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第四章恒定磁場第四章恒定磁場1§4.1磁力和磁感應強度1、磁現(xiàn)象的電本質現(xiàn)象:磁鐵、磁性、南極、北極……本質:分子電流假說

§4.1磁力和磁感應強度1、磁現(xiàn)象的電本質現(xiàn)象:磁鐵、磁2任何物質的分子都存在著圓形電流,稱為分子電流。每個分子電流都相當于一個基本磁元體。

各基本磁元體的磁效應相疊加永磁體基本磁元體受磁場力作用而轉向磁化2、磁場運動的電荷在其周圍空間激勵出了磁場這種特殊的物質。磁作用力都是通過磁場來傳遞的。3、磁單極子①理論上預言存在,但是沒有在實驗中發(fā)現(xiàn)②即使存在也是極少的,不會影響現(xiàn)有的一般工程應用。任何物質的分子都存在著圓形電流,稱為分子電流。各基本磁元體的3圖4-5亥姆霍茲線圈4、磁感應強度模值:表示某點上的磁場強弱方向:該點的磁場方向用運動電荷在磁場中受力來定義。亥姆霍茲線圈實驗的結論:①②③綜合上述三點,運動電荷在磁場中所受的磁力表示為將定義為磁感應強度,則或圖4-5亥姆霍茲線圈4、磁感應強度模值:表示某點上的磁場強4討論:①的模值與方向模值:單位運動電荷在該點所受到的最大磁力方向:、和是相互垂直的②洛侖茲力洛侖茲力對電荷的運動不做功,它只改變電荷的運動方向,而不改變其運動速度的大小。③洛侖茲力方程討論:①的模值與方向模值:單位運動電荷在該點所受到5N

S

I

I

(a)

(b)

(c)

的單位:在SI單位制中,為特斯拉(T)

1特斯拉=1(牛頓·秒)/(庫侖·米)高斯單位制中,為高斯(Gs)1T=104Gs5、磁感應線

①磁感應線上任一點的切線方向為該點磁感應強度的方向;②通過垂直于的單位面積上的磁感應線的條數(shù)正比于該點值的大小。NSII(a)(b)(c)的單位:在SI單位制6§4.2帶電粒子在磁場中的運動一.垂直磁場的圓周運動

mFvv′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′Roq,mBv洛侖茲力若則利用牛頓第二定律和勻速圓周運動的加速度公式,有所以,回轉半徑回轉周期稱為荷質比§4.2帶電粒子在磁場中的運動一.垂直磁場的圓周運動7二.沿磁場方向的螺旋運動

當帶電粒子進入均勻磁場的初速度與磁場不垂直時,粒子沿螺線運動。螺旋線的半徑螺旋線的螺距

二.沿磁場方向的螺旋運動當帶電粒子進入均勻磁場的初速度8★應用★應用9三.回旋加速器

圖4-14回旋加速器回旋加速器的優(yōu)點在于以不很高的振蕩電壓對粒子不斷加速而使其獲極高的動能。設D形盒的半徑為R0,則離子所能達到的最大速率和動能是

若換成一次加速形式的直線加速器來實現(xiàn)同樣的動能,則一千八百萬伏三.回旋加速器圖4-14回旋加速器回旋加速器的優(yōu)點在10

四.霍耳效應

若載流子是正電荷,則當電場力和洛侖茲力達到平衡時若載流子是負電荷,則將一塊導電材料板放在垂直于它的磁場中,當板內有電流I通過時,在導電板的兩個側面A、C間會產(chǎn)生一個電位差UAC,這種現(xiàn)象稱為霍耳效應。應用:①確定半導體載流子形式;②磁場測量(高斯計)四.霍耳效應若載流子是正電荷,則當電場力和洛侖茲力達11電荷有規(guī)則的宏觀運動電流磁場不隨時間變化恒定電流恒定磁場靜磁場電荷有規(guī)則的宏觀運動電流磁場不隨時間變化恒定電流恒定磁場12§4.3安培磁力定律和畢奧---沙伐定律

