模型18奔馳模型

模型介紹模型介紹因?yàn)橄癖捡Y車標(biāo)，所以叫奔馳模型.R【結(jié)論】如圖,等邊△ABC，PA=3，PB=4，PC=5，則①∠APB=150o，②S△ABC＝34AB2＝R關(guān)鍵：旋轉(zhuǎn)可以讓線段動起來各種旋法：R超酷炫又實(shí)用：S=34a

例題例題精講【例1】．如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，BD＝1，DC＝2，AD＝，則∠ADB＝150°．解：將△BCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABD'，∴BD＝BD'，AD'＝CD，∴∠DBD'＝60°，∴△BDD'是等邊三角形，∴∠BDD'＝60°，∵BD＝1，DC＝2，AD＝，∴DD'＝1，AD'＝2，在△ADD'中，AD'2＝AD2+DD'2，∴∠ADD'＝90°，∴∠ADB＝60°+90°＝150°，故答案為150．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，則∠ADC的度數(shù)是（）A．40° B．45° C．105° D．55°解：連接DE，由旋轉(zhuǎn)可知，△ACE≌△ABD，∴AE＝AD＝3，CE＝BD＝3，CD＝，∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠CAE+∠DAC＝60°，即∠DAE＝60°，∴△DAE是等邊三角形，∴DE＝AD＝3，∵32+32＝（3）2，∴DE2+CE2＝CD2，∴△DEC是直角三角形，且∠DEC＝90°，∴DE＝CE，∠EDC＝45°，∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝105°，故選：C．【變式1-2】．如圖，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，分別連接AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．則S△ABP+S△BPC＝24+16．解：如圖，將△BPC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得△AP'B，連接PP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，∴△BPP′為等邊三角形，∴BP′＝BP＝8＝PP'；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AP′＝PC＝10，在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，∴S△ABP+S△BPC＝S四邊形AP'BP＝S△BP'P+S△AP'P＝BP2+×PP'×AP＝24+16故答案為：24+16【變式1-3】．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝1，PB＝PD＝，則∠APB的度數(shù)為105°．解：如圖，將△APB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，連接EP，∴△APB≌△AED，∴AE＝AP＝1，PB＝DE＝，∠PAE＝90°，∠AED＝∠APB，∴PE＝AE＝，∠AEP＝∠APE＝45°，∴DE＝DP＝PE＝，∴△DEP是等邊三角形，∴∠DEP＝60°，∴∠AED＝105°＝∠APB，故答案為：105°．1．如圖，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA＝2，OB＝1，OC＝，則△AOB與△BOC的面積之和為（）A． B． C． D．解：將△AOB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CDB，連接OD，∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，∴△BOD是等邊三角形，∴OD＝OB＝1，∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，∴OD2+OC2＝CD2，∴∠DOC＝90°，∴△AOB與△BOC的面積之和為S△BOC+S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，故選：C．2．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，則四邊形APBQ的面積為（）A．24+9 B．48+9 C．24+18 D．48+18解：連接PQ，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵線段AP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°，∴△APQ為等邊三角形，∴PQ＝AP＝6，∵∠PAQ﹣∠PAB＝∠CAB﹣∠PAB，∴∠CAP＝∠BAQ，在△APC和△AQB中，∴△APC≌△AQB（SAS），∴CP＝BQ＝10，在△BPQ中，∵PQ＝6，BP＝8，BQ＝10，而62+82＝102，∴PQ2+PB2＝BQ2，∴△BPQ為直角三角形，∠BPQ＝90°，∴四邊形APBQ的面積＝S△BPQ+S△APQ＝×6×8+×62＝24+9．故選：A．3.如圖，O是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，有下列結(jié)論∶①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到;②點(diǎn)O與O′的距離為4;③∠AOB=150°;④S四邊形AOBO′＝6＋33;⑤S?AOC＋S其中正確的結(jié)論是（)A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③解：如圖，連接OO′.①由奔馳模型推導(dǎo)過程可知∠OBO′=60°，△BOC≌△BO′A，∠②AOB=150°，△BOO′為等邊三角形，所以O(shè)O′=OB=4，故①②③正確.S四邊形AOBO′＝S?AOO′＋S?OBO′＝12如圖，將△AOB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)O".易知△AOO〞是邊長為3的等邊三角形，△COO〞是直角三角形，則S?AOC＋S?AOB＝S＝12×3×4＋34×32=6+94.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，對角線AC平分∠BAD，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC.若PA=6，PB=8，PC=10，則菱形ABCD的面積等于.解：過A點(diǎn)作AH⊥BP，交BP的延長線于H，由奔馳模型可知∠APB=150°，∴∠APH=30°，AH＝12PA＝3,PH＝33,∴BH=8＋33,∴AB2＝AH2＋BH2＝100＋483,S菱形ABCD＝2S?ABC＝2×34×AB25．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若，，PC＝1，則∠BPC＝135°．解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝BC，把△BAP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCE，連接PE，如圖，∴BP＝BE＝，CE＝AP＝，∠PBE＝90°，∴△PBE為等腰直角三角形，∴∠BPE＝45°，PE＝PB＝×＝2，在△PCE中，∵PC＝1，PE＝2，CE＝，∴PC2+PE2＝CE2，∴△PCE為直角三角形，∠CPE＝90°，∴∠BPC＝∠BPE+∠CPE＝45°+90°＝135°．