第二章 直角三角形的邊角關系專題 構造三角函數(shù)基本圖形解實際問題的四種數(shù)學模型同步練習（含解析）

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第二章直角三角形的邊角關系

專題構造三角函數(shù)基本圖形解實際問題的四種數(shù)學模型

模型1構造形如的兩個直角三角形解實際問題

1.如圖是某種型號跑步機的示意圖.已知跑步機手柄AB與地面DE平行，踏板CD長為

1.5m,CD與地面DE的夾角∠CDE=15°,支架AC長為1m,∠ACD=75°,求跑步機手柄AB所在直線與地面DE之間的距離(結果精確到0.1m).

模型2構造形如的兩個直角三角形解實際問題

2.如圖,一艘輪船從點A處以30km/h的速度向正東方向航行，在A處測得燈塔C在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1h到達B處，這時測得燈塔C在北偏東45°方向上，已知在燈塔C的四周40km內(nèi)有暗礁，問這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全并說明理由(提示：

3.一次數(shù)學活動課上，老師帶領學生去測一條東西流向的河寬，如圖所示，小明在河北岸點A處觀測到河對岸有一點C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行20m到達B處，又測得C在B的南偏西45°的方向上，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助小明計算出這條河的寬度(結果保留根號).

模型3構造形如的兩個直角三角形解實際問題

4.某班同學在一次綜合實踐課上，測量校園內(nèi)一棵樹的高度.如圖，測量儀在A處測得樹頂D的仰角為45°，在C處測得樹頂D的仰角為37°(點A,B,C在一條水平直線上)，已知測量儀高度AE=CF=1.6米,AC=28米,求樹BD的高度(結果保留小數(shù)點后一位.參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75).

5.如圖是一座獨塔雙索結構的斜拉索大橋，主塔采用倒“Y”字形設計，某學習小組利用課余時間測量主塔頂端到橋面的距離.勘測記錄如下表：

活動內(nèi)容測量主塔頂端到橋面的距離

成員組長：×××組員：×××××××

測量工具測角儀、皮尺等

測量示意圖說明：左圖為斜拉索橋的側面示意圖，點A,C,D,B在同一條直線上,EF⊥AB,點A,C分別與點B,D關于直線EF對稱

測量數(shù)據(jù)∠A的大小28°

AC的長度84m

CD的長度12m

請利用表中提供的信息，求主塔頂端E到AB的距離(參考數(shù)據(jù):sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53).

模型4構造形如的兩個直角三角形解實際問題

6.一架無人機沿水平直線飛行進行測繪工作，在點P處測得正前方水平地面上某建筑物AB的頂端A的俯角為30°，面向AB方向繼續(xù)飛行5米，測得該建筑物底端B的俯角為45°，已知建筑物AB的高為3米，求無人機飛行的高度(結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：

參考答案

1.【解】如圖,過點C作FG⊥AB于點F,交DE于點G,則FG⊥DE.

∵∠CDE=15°,∠ACD=75°,∴∠ACF=∠FCD-∠ACD=∠CGD+∠CDE-∠ACD=90°+15°-75°=30°.∴∠CAF=60°.

在Rt△ACF中,

在Rt△CDG中,CG=CD·sin∠CDE=1.5·sin15°m,

0.26≈1.3(m).

答：跑步機手柄AB所在直線與地面DE之間的距離約為1.3m.

2.【解】安全.理由如下:如圖,過點C作CD⊥AB于點D.

由題意可得∠CAD=90°-60°=30°,∠CBD=90°-45°=45°,AB=30×1=30(km).

在Rt△CBD中,∵∠CDB=90°,∠CBD=45°,∴∠CBD=∠BCD.∴BD=CD.

設CD=BD=xkm,則AD=(x+30)km.

在Rt△ACD中,即解得

∴CD≈40.98km.

∵40.98>40,∴這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是安全的.

點易錯本題圖形也稱為“母抱子”，即兩個直角三角形有一條公共的直角邊，且它們位于該邊同側.

3.【解】如圖,過點C作CD⊥AB于D.

設CD=xm,在Rt△BCD中,∵∠CBD=90°-45°=45°,∴BD=CD=xm.

在Rt△ACD中,∠DAC=90°-60°=30°,AD=AB+BD=(20+x)m,CD=xm,

∴CD=tan30°·AD,即解得

答：這條河的寬度為

4.【解】如圖,連接EF,交BD于點M,則EF⊥BD,AE=BM=CF=1.6米,

在Rt△DEM中,∵∠DEM=45°,∴EM=DM.

設DM=x米,則EM=AB=x米,FM=BC=AC-AB=(28-x)米,

在Rt△DFM中,即解得x≈12,

經(jīng)檢驗,x≈12是原方程的根,即DM≈12米,∴DB≈12+1.6=13.6(米).

答:樹BD的高度約為13.6米.

5.【解】如圖,延長EF交AB于M,

∵EF⊥AB,點A,C分別與點B,D關于直線EF對稱,CD=12m,

∵∠A=28°,AC=84m,即

答:主塔頂端E到AB的距離約為47.7m.

6.【解】如圖,延長PQ,BA,相交于點E,

由題意可得AB⊥PQ,∠E=90°,又∵∠BQE=45°,∴BE=QE.

設BE=QE=x米