2022年高考數(shù)學(xué)解答題解法薈萃 全國(guó)甲卷

編者按本刊“2022年高考數(shù)學(xué)解答題解法薈萃”主題征稿已于6月15日截稿。對(duì)于所有來稿，本刊

編輯部在經(jīng)過分類和初選后邀請(qǐng)一線優(yōu)秀教師進(jìn)行整理，欄目組最后定稿。本期刊登了全國(guó)甲卷和全國(guó)

乙卷部分解答題的解法薈萃,其他卷解答題的解法薈萃將在后幾期陸續(xù)刊發(fā)。

參加本期文稿審理的老師有：于雷（云南）、郭博（陜西）、角碧波（云南）、劉鵬飛（陜西）、陳良騏（安徽）。

本刊編輯部對(duì)以上五位老師的辛苦工作及作者的積極供稿表示衷心的感謝！

2022年高考數(shù)學(xué)解答題解法薈萃

■

文章編號(hào)：1002-2171(2022)7-0054-12

_S“+lSnI1_4+i+SnSn11

a—干二+歹二二有一一7+I

【全國(guó)甲卷1a”+iSn

幣—〃5+1)2。

理科第17題（文科第18題）：記S”為數(shù)列｛%｝由已知彳吟一「尹宏代入上式得

的前“項(xiàng)和，已知"1+"=2a”+l。

n

（I）證明：｛七｝是等差數(shù)列；

（11）若4，卬，如成等比數(shù)列，求S“的最小值。

解：（1）證法1由已知及a“=S“-S“_i（”22）

得生+〃=2（$”一>7）+1,所以（《一2）S”=于是二上（&+i—%）=17,由于〃GN+,故a”一1—

〃+1〃十1

a”=l。

—2S“r+1-”,即^^S”=-S”-i+《（1—”）（〃》2）。

nL所以｛%｝是以1為公差的等差數(shù)列。

（云南省曲靖市趙麟高級(jí)中學(xué)俞永先）

兩邊同時(shí)除以1一”,得&=J+梟侖2）。

nn—1L（II）由題意得a?—a｝a9.BP（ai+6）2=（.+3）,

解得用=一。

所以數(shù)列令I(lǐng)是首項(xiàng)為9?，公差為4的等（R+8）,12

In]12解法1a?=—12+（n—l）Xl=n—130

S1當(dāng)l^n^l3,n€N.時(shí)，%&0；當(dāng)，?>13,”GN+

差數(shù)列,所以也=4+春（〃-1）。

n2時(shí),a”>0。

所以當(dāng)n=12或13時(shí)，S.最小，最小值為S=

代入+〃=2%+1,得2al+（〃-1）+〃=12

S13=-78O

（安徽省安慶市第一中學(xué)洪汪寶；陜西省麟游縣

+1，整理得an=a\+n-l（nGN+）o

所以%+i—a”=L中學(xué)韓紅軍；陜西省西安市田家炳中學(xué)馮恒仁）

因此｛七｝是以為公差的等差數(shù)列。權(quán)上。e_125_1/25T625

1解法2S?-J2-Tw-7（n-y）―-

（成都師范學(xué)院德陽高級(jí)中學(xué)王強(qiáng)善;云南省安H

寧中學(xué)朱建;陜西省榆林市榆林高新中學(xué)徐永強(qiáng)）注意到”6N+,所以當(dāng)"=12或13時(shí)，S.最小，

證法2由已知得&=2+￡?^，&+1=蘭苦+最小值為SI2=S13=—78.

