測(cè)量不確定度及其估算

§3測(cè)量不確定度及其估算3.1不確定度的基本概念由于測(cè)量不可避免存在誤差，所以用測(cè)量結(jié)果作為被測(cè)量真值的估計(jì)值自然要有偏差測(cè)量不確定度就是對(duì)測(cè)量結(jié)果的偏差做全面的評(píng)估。不確定度是指由于測(cè)量誤差的存在而對(duì)被測(cè)量值不能肯定的程度，是表征被測(cè)量的真值所處的量值范圍的評(píng)定。測(cè)量結(jié)果應(yīng)給出被測(cè)量的量值X，同時(shí)還要標(biāo)出測(cè)量的總不確定度U,寫成x=X土U的形式，這表示被測(cè)量的真值在（X-U,X+U）的范圍之外的可能性（或概率）很小。顯然，測(cè)量不確定度的范圍越窄，測(cè)量結(jié)果就越可靠。引入不確定度概念后，測(cè)量結(jié)果的完整表達(dá)式中應(yīng)包含：測(cè)量值和不確定度；單位；③置信度。我國(guó)的《國(guó)家計(jì)量規(guī)范JJG1027-91測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理》中把P=0.95作為廣泛采用的約定概率，當(dāng)取P=0.95時(shí)，可不必注明。與誤差表示方法一樣，引入相對(duì)不確定度E，即不確定度的相對(duì)值xUE=嚴(yán)x100% （1-3-1）xX3.2不確定度的簡(jiǎn)化估算方法不確定度是由誤差引起的，由于誤差的復(fù)雜性，準(zhǔn)確計(jì)算不確定度不是一件簡(jiǎn)單的事情，已經(jīng)超出了本課程的范圍。因此物理實(shí)驗(yàn)中采用具有一定近似性的不確定度估算方法。不確定度按其數(shù)值的評(píng)定方法可歸并為兩類分量：一是多次測(cè)量用統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定的A類分量UA；二是用其它非統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定的B類分量UB?？偛淮_定度由A類分量和B類分量按“方、和、根”的方法合成，即(1-3-2)A類分量的估算在實(shí)際測(cè)量中，一般只能進(jìn)行有限次測(cè)量，這時(shí)測(cè)量誤差不完全服從正態(tài)分布規(guī)律而是服從稱之為t分布（又稱學(xué)生分布）的規(guī)律。在這種情況下，對(duì)測(cè)量誤差的估計(jì)，就要在貝塞爾公式（1-2-10）的基礎(chǔ)上再乘上一個(gè)因子。在相同條件下對(duì)同一被測(cè)量作n次測(cè)量，若S-乘以一因子只計(jì)算總不確定度U的A類分量US-乘以一因子\(n-1)/弋n，即

t(nt(n-1)sx<n(1-3-3)式中tp(n-1)是與測(cè)量次數(shù)n、置信概率P有關(guān)的量，置信概率P及測(cè)量次數(shù)n確定后，t(n-1)也就確定了，可從專門的數(shù)據(jù)表中查得。在P=0.95時(shí)，t(n-1)/石的部分?jǐn)?shù)PP據(jù)可以從下表中查得。測(cè)量次數(shù)n2345678910t(n—1)bJn P— 18.982.481.591.241.050.930.840.770.72物理實(shí)驗(yàn)中測(cè)量次數(shù)n一般不大于10，從該表中可以看出，當(dāng)n=6~8時(shí)，因子t(n-1)/爲(wèi)近似取為1,誤差并不很大。這時(shí)式(21)可簡(jiǎn)化為PU二S (1-3-4)Ax有關(guān)的計(jì)算還表明，在n=6~8時(shí)，作U=S近似，置信概率近似為0.95或更大。A x即當(dāng)6<n<8時(shí)，取U=S已足以保證被測(cè)量的真值落在X土S范圍內(nèi)的概率接近或大A x x于0.95。所以我們可以直接把S的值當(dāng)作測(cè)量結(jié)果的總不確定度的A類分量U。當(dāng)然，xA測(cè)量次數(shù)n不在上述范圍或要求誤差估計(jì)比較精確時(shí)，要從有關(guān)數(shù)據(jù)表中查出相應(yīng)的因子t(n—1)/\：n的值。PB類分量的簡(jiǎn)化估算作為基礎(chǔ)訓(xùn)練，在物理實(shí)驗(yàn)中一般只考慮儀器誤差所帶來的總不確定度的B類分量。測(cè)量是用儀器或量具進(jìn)行的，任何儀器都存在誤差。儀器誤差一般是指誤差限，即在正確使用儀器的條件下，測(cè)量結(jié)果與真值之間可能產(chǎn)生的最大誤差，用A儀表示。儀器誤差產(chǎn)生的原因和具體誤差分量的分析計(jì)算已超出了本課程的要求范圍。我儀門約定，大多數(shù)情況下簡(jiǎn)單地把儀器誤差A(yù)直接當(dāng)作總不確定度中用非統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)的B類分量U，即儀 BU=A (1-3-5)B儀物理實(shí)驗(yàn)中幾種常用儀器的儀器誤差見下表。儀器名稱量 程分度值(準(zhǔn)確度等級(jí))儀器誤差鋼直尺0?300mm1mm±0.1mm鋼卷尺0?1000mm1mm±0.5mm游標(biāo)卡尺0?300mm0.02,0.05,0.1mm分度值螺旋測(cè)微計(jì)(一級(jí))0?100mm0.01mm±0.004mmTW-1物理天平1000g100mg±50mgWL-1物理天平1000g50mg±50mgTG928A礦山天平200g10mg±5mg水銀溫度計(jì)—30~300°C0.2,0.1°C分度值