故答案為：135°．6．已知P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若PA＝3，PB＝5，PC＝4，則△ABC的面積＝．解：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，把△APC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°可得到△ABD，如圖，∴AD＝AP＝3，BD＝PC＝4，∠DAP＝60°，∠ADB＝∠APC，∴△ADP為等邊三角形，∴DP＝AP＝3，∠ADP＝60°，在△BDP中，∵DP＝3，DB＝4，BP＝5，而32+42＝52，∴DP2+DB2＝BP2，∴△BDP為直角三角形，∠BDP＝90°，∴∠ADB＝∠ADP+∠BDP＝60°+90°＝150°，∴∠APC＝150°；作BE⊥AD于E，如圖∵∠ADB＝150°，∴∠BDE＝30°，在Rt△BDE中，BE＝BD＝2，DE＝BE＝2，∴AE＝AD+DE＝3+2，在Rt△ABE中，AB＝＝＝，∴S△ABC＝×（）2＝，故答案為：．7．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，則四邊形APBQ的面積為24+9．解：連接PQ，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵線段AP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，∴AP＝PQ＝6，∠PAQ＝60°，∴△APQ為等邊三角形，∴PQ＝AP＝6，∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°，∴∠CAP＝∠BAQ，在△APC和△ABQ中，，∴△APC≌△ABQ，∴PC＝QB＝10，在△BPQ中，∵PB2＝82＝64，PQ2＝62，BQ2＝102，而64+36＝100，∴PB2+PQ2＝BQ2，∴△PBQ為直角三角形，∠BPQ＝90°，∴S四邊形APBQ＝S△BPQ+S△APQ＝×6×8+×62＝24+9．故答案為24+9．8．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結(jié)論中正確有（填序號）①△BPQ是等邊三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150°④∠APC＝120°解：①∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPQ是等邊三角形，所以①正確；②PQ＝PB＝4，PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，∴PQ2+QC2＝PC2，∴∠PQC＝90°，∴△PCQ是直角三角形，所以②正確；③∵△BPQ是等邊三角形，∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，所以③正確；④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以④錯誤．所以正確的有①②③．9．如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若將△PAC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB．（1）求點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離；（2）求∠APB的度數(shù)．解：（1）連接PP′，由題意可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，而∠PAC+∠BAP＝60°，所以∠PAP′＝60度．故△APP′為等邊三角形，所以PP′＝AP＝AP′＝6；（2）利用勾股定理的逆定理可知：PP′2+BP2＝BP′2，所以△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°可求∠APB＝90°+60°＝150°．10．下面是一道例題及其解答過程，請補(bǔ)充完整．（1）如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．解：將△APC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B，連接PP′，則△APP′為等邊三角形．∵PP′＝PA＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5，∴P′P2+PB2＝P′B2．∴△BPP′為三角形．∴∠APB的度數(shù)為．（2）類比延伸如圖2，在正方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，若∠APD＝135°，試判斷線段PA、PB、PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．解：（1）如圖1，將△APC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B，連接PP′，則△APP′為等邊三角形．∵PP′＝PA＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5，∴P′P2+PB2＝P′B2．∴△BPP′為直角三角形．∴∠APB的度數(shù)為90°+60°＝150°．故答案為：直角；150°；（2）2PA2+PD2＝PB2．理由如下：如圖2，把△ADP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABP′，連接PP′．則P′B＝PD，P′A＝PA，∠PAP′＝90°，∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′2＝PA2+P′A2＝2PA2，∠PP′A＝45°，∵∠APD＝135°，∴∠AP′B＝∠APD＝135°，∴∠PP′B＝135°﹣45°＝90°，在Rt△PP′B中，由勾股定理得，PP′2+P′B2＝PB2，∴2PA2+PD2＝PB2．11．【方法呈現(xiàn)】：（1）已知，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連PA、PB、PC．將△PAB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置（如圖1），設(shè)AB的長為a，PB的長為b（b＜a），求△PAB旋轉(zhuǎn)到△P′CB的過程中邊PA所掃過區(qū)域（圖1中陰影部分）的面積；【實(shí)際運(yùn)用】：（2）如圖2，點(diǎn)P是等腰Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AB＝BC，連接PA，PB，PC．若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大??；【拓展延伸】：（3）如圖3，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PB＝4，PC＝5，則△APC的面積是（直接填答案）解：（1）∵將△PAB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置，∴△PAB≌△P'CB，∴S△PAB＝S△P'CB，S陰影＝S扇形BAC﹣S扇形BPP′=π4（a2﹣b（2）如圖2，連接PP′．