n22〃十1（洪汪寶；王強(qiáng)善；韓紅軍；馮恒仁；陜西省漢中市

〃+11四。五學(xué)校侯有岐；陜西省禮泉第一中學(xué)張虎；

~~~2°云南省昆明市第三中學(xué)周躍佳,李毅梅）

參考文獻(xiàn)：43-45.

[1]o.Bottema等著,單博譯，幾何不等式[M].北京：北京[4]安振平.以三正數(shù)為邊長(zhǎng)可構(gòu)成三角形的充要條件及應(yīng)

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C3]安振平.Catulan不等式的加強(qiáng)口],數(shù)學(xué)通報(bào).2008（5）：1993（6）:61-62.

理科第18題：如圖1,在四棱利用等體積法，三棱錐PABD與三棱錐D-PAB

錐P-ABCD中，PD1底面ABCD,的體積相等。

CD//AB,AD=DC=CB=1,設(shè)三棱錐D-PAB的高（點(diǎn)D到平面PAB的距

AB=2,DP=6\離）為人，所以:x日x6'=5xg5x/I,所以/1=

（I）證明：BDJ_PA；

（n）求PD與平面PAB所成爭(zhēng)。設(shè)PD與平面PAB所成的角為a,則sina=

的角的正弦值。

解：（1）證法1如圖2.取ABh_V5

中點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)CE.DE,有AE=PD__r°

EB=DC=1Q所以PD與平面PAB所成角的正弦值為喀。

又因?yàn)镃D〃AB,所以四邊形0

AECD,四邊形BCDE都是平行四（洪汪寶；周步??；云南省曲靖市麒麟?yún)^(qū)第九中學(xué)

邊形。許素娜）

又AD=DC=CB=1,所以平解法2由（I）的證法2知，

行四邊形AECD,平行四邊形BCDE都是菱形，所以如圖4,聯(lián)結(jié)PE,過點(diǎn)D作DGJ_

BD±ECQPE,交PE于點(diǎn)G。

又因?yàn)镋C〃AD,所以BD±ADa因?yàn)镻D_L平面ABCD,所以

由PDJ_平面ABCABDU平面ABCD,所以PD±AB,

PD±BD.又DE±.AB,PD（｝DE=D,

因?yàn)锳E）nPD=D，所以BDJ_平面PAD。所以AB,平面PDE。

因?yàn)镻AU平面PAD,所以BD±PAO又ABU平面PAB,所以平面PAB_L平面PDE。

（四川省成都市成華區(qū)教育科學(xué)研究院周步?。┮?yàn)槠矫鍼ABD平面PDE=PE,所以DG1

證法2由已知可得底面平面PAB。

ABCD是等腰梯形。如圖3,過點(diǎn)于是PG是DP在平面PAB內(nèi)的射影，所以

。作DE_LAB,垂足為E,則AE=/DPG為PD與平面PAB所成角。

又AD=1,所以DE=^，而又PE=J(&■)一(,『二空，

8E=1"，所以BD=V3.根據(jù)DP-DE=PE-DG=^xg=^.解得DG=

在△ABD中,AB?=4,AD2+BD2=產(chǎn)+（6）z=4,

空，所以sin/DPG=^=§。

所以ABZnAO+BD2,所以ADJ_BD。下同證法1。

（洪汪寶；內(nèi)蒙古三浩皿第一中學(xué)武麗）

因此PD與平面PAB所成角的正弦值為喀。

證法3設(shè)示=a.皮=心"=以則|a|=|b|,O

舊=曲,根據(jù)平面幾何知識(shí)可知NADC=120°,于是（洪汪寶）

理科第20題（文科第21題）：

a,b=一：,a?c=b?c=0o又DB=a+2b,AP=

設(shè)拋物線仁丁=2"（?>0）的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)

c-a,所以DB,AP=（a+2b）,（c-a）—a,c—a2+。（60）,過F的直線交C于M,N兩點(diǎn)。當(dāng)直線MD

2b?c-2b-a=0,于是BDJ_PA。垂直于m軸時(shí)，|MF|=3。

（洪汪寶）（I）求（?的方程；

（II）解法1由（I）知AD_LBD,在四棱錐（II）設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為

PABCD中，PD_L底面ABCD,CD//AB,AD=DC=A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為a,3當(dāng)a-B

取得最大值時(shí)，求直線AB的方程。

CB=1,AB=2,DP=V^，所以PA=2,DB=V3,

