3.4生活中的優(yōu)化問題舉例

3.4生活中的優(yōu)化問題舉例第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用高二數(shù)學(xué)組王婧3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)知識回顧一、如何判斷函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性？f(x)為增函數(shù)f(x)為減函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)在

某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，二、如何求函數(shù)的極值與最值？求函數(shù)極值的一般步驟（1）確定定義域（2）求導(dǎo)數(shù)f’(x)（3）求f’(x)=0的根（4）列表（5）判斷求f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值的步驟：(1)求f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值；(2)將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b）比較,從而確定函數(shù)的最值。3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)知識回顧

一般地，若函數(shù)y=f(x)在[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則求f(x)的最值的步驟是：（1）求y=f(x)在[a，b]內(nèi)的極值(極大值與極小值)；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

特別地，如果函數(shù)在給定開區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，則這個極值一定是最值。3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)知識背景：

生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ?，本節(jié)我們運用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題.3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)例1：海報版面尺寸的設(shè)計

學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖3.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm，如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空白面積最??？圖3.4-1

分析：已知版心的面積，你會如何建立函數(shù)關(guān)系表示海報四周的面積呢？3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)

因此，x=16是函數(shù)S(x)的極小值，也是最小值點。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)

由上述例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，解決優(yōu)化問題的基本思路是：設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學(xué)建模過程。優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案你還有其他方法求這個最值嗎？3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)解法二：由解法(一)得3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)問題2:

飲料瓶大小對飲料公司利潤有影響嗎?你是否注意過,市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些?你想從數(shù)學(xué)上知道它的道理嗎?是不是飲料瓶越大,飲料公司的利潤越大?3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)規(guī)格（L）21.250.6價格（元）5.14.52.5下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，若它們的價格如下表所示，則（1）對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？（2）對制造商而言，哪一種的利潤更大？3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)

例2：某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，（1）瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？（2）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最??？r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+減函數(shù)↘增函數(shù)↗-1.07p∴每瓶飲料的利潤：解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)當(dāng)半徑r＞２時，f’(r)>0它表示f(r)單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當(dāng)半徑r＜２時，f’(r)<0它表示f(r)單調(diào)遞減，

即半徑越大，利潤越低．1.半徑為２cm時，利潤最小，這時表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負(fù)值。２.半徑為６cm時，利潤最大。3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)

由上述例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，解決優(yōu)化問題的基本思路是：設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學(xué)建模過程。優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案你還有其他方法求這個最值嗎？3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)圖1.4-43.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)思考：市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些（如半斤裝的白酒比一斤裝的白酒平均價格要高），在數(shù)學(xué)上有什么道理？

將包裝盒捏成球狀，因為小包裝的半徑小，其利潤低，生產(chǎn)商就提高銷售價格來平衡與大包裝的利潤.

3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)問題3、磁盤的最大存儲量問題(1)你知道計算機是如何存儲、檢索信息的嗎？(2)你知道磁盤的結(jié)構(gòu)嗎？(3)如何使一個圓環(huán)狀的磁盤存儲盡可能多的信息？3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)思考1：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于r與R的環(huán)形區(qū)域，且最外面的磁道不存儲任何信息，那么這張磁盤的磁道數(shù)最多可達(dá)多少？

Rr思考2：由于每條磁道上的比特數(shù)相同，那么這張磁盤存儲量的大小取決于哪條磁道上的比特數(shù)？最內(nèi)一條磁道.

3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)思考3：要使磁盤的存儲量達(dá)到最大，那么最內(nèi)一條磁道上的比特數(shù)為多少？Rr思考4：這張磁盤的存儲量最大可達(dá)到多少比特？3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)分析：存儲量=磁道數(shù)×每磁道上的比特數(shù)

設(shè)存儲區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必須大于m，每比特所占用的磁道長度不得小于n，且最外面的磁道不存儲任何信息，所以磁道最多可達(dá)又由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大的存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達(dá)到所以，磁道總存儲量為：3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)解：存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)

設(shè)存儲區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必須大于m，且最外面的磁道不存儲人何信息，所以磁道最多可達(dá)又由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大的存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達(dá)到所以，磁道總存儲量（1）它是一個關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越大.3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)(2)為求的最大值，計算令解得因此，當(dāng)時，磁道具有最大的存儲量，最大存儲量為3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)

由上述例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，解決優(yōu)化問題的基本思路是：優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學(xué)建模過程。3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)練習(xí)1、一條長為的鐵絲截成兩段，分別彎成兩個正方形，要使兩個正方形的面積和最小，兩段鐵絲的長度分別是多少？則兩個正方形面積和為解：設(shè)兩段鐵絲的長度分別為x,l-x,其中0<x<l由問題的實際意義可知：而0<x<L/2時,;x>L/2時,,所以x=L/2是f(x)的極小值點.3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)表面積設(shè)半徑為R,則高為h表面積寫成R的函數(shù),問題就轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值問題Rh3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)練習(xí)2:某種圓柱形的飲料罐的容積為定值V時,如何確定它的高與底半徑,使得所用材料最省?Rh解設(shè)圓柱的高為h,底面半徑為R.則表面積為又(定值),即h=2R.可以判斷S(R)只有一個極值點,且是最小值點.答：罐高與底的直徑相等時,所用材料最省.R3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)Rh3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)練習(xí)3(課本第37頁A組第6題)已知:某商品生產(chǎn)成本Ｃ與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為,價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為

求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？0<q

<2003.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)

(課本第37頁B組第1題)某賓館有５０個房間供游客居住，當(dāng)每個房間每天的定價為１８０元時，房間會全部住滿；房間的單價每增加１０元，就會有一個房間空閑．如果游客居住房間，賓館每天每間需花費２０元的各種維修費．房間定價多少時，賓館的利潤最大？解:設(shè)賓館定價為(180＋10x)元時，賓館的利潤Ｗ最大

3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)xy練習(xí)3如圖,在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個內(nèi)接矩形ABCD,求這個矩形的最大面積.解:設(shè)B(x,0)(0<x<2),則

A(x,4x-x2).從而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以當(dāng)時,因此當(dāng)點B為時,矩形的最大面積是3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)練習(xí)4:已知x,y為正實數(shù),且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.設(shè),由x,y為正實數(shù)得:設(shè)令,得又,又f(0)=f(π)=0,故當(dāng)時,3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)練習(xí)5:證明不等式:證:設(shè)則令,結(jié)合x>0得x=1.而0<x<1時,;x>1時,,所以x=1是f(x)的極小值點.所以當(dāng)x=1時,f(x)取最小值f(1)=1.從而當(dāng)x>0時,f(x)≥1恒成立,即:

成立.3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(2)解決優(yōu)化問題的一般步驟：(1)審題：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，找出問題的主要關(guān)系；(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；

(4)對結(jié)果進(jìn)行驗證評估，定性定量分析，做出正確的判斷，確定其答案。注意：實際應(yīng)用中，準(zhǔn)確地列出函數(shù)解析式并確定