讀數(shù)顯微鏡0.01mm±0.004mm數(shù)字式測(cè)量?jī)x器最未一位的一個(gè)單位或按儀器說明了估算指針式電表a=0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0土量程xa%3．總不確定度的合成確由式(1-3-2)、(1-3-3)和(1-3-5)知，總不確定度為(1-3-6(1-3-6)當(dāng)取置信概率P=0.95，測(cè)量次數(shù)n=6~8時(shí)(1-3-7)U二十(1-3-7)式(1-3-7)是物理實(shí)驗(yàn)中常用的不確定度估算公式，希望大家能記住。如果因?yàn)镾x<3A儀，或因估算出的^對(duì)實(shí)驗(yàn)的最后結(jié)果影響甚小，或因條件限制而只進(jìn)行單次測(cè)量，這時(shí)的不確定度估算只能根據(jù)儀器誤差、測(cè)量方法、實(shí)驗(yàn)條件以及操作者技術(shù)水平等實(shí)際情況，進(jìn)行合理估計(jì)，不能一概而論。在一般情況下，簡(jiǎn)化的做法是采用儀器誤差或其數(shù)倍的大小作為單次直接測(cè)量的不確定度的估計(jì)值。當(dāng)實(shí)驗(yàn)中只要求測(cè)量一次時(shí)，取U=A并不意味著只測(cè)一次比多次測(cè)量時(shí)U的值小，只說明A和用儀儀JU2+A2估算出的結(jié)果相差不大。\A儀例1】用螺旋測(cè)微計(jì)測(cè)量某一銅環(huán)的厚度七次，測(cè)量數(shù)據(jù)如下：i1234567H.(mm) p 19.5159.5149.5189.5169.5159.5139.517求H的算術(shù)平均值、標(biāo)準(zhǔn)偏差和不確定度，寫出測(cè)量結(jié)果?！窘狻縃=-￡H=1(9.515+9.514+…+9.517)=9.515(mm)7i7i=1SH=0.0018(mm)SH=0.0018(mm)U=、,S2+A2=\0.00182+0.0042=0.005mmH H 儀H=9.515土0.005mm計(jì)算結(jié)果表明，H的真值以95%的置信概率落在［9.510mm,9.520mm］區(qū)間內(nèi)。3.3間接測(cè)量的不確定度對(duì)于間接測(cè)量N=f(x,y,z…)，設(shè)各直接測(cè)量結(jié)果為x=X土U，y=y土U，x yz=z土U，…，則間接測(cè)量的結(jié)果N=f(X,y,Z…)，不確定度U可套用標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞zN公式進(jìn)行估算，即(1-3-8(1-3-8)U2+ z如果我們先對(duì)間接測(cè)量量N=f(x,y,z…)函數(shù)式兩邊取自然對(duì)數(shù)，再求全微分可得到計(jì)算相對(duì)不確定度的公式如下(1-3-9)(1-3-9)(ax丿(a(ax丿當(dāng)間接測(cè)量所依據(jù)的數(shù)學(xué)公式較為復(fù)雜時(shí)，計(jì)算不確定度的過程也較為繁瑣。如果函數(shù)形式主要以和差形式出現(xiàn)時(shí)，一般采用式(1-3-8)；而函數(shù)形式主要以積、商或乘方、開方等形式出現(xiàn)時(shí)，用式(1-3-9)會(huì)使計(jì)算過程較為簡(jiǎn)便。【例2】已知某銅環(huán)的外徑D=2.995土0.006cm，內(nèi)徑d=0.997土0.003cm，高度H=0.9516土0.0005cm，試求該銅環(huán)的體積及其不確定度，并寫出測(cè)量結(jié)果表達(dá)式。兀 31416【解】V=—(D2-d2)H= (2.9952-0.9972)x0.9516=5.961cm344兀lnV=ln—+ln(D2一d2)+lnHalnV_2D alnV_ 2d alnV_1—,—,—aD d2一d2 ad d2一d2 aH h(一 2d(一 2d(D2-d2丿U2『2x『2x2.995x0.006、2嘰2.9952-0.9972丿(2x0.997x0.003、2+ (2.99