測量不確定度及其估算

§3測量不確定度及其估算3.1不確定度的基本概念由于測量不可避免存在誤差，所以用測量結(jié)果作為被測量真值的估計值自然要有偏差測量不確定度就是對測量結(jié)果的偏差做全面的評估。不確定度是指由于測量誤差的存在而對被測量值不能肯定的程度，是表征被測量的真值所處的量值范圍的評定。測量結(jié)果應給出被測量的量值X，同時還要標出測量的總不確定度U,寫成x=X土U的形式，這表示被測量的真值在（X-U,X+U）的范圍之外的可能性（或概率）很小。顯然，測量不確定度的范圍越窄，測量結(jié)果就越可靠。引入不確定度概念后，測量結(jié)果的完整表達式中應包含：測量值和不確定度；單位；③置信度。我國的《國家計量規(guī)范JJG1027-91測量誤差及數(shù)據(jù)處理》中把P=0.95作為廣泛采用的約定概率，當取P=0.95時，可不必注明。與誤差表示方法一樣，引入相對不確定度E，即不確定度的相對值xUE=嚴x100% （1-3-1）xX3.2不確定度的簡化估算方法不確定度是由誤差引起的，由于誤差的復雜性，準確計算不確定度不是一件簡單的事情，已經(jīng)超出了本課程的范圍。因此物理實驗中采用具有一定近似性的不確定度估算方法。不確定度按其數(shù)值的評定方法可歸并為兩類分量：一是多次測量用統(tǒng)計方法評定的A類分量UA；二是用其它非統(tǒng)計方法評定的B類分量UB?？偛淮_定度由A類分量和B類分量按“方、和、根”的方法合成，即(1-3-2)A類分量的估算在實際測量中，一般只能進行有限次測量，這時測量誤差不完全服從正態(tài)分布規(guī)律而是服從稱之為t分布（又稱學生分布）的規(guī)律。在這種情況下，對測量誤差的估計，就要在貝塞爾公式（1-2-10）的基礎(chǔ)上再乘上一個因子。在相同條件下對同一被測量作n次測量，若S-乘以一因子只計算總不確定度U的A類分量US-乘以一因子\(n-1)/弋n，即

t(nt(n-1)sx<n(1-3-3)式中tp(n-1)是與測量次數(shù)n、置信概率P有關(guān)的量，置信概率P及測量次數(shù)n確定后，t(n-1)也就確定了，可從專門的數(shù)據(jù)表中查得。在P=0.95時，t(n-1)/石的部分數(shù)PP據(jù)可以從下表中查得。測量次數(shù)n2345678910t(n—1)bJn P— 18.982.481.591.241.050.930.840.770.72物理實驗中測量次數(shù)n一般不大于10，從該表中可以看出，當n=6~8時，因子t(n-1)/爲近似取為1,誤差并不很大。這時式(21)可簡化為PU二S (1-3-4)Ax有關(guān)的計算還表明，在n=6~8時，作U=S近似，置信概率近似為0.95或更大。A x即當6<n<8時，取U=S已足以保證被測量的真值落在X土S范圍內(nèi)的概率接近或大A x x于0.95。所以我們可以直接把S的值當作測量結(jié)果的總不確定度的A類分量U。當然，xA測量次數(shù)n不在上述范圍或要求誤差估計比較精確時，要從有關(guān)數(shù)據(jù)表中查出相應的因子t(n—1)/\：n的值。PB類分量的簡化估算作為基礎(chǔ)訓練，在物理實驗中一般只考慮儀器誤差所帶來的總不確定度的B類分量。測量是用儀器或量具進行的，任何儀器都存在誤差。儀器誤差一般是指誤差限，即在正確使用儀器的條件下，測量結(jié)果與真值之間可能產(chǎn)生的最大誤差，用A儀表示。儀器誤差產(chǎn)生的原因和具體誤差分量的分析計算已超出了本課程的要求范圍。我儀門約定，大多數(shù)情況下簡單地把儀器誤差A直接當作總不確定度中用非統(tǒng)計方法估計的B類分量U，即儀 BU=A (1-3-5)B儀物理實驗中幾種常用儀器的儀器誤差見下表。儀器名稱量 程分度值(準確度等級)儀器誤差鋼直尺0?300mm1mm±0.1mm鋼卷尺0?1000mm1mm±0.5mm游標卡尺0?300mm0.02,0.05,0.1mm分度值螺旋測微計(一級)0?100mm0.01mm±0.004mmTW-1物理天平1000g100mg±50mgWL-1物理天平1000g50mg±50mgTG928A礦山天平200g10mg±5mg水銀溫度計—30~300°C0.2,0.1°C分度值