一、安培磁力定律

1、表達式表示l1l2上的電流元表示到的相對位置矢量是表征真空磁性質的常數(shù),稱為真空磁導率

2、安培磁力定律符合牛頓第三定律

§4.3安培磁力定律和畢奧---沙伐定律一、安培磁力定13只與回路l1有關二、畢奧----沙伐定律

將安培磁力定律改寫為寫成微分形式而電流回路所受磁力可以歸結為回路中運動電荷受力的結果與運動電荷的洛侖茲力公式相比,可將dl2處的磁感應強度記作1、電流回路的只與回路l1有關二、畢奧----沙伐定律將安培磁力定律142、電流元的回路的表達式中的被積函數(shù)應為電流元在場點處產(chǎn)生的磁感應強度矢量元3、分布電流的①電流體分布②電流面分布2、電流元的回路的表達式中的被積函數(shù)應為15三、電流回路在磁場中受力1、回路受力2、回路上電流元受力四、真空中的磁場強度定義:單位:安培/米(A/m)可以定義為磁場中一點上單位電流元所受到的最大磁力。三、電流回路在磁場中受力1、回路受力2、回路上電流元受力四、16例4.2求通過電流I的一段直導線在空間任意點產(chǎn)生的磁感應強度解:①建立坐標系以導線為z軸,導線中點為原點。由對稱性知,場值與無關,可在的平面內求解。②求電流元表達式所以③求被積函數(shù)中的矢量項所以

例4.2求通過電流I的一段直導線在空間任意點產(chǎn)生的17④應用畢奧——沙伐定律★對于無限長的直線電流情況其中時所以可見,直線電流段產(chǎn)生的磁場與電流成右手螺旋關系。④應用畢奧——沙伐定律★對于無限長的直線電流情況其中時所以18例4.3一圓形載流回路的半徑為a,電流強度為I,求回路軸線上的磁感應強度。解:①建立坐標系。令回路軸線與z軸重合,取圓心為坐標系原點。對于z軸上的任意場點,與相互垂直②由畢奧――沙伐定律求解

故將dB沿z軸分解,可得分析對稱性可知整個電流回路的磁場只有平行方向分量,即例4.3一圓形載流回路的半徑為a,電流強度為I,求回19五、電流回路在磁場中受到的轉矩q

0Bv

xB

zB

Fv

x

y

z

Fv

n?

例4.4分析半徑為的圓形細導線載流回路在均勻外磁場中所受的磁場力。①以回路中心為坐標系原點,回路法線方向與z軸正方向一致,建立直角坐標系。②由安培磁力定律,可得這表明均勻磁場中的閉合電流回路所受的總磁力為零。但此力為零只說明回路不受使其產(chǎn)生位移的力,由于回路各部分所受磁力的方向不同,它將受到轉矩作用而發(fā)生旋轉。解:(1)求總磁場力五、電流回路在磁場中受到的轉矩q0BvxBzBFv20Fdv

Fdv

0r

a

a

0r

I

外磁場中電流回路的轉矩

x

ld¢vxB

y

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asin0r

v(2)求磁場力的轉矩①考慮磁感應強度的兩個分量使回路受到向圓環(huán)外的張力使回路繞y軸作反時針旋轉②求Bx的轉矩電流元和共同產(chǎn)生的轉矩為回路所受的總轉矩為③用磁矩表示轉矩定義電流回路的磁矩,則FdvFdv0raa0rI外磁場中電流回路的轉21§4.4恒定磁場的基本定律

一、安培回路定律1、積分形式(1)磁場強度的閉合圍線積分(單個回路)①假定空間磁場由電流回路產(chǎn)生根據(jù)畢奧——沙伐定律,得②任取一個閉合回路,則在此回路上的積分為

§4.4恒定磁場的基本定律一、安培回路定律1、積分形式22③立體角的增量

l¢

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(a)

(b)

l

P

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ldvldvld¢v

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W

WWd+

所包圍的面積對P點構成一個立體角Ω回路不動,P移動P不動,回路移動√環(huán)帶對P所張立體角環(huán)帶上對P的立體角③立體角的增量l¢ld¢v(a)(b)l23④用dΩ表示的閉合圍線積分ΔΩ

表示P點沿l運動一周所引起的立體角的總改變量。⑤討論ΔΩa.積分回路與電流回路相交鏈

W

l¢

(a)

I

A

P

l

B

M

n¢?