∵將△PAB繞B點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°，與△P′CB重合，∴△PAB≌△P′CB，∠PBP′＝90°，∴BP＝BP′，∠APB＝∠CP′B，AP＝CP′＝2，∴△PBP′是等腰直角三角形，∴PP′=2PB＝42，∠BP′P在△CPP′中，∵PP′＝42，CP′＝2，PC＝6，∴PP′2+CP′2＝PC2，∴△CP′P是直角三角形，∠CP′P＝90°，∴∠CP′B＝∠BP′P+∠CP′P＝45°+90°＝135°；（3）如圖3①，將△PAB繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△P1AC，連接PP1，∴△APB≌△AP1C，∴AP＝AP1，∠PAP1＝60°，CP1＝BP＝4，∴△PAP1是等邊三角形，∴PP1＝AP＝3，∵CP＝5，CP1＝4，PP1＝3，∴PP12+CP12＝CP2，∴△CP1P是直角三角形，∠CP1P＝90°，∴S△APP1=12×3×332=9∴S四邊形APCP1＝S△APP1+S△PP1C=9∵△APB≌△AP1C，∴S△ABP+S△APC＝S四邊形APCP1=9如圖3②，同理可求：△ABP和△BPC的面積的和=12×4×△APC和△BPC的面積的和=12×5×∴△ABC的面積=12（934+6+43∴△APC的面積＝△ABC的面積﹣△APB與△BPC的面積的和＝（2534+9）﹣（43+6）

12．（1）如圖1，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．分析：要直接求∠APB的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個三角形內(nèi)．解：如圖2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°∵△ABC是等邊三角形∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝∠CAD∴△ABP≌△ACD∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2∴∠PDC＝90°∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°（2）如圖3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度數(shù)．（3）拓展應(yīng)用．如圖（4），△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，則PA+PB+PC的最小值為．解：（1）如圖2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°∵△ABC是等邊三角形∴AC＝AB，∠BAC＝60°，∴∠BAP＝∠CAD，∴△ABP≌△ACD（SAS）∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2∴∠PDC＝90°∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°故答案為：PD，∠CAD，∠APB，90．（2）解：∵∠ABC＝90°，BC＝AB，∴把△PBC繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBA，如圖，∴AD＝PC＝3，BD＝BP＝2，∵∠PBD＝90°∴DP＝PB＝2，∠DPB＝45°，在△APD中，AD＝3，PD＝2，PA＝1，∵12+（2）2＝32，∴AP2+PD2＝BD2，∴△APD為直角三角形，∴∠APD＝90°，∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝90°+45°＝135°．（3）解：如圖4中，將△ABP繞著點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBE，連接EP，CD，∴△ABP≌△DBE∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，∴△BPE是等邊三角形∴EP＝BP∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE∴當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)P，點(diǎn)C共線時，PA+PB+PC有最小值CD∵∠ABC＝30°＝∠ABP+∠PBC∴∠DBE+∠PBC＝30°∴∠DBC＝90°∴CD＝＝＝，故答案為．13．（原題初探）（1）小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖1，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，PC現(xiàn)將△PAB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△P′CB，連接PP′．若PA=2，PB＝3，∠APB＝135°，則PC的長為，正方形ABCD的邊長為（變式猜想）（2）如圖2，若點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，請猜想∠APB的度數(shù)，并說明理由．（拓展應(yīng)用）（3）聰明的小明經(jīng)過上述兩小題的訓(xùn)練后，善于反思的他又提出了如下的問題：如圖3，在四邊形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，則BD的長度為．解：（1）∵△PAB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△P′CB，∴BP＝BP′＝3，P′C＝PA=2，∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠APB∴△BPP′為等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′=2PB＝32∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°，在Rt△PP′C中，由勾股定理得：PC=PP′2過點(diǎn)A作AE⊥BP交BP的延長線于E，如圖1所示：∵∠APB＝135°，∴∠APE＝180°﹣135°＝45°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴AE＝PE=22PA=22×2=在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB=A故答案為：25，17；（2）∠APB的度數(shù)為150°，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，將△BPC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP′A，連接PP′，如圖2所示：則△BPP′是等邊三角形，∴PP′＝BP＝4，∠BPP′＝60°，∵AP＝3，AP′＝PC＝5，∴P'P2+AP2＝AP'2，∴△APP′為直角三角形，∴∠APP′＝90°，∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝90°+60°＝150°；（3）∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，∴△BAC是等