閱讀延伸，必定通過橢圓的圓心。4問題1：只有五點，沒有坐標軸和原點，橢圓斜的，割線PQ的切線極點如何辦？精品文檔放心下載切線方法：帕斯卡定理（五點+一個切點二次）做切線，或者如圖5方法作切線。感謝閱讀5命題4：已知橢圓上P、H、G、Q、A五點，利用橢圓內接四邊形PQGH確定對角線謝謝閱讀PQ和GH交叉點T，可繪制極點T的極線EF，利用橢圓內接四邊形PQAB(H)確定對角線感謝閱讀PQ和AB(H)交叉S點（利用帕斯卡定理，新構造橢圓第六點B點，替換H點），繪制極點感謝閱讀S的極線MN，極線MN和極線EF交于C點，C點即為PQ割線的極點。感謝閱讀_證明：依據極點極線的對偶定理，由于S、T為PQ極線上的二點，可可知S、T極點精品文檔放心下載的極線MN和極線EF相交于C點就是PQ的極點，連線PC、QC就是橢圓的切線。感謝閱讀（該方法也適合于雙曲線和拋物線的情況）問題2：橢圓上五點有時候似乎不夠啊，如何構造橢圓上的臨時第六點啊。謝謝閱讀命題5：運用帕斯卡原理，通過橢圓上五點，可以增加橢圓上一點。精品文檔放心下載Pascal’s定理為通過五點作圓錐曲線提供了一種優(yōu)美的解決方案。設已給1,2,3,4,5精品文檔放心下載五點，其中任意三點不在同一直線上（特例將在后面討論），但五點的平面位置為任意。我謝謝閱讀們將這五點依次相連，并設線段12與45的交點為L。謝謝閱讀為了構作圓錐曲線上的任意一點，如點6，我們通過點1任意作一直線a，設a與線段精品文檔放心下載34交于點N，再通過L和N作直線b，設b與a交于M，圖74-3；再通過5和M作直謝謝閱讀線c，則c與a的交點就是期望的第六點6_命題6：利用侯明輝三割線定理加上阿波羅尼斯圓的調和分割性質，構造更多橢圓點。精品文檔放心下載在尺規(guī)作圖五點定橢圓中，已知橢圓上五點（不知道橢圓曲線，不知道橢圓圓心，也不感謝閱讀知道橢圓的xy坐標主軸情況下），需要構造其他的橢圓點。謝謝閱讀即A、B、C三點已經知道（還有其他二點知道），采用其他辦法作出AB割線的極點N，感謝閱讀利用侯明輝三割線定理以及調和分割性質確定新的橢圓點E點精品文檔放心下載方法：連接CN線段交AB線段于M點，取線段MN中點J為圓心，畫圓直徑為MN，感謝閱讀過C點作MN的垂直線交圓于F點，過F點作切線（或者是作垂直JF的線段EF），交MN謝謝閱讀于E點，則構成調和分割的第四點。本例子是構成了橢圓上的新點用途。感謝閱讀7工程應用實例：（是用5點定圓心的，沒有構造第六點方法）精品文檔放心下載_圖 8三、確定橢圓坐標主軸方向目標：通過已知的橢圓圓心和橢圓上三點，尋找橢圓坐標主軸方向。感謝閱讀圖 9原理：利用橢圓圓心，構造二條共軛直徑，然后確定橢圓坐標主軸方向謝謝閱讀方法：利用橢圓圓心，首先構造一條共軛直徑，作圖共軛直徑端點的切線方向（確定另感謝閱讀外一條共軛直徑的方向），作平行線通過構筑一條橢圓共軛弦，采用仿射幾何方法轉換為二精品文檔放心下載條共軛直徑。作AB割線的切線極點N_10作AF共軛直徑(連接OA)，作CL共軛弦(平行AN)精品文檔放心下載11仿射幾何構筑OE共軛半徑12方法：作直徑為AF的圓，過N點作MN垂直AF，作三角形ΔMNL.謝謝閱讀作KO垂直AF，過K點作MLDE平行線，KE和OE延伸交于E點。精品文檔放心下載_依據仿射原理，可知，OE為橢圓的共軛半徑。構筑橢圓坐標主軸方向13方法：繞橢圓圓心O點，OE旋轉90度，獲得N點，謝謝閱讀連接NA連線，獲得NA中點KK點為圓心，作任意半徑的圓，與KO交于W點，與NA交于H、G點。.感謝閱讀則WC為長軸方向，HW為短軸方向，完成橢圓坐標主軸方向確定。精品文檔放心下載證明：分析OK線段的斜率與NA線段的斜率的關系感謝閱讀（1）共軛直徑的性質_14ab如果，點Ax，y，橢圓共軛直徑推理，則有，Cx，y11b1a1對于點C分析，則有：cossin，sincos2121（2）共軛直徑的橢心角為90°簡單分析可以得到，∠C1OA1＝90°15（3）共軛半徑旋轉90°16分析可以得知：Aacos，bsin1，Cacos，bsin，122C點繞原點旋轉90°，則：，Nbsin，acos22（4）圖形分析研究_17問題1：延伸連線NK，與坐標軸交于U、V兩點。要構筑橢圓坐標主軸方向的方法成精品文檔放心下載立，只需證明θ1∠VOA1＝∠VOK=∠OVU=θ1，即證明ΔOKV和ΔONU是等腰三角形，命感謝閱讀題就成立。現在，∠VOK=θ1已經成立Aacos，bsin，Nasin，bcos精品文檔放心下載1 1 2 2由于：cossin，sincos2121則：Nbsin，acos坐標，可以化為Nbcos，asin2211分析NA線段的斜率：tan()yyasinbsin2111tan()3xxbcosacos1121則：，等腰三角形圖形成立，命題成立。31問題2：K點為OA1與NA線段的交點，是不是位于NA線段的中點啊。精品文檔放心下載_假如K為NA線段的中點，分析K、A1、O三點共線，就ok謝謝閱讀ababK點坐標，Acos，sin1212對于OK線段分析斜率：tan()yytan()，斜率相同，命題成立。21xx121四、確定橢圓長軸a和短軸b目標：已知橢圓心和坐標軸、已知橢圓上二點，確定橢圓長軸a和短軸b謝謝閱讀原理：運用極點和極線關系，構造自配極三角形，確定橢圓長軸和短軸位置。感謝閱讀方法：利用橢圓上二點構造軸對稱二點，構成橢圓內接四邊形，連接對角線，獲得交叉感謝閱讀點和對邊交叉點，運用二個極點的數學關系，完成長軸和短軸位置。感謝閱讀1）構造自配極三角形，尋找二個對偶極點18E點為B點的軸對稱點，N點為x軸與AE的交叉點謝謝閱讀令 OEl ，OQc極點極線關系方程分析得知： la2c（類似橢圓準線方程）2）確定長軸a位置連線QN，K為QN中點，以K圓心半徑為KN畫圓，過O點作圓K的切線E，以精品文檔放心下載_OE為半徑原點O為圓心作一個圓，與x軸交于F點，F點即為長軸a謝謝閱讀193）確定長軸b位置利用切線方法，構造割線AB的極點N點，過N點作水平線交y軸于G點，延伸割精品文檔放心下載線AB與y軸交于P點，連線PG，K為PG中點，以K圓心半徑為KP畫圓，過O點作圓感謝閱讀K的切線R，以OR為半徑原點O為圓心作一個圓，與y軸交于U點，U點即為短軸b感謝