第6章-無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)課件

第六章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)引言最小與最大相位延時(shí)系統(tǒng)、最小與最大相位超前系統(tǒng)全通系統(tǒng)用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器第六章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)引言引言數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程一個(gè)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程，大致可歸納為以下幾個(gè)步驟：(1)按照實(shí)際需要確定濾波器的性能指標(biāo)。(2)用一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個(gè)性能指標(biāo)，這種系統(tǒng)函數(shù)可以分為兩類，即IIR系統(tǒng)函數(shù)與FIR系統(tǒng)函數(shù)。(3)用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。這里包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)，如級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型、直接型、頻率采樣型等，還包括合適的字長(zhǎng)和有效數(shù)字處理的方法等。(4)實(shí)際的技術(shù)實(shí)現(xiàn)，包括采用通用計(jì)算機(jī)軟件或?qū)Ｓ脭?shù)字濾波器硬件來(lái)實(shí)現(xiàn)，或采用專用的或通用的數(shù)字信號(hào)處理器來(lái)實(shí)現(xiàn)。引言數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程按處理信號(hào)的種類分為

模擬濾波器(其輸入輸出皆為模擬量)

數(shù)字濾波器(其輸入輸出皆為數(shù)字量)；按其應(yīng)用不同分為有源濾波器和無(wú)源濾波器；按其通頻帶劃分為（以2π為周期，低通頻帶2π整數(shù)倍附

近，高通頻帶處于π的奇數(shù)倍附近

）低通濾波器(只允許低頻信號(hào)通過(guò)而抑制高頻信號(hào))

高通濾波器(只允許高頻信號(hào)通過(guò)而抑制低頻信號(hào))

帶通濾波器(只允許某一頻帶的信號(hào)通過(guò))

帶阻濾波器(只抑制某一頻帶的信號(hào))。按實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)或單位脈沖響應(yīng)分為

IIR濾波器和FIR濾波器按處理信號(hào)的種類分為第6章--無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)ppt課件數(shù)字濾波器的技術(shù)要求通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(ejω)用下式表示：

濾波器的性能要求一般以頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差來(lái)表征。以低通為例，頻率響應(yīng)有通帶、過(guò)渡帶、阻帶三個(gè)范圍。通帶——濾波器中能使信號(hào)通過(guò)的頻帶；阻帶——抑制噪聲通過(guò)的頻帶；過(guò)渡帶——從通帶到阻帶的過(guò)渡頻率范圍。

數(shù)字濾波器的技術(shù)要求濾波器的性能要求一般以頻率響第6章--無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)ppt課件在通帶內(nèi)：在阻帶內(nèi)：通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用δ1表示，阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減用δ2表示，δ1

和δ2

分別定義為：在通帶內(nèi)：表征數(shù)字濾波器頻響特性的三個(gè)參量1.幅度平方響應(yīng)

的極點(diǎn)既是共軛的，又是以單位圓鏡像對(duì)稱的，則為實(shí)現(xiàn)因果穩(wěn)定系統(tǒng)，選在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)作為的極點(diǎn)，零點(diǎn)可以根據(jù)相位要求選擇。當(dāng)只需要逼近幅度響應(yīng)而不考慮相位時(shí)用幅度平方設(shè)計(jì)方便2.相位響應(yīng)3.群延時(shí)響應(yīng)：相位對(duì)角頻率的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。當(dāng)要求濾波器為線性響應(yīng)特性時(shí)，通帶內(nèi)群延時(shí)是常數(shù)表征數(shù)字濾波器頻響特性的三個(gè)參量1.幅度平方響應(yīng)當(dāng)要求濾波

數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述

IIR濾波器和FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法是很不相同的。IIR濾波器的逼近問(wèn)題是按要求或最優(yōu)化準(zhǔn)則求濾波器系數(shù)ak,bk，使濾波器滿足特性要求。在s平面的逼近得到模擬濾波器，在z平面的逼近得到數(shù)字濾波器。IIR濾波器設(shè)計(jì)方法有三類:

1借助于模擬濾波器

其設(shè)計(jì)步驟是：先設(shè)計(jì)模擬濾波器得到傳輸函數(shù)Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。這種方法可以利用模擬濾波器現(xiàn)成的設(shè)計(jì)公式圖表，方便準(zhǔn)確數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述2計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法(最優(yōu)化設(shè)計(jì)法)

直接在時(shí)域或頻域中設(shè)計(jì)。先確定一種最優(yōu)化準(zhǔn)則，求在最優(yōu)準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)ak,bk,這種方法得不到理想的閉合形式的函數(shù)表達(dá)式，需進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算3直接在z平面設(shè)計(jì)。給出閉合形式的公式或是所希望的濾波器的響應(yīng)作為依據(jù)，直接在z平面上通過(guò)對(duì)此選定零極點(diǎn)的位置，以逼近該響應(yīng)。2計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法(最優(yōu)化設(shè)計(jì)法)最大、最小相位系統(tǒng)當(dāng)ω從0~2π變化時(shí)（Δω=2π），單位圓內(nèi)的零點(diǎn)（或極點(diǎn)）引起的的變化量為2π，而單位圓外的零、極點(diǎn)則沒(méi)有影響。零點(diǎn)：Mi+Mo=M極點(diǎn)：Ni+No=N最大、最小相位系統(tǒng)當(dāng)ω從0~2π變化時(shí)（Δω=2π），單位因果穩(wěn)定系統(tǒng)：最小相位延時(shí)系統(tǒng)——零、極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)最大相位延時(shí)系統(tǒng)——極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)，零點(diǎn)全部在單位圓外。對(duì)因果穩(wěn)定系統(tǒng)，有

最小相位延時(shí)系統(tǒng)（常簡(jiǎn)稱為最小相位系統(tǒng)）有許多重要性質(zhì)，它在通信系統(tǒng)中有很重要的地位。因果穩(wěn)定系統(tǒng)：對(duì)因果穩(wěn)定系統(tǒng)，有最小相位延時(shí)系統(tǒng)（最小與最大相位延時(shí)系統(tǒng)

最小與最大相位超前系統(tǒng)

最小與最大相位延時(shí)系統(tǒng)

最小與最大相位超前系統(tǒng)

最小相位系統(tǒng)的重要性質(zhì)1在相同的所有系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)具有最小的相位滯后，即它有負(fù)的相位，相位絕對(duì)值最?。?按照帕塞瓦定理，相同的各系統(tǒng)的總能量相同，但最小相位系統(tǒng)的能量集中在n=0附近，而一般系統(tǒng)的能量則集中在n>0處。也就是說(shuō)，若、為n點(diǎn)有限長(zhǎng)序列（n=0,1,2,…,N-1），則有3對(duì)相同的各序列，有；4在相同的系統(tǒng)中，只有唯一一個(gè)最小相位系統(tǒng)；5利用級(jí)聯(lián)全通函數(shù)的方法，可將最小相位系統(tǒng)的零點(diǎn)反射到單位圓外，而構(gòu)成幅度響應(yīng)相同的非最小相位系統(tǒng)；6最小相位系統(tǒng)保證其逆系統(tǒng)存在。給定一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)，定義其逆系統(tǒng)為，當(dāng)且僅當(dāng)為最小相位系統(tǒng)時(shí)，才是因果穩(wěn)定系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)的重要性質(zhì)1在相同的全通系統(tǒng)

全通系統(tǒng)是指系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅度在所有頻率下均為1或某一常數(shù)的系統(tǒng)。系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)是以共軛對(duì)形式出現(xiàn)的。應(yīng)用：1任何一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)都可以表示為全通系統(tǒng)和最小相位延時(shí)系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)2如果設(shè)計(jì)出的濾波器是非穩(wěn)定的，則可以級(jí)聯(lián)全通函數(shù)將它變成穩(wěn)定的濾波器3可以作為相位均衡器全通系統(tǒng)全通系統(tǒng)是指系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅度在所有頻一階復(fù)系數(shù)全通濾波器：