積分回路選擇A→B,對應曲面兩側按右手關系選擇回路所圍曲面的法向A與法線同側ΩA=-2πB與法線異側ΩB=2π所以當回路的積分方向與穿過其截面的電流I符合右手定則時,取正值;反之,取負值。P56,例2.4④用dΩ表示的閉合圍線積分ΔΩ表示P點沿l運24l¢

(b)

W

I

l

P

b.積分回路與電流回路不交鏈此時P點沿l位移則立體角一直連續(xù)改變,當P點位移一周回到原來位置時,立體角也回復到原值,所以應當明確,所謂電流I與回路l交鏈,是指該電流必須穿過以l為邊界的任意曲面。

(a)不交鏈

(b)一次交鏈

(c)多次交鏈

I

I

I

l

l

l

l¢(b)WIlPb.積分回路與電流回路不交25(2)多個電流回路存在時,的圍線積分(3)電流體分布時,的圍線積分對于一個電流N次與l交鏈的情況安培回路定律的積分形式2、微分形式利用斯托克斯定理得安培回路定律的微分形式物理意義:反映了磁場空間一點上的磁場強度矢量與該點電流密度的關系,表明了電流是磁場的“漩渦源”。磁場是一個有旋場和非保守場。恒定磁場第一定律(2)多個電流回路存在時,的圍線積分(3)電流體分布26例4.5半徑為a的無限長導體圓柱上流有恒定電流I,求空間任意點的磁場強度。解:①建立坐標系令圓柱體的軸線與圓柱坐標系z軸重合,建立圓柱坐標系。②求出電流分布③利用安培環(huán)路定律求解或

a

r

x

y

o

Hv

例4.5半徑為a的無限長導體圓柱上流有恒定電流I27或長圓柱導線電流的磁場

H

r

a

o

從結果可以看出,在r>a的位置感受到的磁場強度與所有的電流集中在軸線上的無限長線電流所產(chǎn)生的磁場強度是相同的?;蜷L圓柱導線電流的磁場Hrao從結果可以看28例4.6如圖的環(huán)狀螺線管叫做螺繞環(huán)。設環(huán)管的軸線半徑為R,環(huán)上均勻密繞N匝線圈,線圈內通有恒定電流I。求:螺繞環(huán)內外的磁場。解:①建立圓柱坐標系求解②利用安培環(huán)路定律求在環(huán)管內:,所以在環(huán)管外:與積分回路交鏈的總電流為零,所以當環(huán)管截面半徑遠小于環(huán)半徑R時,可近似取r=R,此時其中為螺繞環(huán)單位長度的線圈匝數(shù)。

lv

R

Hv

P

o

r

長直螺線管可以看成是的螺繞環(huán)例4.6如圖的環(huán)狀螺線管叫做螺繞環(huán)。設環(huán)管的軸線半徑為R29例4.7計算面密度為JS的無限大均勻電流平面的磁場。a

bc

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Bdv

x

y

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Jv

解:①建立坐標系無限大平面電流可看成由無限多根平行排列的長直線電流組成。②利用安培環(huán)路定律求分析對稱性可知磁場的特點:a.磁場平行于電流面;b.磁場大小與場點與水平位置無關;c.平面兩側的磁場方向相反取安培回路abcd,則有因此例4.7計算面密度為JS的無限大均勻電流平面的磁30二、磁場“高斯定律”(磁通連續(xù)方程)1、微分形式①電流元的磁感應強度上式兩邊對場點P的坐標求散度利用恒等式,得電流密度與場點無關梯度的旋度等于0二、磁場“高斯定律”(磁通連續(xù)方程)1、微分形式①電流元31②區(qū)域內所有電流的磁場感應強度兩邊取散度,得即表明恒定磁場是一個無散場。2、積分形式應用散度定理得恒定磁場第二定律3、磁通量單位:韋伯(Wb)②也稱為磁通密度單位:韋伯/米2(Wb/m2)①定義:磁感應強度在某曲面上的面積分②區(qū)域內所有電流的磁場感應強度兩邊取散度,得即表明恒定磁場是32§4.5矢量磁位和標量磁位一.矢量磁位