讀數(shù)顯微鏡0.01mm±0.004mm數(shù)字式測量儀器最未一位的一個單位或按儀器說明了估算指針式電表a=0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0土量程xa%3．總不確定度的合成確由式(1-3-2)、(1-3-3)和(1-3-5)知，總不確定度為(1-3-6(1-3-6)當取置信概率P=0.95，測量次數(shù)n=6~8時(1-3-7)U二十(1-3-7)式(1-3-7)是物理實驗中常用的不確定度估算公式，希望大家能記住。如果因為Sx<3A儀，或因估算出的^對實驗的最后結(jié)果影響甚小，或因條件限制而只進行單次測量，這時的不確定度估算只能根據(jù)儀器誤差、測量方法、實驗條件以及操作者技術(shù)水平等實際情況，進行合理估計，不能一概而論。在一般情況下，簡化的做法是采用儀器誤差或其數(shù)倍的大小作為單次直接測量的不確定度的估計值。當實驗中只要求測量一次時，取U=A并不意味著只測一次比多次測量時U的值小，只說明A和用儀儀JU2+A2估算出的結(jié)果相差不大。\A儀例1】用螺旋測微計測量某一銅環(huán)的厚度七次，測量數(shù)據(jù)如下：i1234567H.(mm) p 19.5159.5149.5189.5169.5159.5139.517求H的算術(shù)平均值、標準偏差和不確定度，寫出測量結(jié)果?！窘狻縃=-￡H=1(9.515+9.514+…+9.517)=9.515(mm)7i7i=1SH=0.0018(mm)SH=0.0018(mm)U=、,S2+A2=\0.00182+0.0042=0.005mmH H 儀H=9.515土0.005mm計算結(jié)果表明，H的真值以95%的置信概率落在［9.510mm,9.520mm］區(qū)間內(nèi)。3.3間接測量的不確定度對于間接測量N=f(x,y,z…)，設(shè)各直接測量結(jié)果為x=X土U，y=y土U，x yz=z土U，…，則間接測量的結(jié)果N=f(X,y,Z…)，不確定度U可套用標準誤差傳遞zN公式進行估算，即(1-3-8(1-3-8)U2+ z如果我們先對間接測量量N=f(x,y,z…)函數(shù)式兩邊取自然對數(shù)，再求全微分可得到計算相對不確定度的公式如下(1-3-9)(1-3-9)(ax丿(a(ax丿當間接測量所依據(jù)的數(shù)學公式較為復雜時，計算不確定度的過程也較為繁瑣。如果函數(shù)形式主要以和差形式出現(xiàn)時，一般采用式(1-3-8)；而函數(shù)形式主要以積、商或乘方、開方等形式出現(xiàn)時，用式(1-3-9)會使計算過程較為簡便?！纠?】已知某銅環(huán)的外徑D=2.995土0.006cm，內(nèi)徑d=0.997土0.003cm，高度H=0.9516土0.0005cm，試求該銅環(huán)的體積及其不確定度，并寫出測量結(jié)果表達式。兀 31416【解】V=—(D2-d2)H= (2.9952-0.9972)x0.9516=5.961cm344兀lnV=ln—+ln(D2一d2)+lnHalnV_2D alnV_ 2d alnV_1—,—,—aD d2一d2 ad d2一d2 aH h(一 2d(一 2d(D2-d2丿U2『2x『2x2.995x0.006、2嘰2.9952-0.9972丿(2x0.997x0.003、2+ (2.99