——不改變信號(hào)各頻率分量的幅度，只影響相位

（a為復(fù)數(shù)）全通濾波器零、極點(diǎn)的分布特點(diǎn)：零點(diǎn)——若有復(fù)數(shù)零點(diǎn)，必以共軛對(duì)形式出現(xiàn)；極點(diǎn)——若有復(fù)數(shù)極點(diǎn)，必以共軛對(duì)形式出現(xiàn)；零、極點(diǎn)之間——以單位圓鏡像對(duì)稱。一階復(fù)系數(shù)全通濾波器：——不改變信號(hào)各頻率分量的幅度，只影全通濾波器的應(yīng)用1.任何一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)H(z)（非最小相位延時(shí)系統(tǒng)）都可以表示成全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)，即2.若設(shè)計(jì)出的濾波器是非穩(wěn)定的，則可以用級(jí)聯(lián)全通系統(tǒng)來(lái)將其變成一個(gè)穩(wěn)定的濾波器，而幅度特性不變。用全通系統(tǒng)的零點(diǎn)抵消濾波器的單位圓外極點(diǎn)3.可以作為相位均衡器，將非線性相位系統(tǒng)變?yōu)榫€性相位。全通濾波器的應(yīng)用1.任何一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)H(z)（非最6.4用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器

為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求：

(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。S平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)部。

(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻率響應(yīng)，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，即頻率軸要對(duì)應(yīng)。6.4用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器為了數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法

IIR濾波器和FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法是很不相同的。IIR濾波器設(shè)計(jì)方法有兩類，經(jīng)常用的一類設(shè)計(jì)方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的。其設(shè)計(jì)步驟是：先設(shè)計(jì)模擬濾波器得到傳輸函數(shù)Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法映射成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

常用的映射方法：沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、雙線性變換法數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t)

設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：6.5

沖激響應(yīng)不變法變換原理：使數(shù)字濾波器的h(n)模仿模擬濾波器的ha(t)即h(n)=ha(nT)（T為采樣周期）設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對(duì)ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：式中si為Ha(s)的單階極點(diǎn)。將Ha(s)進(jìn)行拉氏反變換得到ha(t)式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對(duì)ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣（因果穩(wěn)定性不變、虛軸映射成單位圓）z=esT，s平面與z平面之間的映射關(guān)系（因果穩(wěn)定性不變、虛軸映射成單位圓）z=esT，s平面與z混疊失真

數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器的頻率響應(yīng)的周期延拓，只有模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)才能夠不產(chǎn)生混疊失真。但實(shí)際濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，所以這種方法得到的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)都存在混疊失真?；殳B失真數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器的頻率沖激響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象沖激響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象

假設(shè)沒(méi)有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足按照并將關(guān)系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：

對(duì)上式進(jìn)行修正，令：，則由于H(ejω)與T呈反比，當(dāng)fs很高時(shí)，濾波器增益太大假設(shè)沒(méi)有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足對(duì)ha(t)是實(shí)數(shù)，Ha(s)的極點(diǎn)成共軛對(duì)存在。Ha(s)與H(z)的關(guān)系：ha(t)是實(shí)數(shù)，Ha(s)的極點(diǎn)成共軛對(duì)存在。Ha(s)與缺點(diǎn)：存在頻譜混疊。優(yōu)點(diǎn)：1.時(shí)域逼近良好；

2.模擬角頻率與數(shù)字頻率呈線性關(guān)系，即ω=ΩT

。

只適合于限帶的模擬濾波器，高通和帶阻濾波器不適合采用沖激響應(yīng)不變法。缺點(diǎn)：存在頻譜混疊。優(yōu)點(diǎn)：1.時(shí)域逼近良好；