1、引入磁場的高斯定律表明磁場是無散源場,可引入矢量位。定義式:稱為矢量磁位或磁矢位,單位:韋伯/米2、庫侖規(guī)范只根據(jù)定義式,無法確定證明:如果是滿足定義式的一個解,則令于是而故所以對一個給定的將有無窮多個與之對應§4.5矢量磁位和標量磁位一.矢量磁位1、引入磁場33為了避免的這種隨意性,必須再對其附加另外的限制,這個限制就是給定的散度。對恒定磁場,選擇稱為庫侖規(guī)范3、矢量磁位的微分方程利用矢量恒等式和庫侖規(guī)范矢量泊松方程得對的區(qū)域有

矢量拉普拉斯方程利用矢量磁位的定義式和安培環(huán)路定理,得矢量的拉普拉斯運算由確定為了避免的這種隨意性,必須再對其附加另外的34三個分量分別滿足標量泊松方程在直角坐標系中,具有如下形式對無界空間情況,且場源電流分布在有限區(qū)域內,方程的解為將以上三式矢量相加,就得到矢量泊松方程在無界空間內的解三個分量分別滿足標量泊松方程在直角坐標系中,具35電流元所產(chǎn)生的磁矢位為電流面分布電流線分布利用磁矢位解決磁場問題,一般是求出分布電流所產(chǎn)生的,然后再通過計算出對應的。★這些表達式只適用于電流分布在有限區(qū)域的情況。電流元所產(chǎn)生的磁矢位為電流面分布電流線分布36例4.8計算無限長直線電流產(chǎn)生的磁矢量位和磁通量密度。解:首先計算一段長度l為的直線電流段產(chǎn)生的磁矢位利用線電流分布時,解的表達式得例4.8計算無限長直線電流產(chǎn)生的磁矢量位和磁通量37

當時可見,由上式得到無限長直線電流產(chǎn)生的趨于無窮大錯誤原因:零參考點選擇在非無限遠的某點上。解決辦法:對于源電流分布于無限區(qū)域的情況,如果再以無限遠為磁矢位參考點,就會導致場點值的發(fā)散。當時可見,由上式得到無限長直線38選取為參考點,并構造一個新的磁矢位令和是按照電流分布在有限區(qū)域時的計算公式得到的磁矢位作代換,則磁通量密度可以求得:這與安培回路定律或畢奧——沙伐定律所求出的結果完全相同。選取為參考點,并構造一個新的磁矢位令39例4.9雙導線傳輸線可以視為通過反方向電流的無限長平行直線電流,設線間距離為2a,如圖所示。求它所產(chǎn)生的和。

解:利用例4.8的結果可得例4.9雙導線傳輸線可以視為通過反方向電流的無限長平行直40二.標量磁位

1、引入對于的區(qū)域,即無電流的區(qū)域,可以引入標量位稱為標量磁位或磁標位,單位是安培(A)對上式取散度,并由磁場高斯定律可得到這表明磁標位滿足拉普拉斯方程,比求解矢量磁位的矢量微分方程要容易。2、的微分方程定義式:根據(jù)的定義式,得二.標量磁位1、引入對于413、求解標量磁位①求解微分方程②利用等效磁荷的位疊加原理(§4.7)③利用磁場強度求解P0是磁標位的參考點場源電流分布在有限區(qū)域內時,常將P0選在無窮遠處,此時根據(jù)的定義式必須注意:

只能用在無電流的區(qū)域內,并且的積分路徑一般也不與電流回路交鏈,否則會出現(xiàn)多值性。可得3、求解標量磁位①求解微分方程②利用等效磁荷的位疊加原理(§424、閉合回路的其中的Ω是點P對回路所張的立體角利用安培回路定律的推導過程可得所以如圖,求回路在P處的①一般解4、閉合回路的其中的Ω是點P對回路所張的立體角利43②遠區(qū)解當P點與回路的距離比回路的尺寸大得多時,可以看作是遠區(qū)場的情況,此時立體角可以近似寫成利用一般解的表達式可得②遠區(qū)解當P點與回路的距離比回路的尺寸大44例4.10一半徑為a的圓形細導線回路上流有恒定電流I,求回路中心上方任意點P處的和。解:以場點為球心,R為半徑做一球面,則圓形回路在球面上截出的球冠面積為S對P點所張的立體角為所以軸線上磁標位為由對稱關系可以看出在軸線上磁通量密度只與z有關,所以例4.10一半徑為a的圓形細導線回路上流有恒定電流I45§4.6磁偶極子

1、定義若一個平面電流回路的尺寸遠遠小于場點到該回路的距離,此電流回路可以視為一個矢量點源,稱為磁偶極子。2、磁偶極子的①計算式③磁偶極子的②磁矩則整理得由定義§4.6磁偶極子1、定義若一個平面電流回路的尺463、磁偶極子產(chǎn)生的磁矢位

根據(jù)定義式和磁偶極子的表達式可以湊出磁矢位表達式只是源點坐標的函數(shù),故,因此有利用矢量恒等式考察所以3、磁偶極子產(chǎn)生的磁矢位根據(jù)定義式和磁偶極子的47對遠區(qū)場有,因此只是源點坐標的函數(shù),所以由此得到對比,得到磁偶極的矢量磁位只是源點坐標的函數(shù),所以由矢量恒等式知同時滿足庫侖規(guī)范對遠區(qū)場有,因此只是源點坐標的函數(shù),484、位于原點的磁偶極子對位于坐標原點的磁矩,遠場區(qū)場位表達式為對比電偶極的遠區(qū)場位表達式可見,兩者是非常相似的。4、位于原點的磁偶極子對位于坐標原點的磁矩49§4.7磁介質的磁化1.外磁場使電子的公轉狀態(tài)發(fā)生改變

一、磁化的分類電子作軌道圓周運動時,具有角動量電子作繞核的圓周運動。形成磁矩與電流成右手關系,而與電子運動成右手關系所以與反向平行當處于中時,受到轉矩,所以在作用下,將繞著做逆時針運動。這種運動相當于電子產(chǎn)生的電流環(huán),其作用是減弱外磁場,稱為抗磁效應。①來源§4.7磁介質的磁化1.外磁場使電子的公轉狀態(tài)發(fā)生改變50②量級③存在范圍抗磁效應存在于所有介質之中如果某種磁介質只存在抗磁效應,而沒有其它磁化效應,則稱其為抗磁性磁介質。如金、銀、銅、石墨、氧化鋁等2.磁場使分子固有磁矩轉向

①來源分子的固有磁矩②量級要強于它的抗磁效應施加外磁場后,大量分子磁矩的規(guī)則轉向使介質內的磁場增強。稱為順磁效應。③存在范圍分子的固有磁矩不為零的介質具有順磁效應的物質稱為順磁性磁介質。如氧、氮、鋁、等②量級③存在范圍抗磁效應存在于所有介質之中如果某種513.外磁場使磁疇發(fā)生變化

①來源②量級③存在范圍介質內部存在磁疇,自發(fā)磁化外磁場較弱時,磁矩方向與外磁場相同或相近的磁疇會將其磁疇壁向外推移,擴大自己的體積;外磁場達到一定強度后,每個磁疇的磁矩方向都要不同程度地向外磁場方向轉向。超過外加磁場幾個數(shù)量級鐵磁性磁介質這時介質表現(xiàn)出非常強的順磁效應。此時的順磁效應稱為鐵磁效應,這類物質稱為鐵磁性磁介質。磁化的最終結果都是在磁介質空間產(chǎn)生了大量的分子磁矩平均值不再為零的小磁偶極子。3.外磁場使磁疇發(fā)生變化①來源②量級③存在范圍介質內部52二、磁化強度矢量1、定義式物理意義:磁化磁介質某點上單位體積內分子磁矩矢量和。單位:安培/米(A/m)2、用表示磁介質的則整個磁介質區(qū)域產(chǎn)生的磁矢位微元產(chǎn)生的磁矢位二、磁化強度矢量1、定義式物理意義:磁化磁介質某點上單53利用矢量恒等式得再利用矢量公式得★磁化電流體磁化電流密度面磁化電流密度引入則利用矢量恒等式得再利用矢量公式得★磁化電流體磁化電流密度面542、用表示磁介質的微元產(chǎn)生的磁標位則整個磁介質區(qū)域產(chǎn)生的磁標位