沖激響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，即時(shí)域逼近良好，而且模擬頻率和數(shù)字頻率之間成線性關(guān)系ω=?T，因而一個(gè)線性良好的模擬濾波器可以映射成線性相位的數(shù)字濾波器，但因?yàn)橛蓄l率響應(yīng)的混疊效應(yīng)，所以沖激響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器，所以高統(tǒng)和帶阻濾波器不宜采用沖激響應(yīng)不變法，否則要加保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，對(duì)于帶通和低通濾波器，需充分限帶，如阻帶衰減越大，則混疊效應(yīng)越小。沖激響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)完全模仿模6.7雙線性變換法沖激響應(yīng)不變法中頻譜混疊，是因?yàn)閟→z是多值映射基本原理：把整個(gè)s平面壓縮變換到一個(gè)中介s1平面的一個(gè)橫帶，再通過(guò)s平面與z平面的標(biāo)準(zhǔn)映射把s1平面的橫帶變換到整個(gè)z平面，這樣使s平面與z平面一一對(duì)應(yīng)，消除多值映射，即消除了頻譜混疊現(xiàn)象6.7雙線性變換法沖激響應(yīng)不變法中頻譜混疊，是因?yàn)閟

模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間的關(guān)系。

雙線性變換法的映射關(guān)系（單值映射）（因果穩(wěn)定性不變、虛軸映射成單位圓）模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間的關(guān)系。雙線性變換法的s平面z平面σ>0，右半平面，不穩(wěn)定r>1，單位圓外，不穩(wěn)定σ=0，虛軸，臨界r=1，單位圓上，臨界σ<0，左半平面，穩(wěn)定r<1，單位圓內(nèi)，穩(wěn)定s平面與z平面的映射關(guān)系為s平面z平面σ>0，右半平面，不穩(wěn)定r>1，單位圓外，不穩(wěn)定即當(dāng)Ω1從π/T經(jīng)過(guò)0變化到-π/T時(shí)，Ω則由∞經(jīng)過(guò)0變化到-∞，實(shí)現(xiàn)了s平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的±π/T之間的轉(zhuǎn)換。

用正切變換實(shí)現(xiàn)將s平面的虛軸到s1平面虛軸的頻率壓縮：

式中T仍是采樣間隔即當(dāng)Ω1從π/T經(jīng)過(guò)0變化到-π/T時(shí)，Ω則由∞經(jīng)過(guò)0變化將這個(gè)解析式延拓到整個(gè)s平面和s1平面，令jΩ=s,jΩ1=s1,得到將寫為再將s1通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到z平面得到將這個(gè)解析式延拓到整個(gè)s平面和s1平面，令jΩ=s,jΩ1

再通過(guò)轉(zhuǎn)換到z平面上，得到：為了使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器任一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，引入待定系數(shù)c，得到最一般的表達(dá)式單值映射再通過(guò)轉(zhuǎn)換到z

正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：

式中T仍是采樣間隔，當(dāng)Ω1從-π/T經(jīng)過(guò)0變化到π/T時(shí)，Ω則由-∞經(jīng)過(guò)0變化到+∞，實(shí)現(xiàn)了s平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的±π/T之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：式中T仍是采樣間隔，當(dāng)Ω1變換常數(shù)C的選擇不同的方法選擇c可使模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率特性在不同頻率處有對(duì)應(yīng)關(guān)系。1模擬數(shù)字濾波器在低頻處有較確切對(duì)應(yīng)關(guān)系變換常數(shù)C的選擇不同的方法選擇c可使模擬濾波器與數(shù)字濾波器的2數(shù)字濾波器的某一特定頻率與模擬濾波器的一個(gè)特定頻率嚴(yán)格對(duì)應(yīng)。如截止頻率即：則有可以較準(zhǔn)確的控制截止頻率的位置2數(shù)字濾波器的某一特定頻率與模擬濾波器的一個(gè)特定頻率嚴(yán)格對(duì).雙線性變換法的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：模擬濾波器通過(guò)雙線性變換后，避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。通過(guò)s平面與z平面的單值映射，即頻率軸是單值變換關(guān)系，且Ω趨近無(wú)窮時(shí)，ω為折疊頻率π