★等效磁荷等效磁荷體密度等效磁荷面密度引入則2、用表示磁介質的微元產(chǎn)生的磁標位則整55§4.8磁介質中恒定磁場的基本定律1、安培回路定律①微分形式真空中討論介質中問題時,還應包括磁化電流的作用,所以假定電流都是體分布,則應用斯托克斯定理,得上式對任意S都成立,必有§4.8磁介質中恒定磁場的基本定律1、安培回路定律①微分56則得到磁介質中的安培回路定律的微分形式定義為磁介質中的磁場強度

將磁化電流密度公式帶入,得②積分形式對微分形式兩邊同時積分得應用斯托克斯公式,得安培回路定律的積分形式則得到磁介質中的安培回路定律的微分形式定義572、磁導率對一般抗磁性介質和順磁性介質,與成正比關系是一個無量綱的數(shù),稱為磁化率

①磁化率②磁導率稱為磁介質的磁導率,單位是亨利/米(H/m)。稱為相對磁導率,是無量綱數(shù)。③本構方程2、磁導率對一般抗磁性介質和順磁性介質,與583、磁場高斯定律磁介質中的實際磁場可以分解成自由電流真空場和磁化電流真空場兩部分,因為真空磁場必為無散源場,故它們的疊加也一定是無散源場。所以4、位函數(shù)①定義式②微分方程在均勻磁介質中在無限均勻磁介質中,方程的解為3、磁場高斯定律磁介質中的實際磁場可以分解成自由電流59例4.11磁導率為的鐵質無限長圓管中通過均勻恒定電流I,管的內外半徑分別為a和b,截面如圖所示。求空間任意點的和磁化電流。解:(1)求①以圓管截面的圓心為原點,電流方向為建立圓柱坐標系②求電流分布③利用安培環(huán)路定律求例4.11磁導率為的鐵質無60(2)求根據(jù)可得①②(2)求根據(jù)可得①②61(3)求管壁內的磁化電流體密度和總磁化電流為管壁內側面上的磁化電流面密度和總磁化面電流為管壁外側面上的磁化電流面密度和總磁化面電流為(3)求管壁內的磁化電流體密度和總磁化電流為管壁內側面上的62§4.9鐵磁介質

鐵磁介質B—H關系測量實驗激勵線圈感應線圈初始條件:鐵磁介質環(huán)從未加過磁場或經(jīng)過“去磁”處理?!?.9鐵磁介質鐵磁介質B—H關系測量實驗激勵線圈63關于鐵磁介質的幾個概念:①磁飽和狀態(tài)②磁滯效應③剩磁④矯頑力⑤(飽和)磁滯回線⑥軟(硬)磁材料⑦居里溫度關于鐵磁介質的幾個概念:①磁飽和狀態(tài)64§4.10磁介質分界面上的邊界條件規(guī)定界面的法線單位矢量是由2區(qū)指向1區(qū)由磁場高斯定律得當時,側面通量標量形式1、磁感應強度的邊界條件所以得的邊界條件表明:磁通量密度的法向分量在分界面上是連續(xù)的?!?.10磁介質分界面上的邊界條件規(guī)定界面的法線單位矢量652、磁場強度的邊界條件規(guī)定界面的法線單位矢量是由2區(qū)指向1區(qū)當時,回路的面積趨于零,穿過此面積的體電流為零,回路僅包圍界面上的面電流利用安培回路定律,得由矢量混合積恒等式,得表明:當分界面上有表面自由電流時,磁場強度切向分量在界面上是不連續(xù)的。上式對任意的都成立,必定有2、磁場強度的邊界條件規(guī)定界面的法線單位矢量是由2區(qū)指向166在實際問題中,一般都有此時,邊界條件為或3、的方向與μ的關系(折射關系)當分界面上無自由電流時,邊界條件可以表示為以上兩式相除,并考慮到可得如果1區(qū)為空氣或一般抗磁、順磁性磁介質,2區(qū)是高μ的鐵磁物質,由于μr1<<μr2,此時只要1區(qū)的磁

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