解：（I）由題意可知，當(dāng)z=P時(shí)，/=2^,不妨

。8=正，又△PAB是等腰三角形，故PB邊上的高

設(shè)點(diǎn)M在i軸上方，則yu=魚力，可知|MD|=g6

為季，所以△ABD的面積Si=寺?BD?AD=

|FD|=1O

yXV3X1=等，△PAB的面積Sz=tX.X在RtAMFD中，|FD「+|DM|?=|FM|"得

（6）+/））z=9,解得4=2。

/To_715

~227°所以C的方程為/=4z。

（陜西省禮泉縣第一中學(xué)魏文宏；廣西全州二由題意可知，直線MN的斜率不為0,設(shè)ZMN：X=

中蔣連軍）

7”+1,由'二[得1y2—4叫y—4=0。

（11）解法1設(shè)直線MN的方程為工=my+l.

當(dāng)m=0時(shí).a-0=O;當(dāng)m>0時(shí)，a-g>0;當(dāng)m<0

故'1+'2=4??,?1?2=-4.則tanff=^-=—.

時(shí),a—，V0。故令，，?>0。

設(shè)M借,”）,N停,山）,將工=吟+1代入_-4_1

tan夕n=一2義4?1=病

丁=4才整理得/一4加、-4=0。①tanQ—tanB_]

所以tan(a-p')

所以v+y2=47〃，v?”=一4。1+tanatan/??〃+_!_

設(shè)直線MA的方程為/=”+2,代入/=4］整in

2

理得y—4ny—8=0o

當(dāng)加>0時(shí),ian（Q一9=-------5"4一

所以力一=一8~八=?！?4=寮同理

2m-\—

m2乙

—r，曰_-8_16,當(dāng)m<0時(shí)，ian（Q—￡）均取負(fù)值。

口I得yn=—，4=

”yztnXH-JCA

所以當(dāng)且僅當(dāng)2,〃=上，即，“=§時(shí)，等號(hào)成立,

V?”2_1mL

2(v+y2)2m

lan（a—￡）取最大值。

^MN-"1

因此tan(a—￡)=4

l+^MN?kyt2/n2+1此時(shí)直線AB的方程為y-）3=-T-（①一

丁3十加

率當(dāng)且僅當(dāng)211,即時(shí),

1V173),即4]—(y+2)y+yy<=0。

2—、2933

8____§_一8(31+”)=

m又因?yàn)椤?==

上式取等號(hào)，lan（a—0）取最大值,從而a—0也取最

大值。8m=4含,y3y4=~-?--=-16

—yzo

此時(shí)心=y，方程①為V—2氏-4=0,解得所以AB的方程為4]-4』y-16=0.即x

y/2y—4=0

y\=5/6+\/20o

（魏文宏）

所以）A=M=2（g-笈），皿=8-4相。

解法3根據(jù)題意設(shè)M（牛，孫N（*）,

所以直線AB的方程為>-2（72-76）=^［T-

A（~,a）其中a,b,m,n互不相等。

（8—4遍）］,化簡(jiǎn)得J?一々y—4=0。

令M=tana，S=tan由由直線的兩點(diǎn)式方程可

（周躍佳；李毅梅；陜西省旬邑縣中學(xué)杜海洋;

得直線MN的方程為。

陜西省漢中市龍崗學(xué)校唐宜鐘；四川省資陽市外國(guó)（"i+"）y=,”"+4i

同理可得直線MA的方程為

語實(shí)驗(yàn)學(xué)校蔡勇全）（,"+a）y=ma+

4z,直線BN的方程為S+的y=6”+4z,直線AB的

解法2當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí),a-S=0;當(dāng)

MN斜率存在時(shí)，設(shè)M（?,g）,N（Hz，”），A（H3,方程為（。+〃）》=?！?47.故k=tana=也=

tm1十〃

y3）,B（x4,乂），由（I）知F（l,0）,D（2,0）,則tana=

,_V一一_V一”_4,ank不^。

位MN22_l_o

”】一12y±_y1v十）2

TT因?yàn)橹本€MN過點(diǎn)F(l,0),故=同理可

QO

又三點(diǎn)共線.則—即三得ma=-8,〃〃=-8,即a=——,b=——。

N,D,Bmn

L.i,__4_4_2_1,

忌亦即^=死故蒞=tan/n?=.,=z鼠=-77-=方舟，

a~rb_8__"m十7?2

4Z4Zmn

即tana=2tan0。

化簡(jiǎn)得“弘=-8,即乂=一肚；同理由M,D,A

yz所以lanQ-tan0_tan/?

tan(a—￡)2

三點(diǎn)共線，得以=一芻。14-tanatanl+2tan^°

y\若tan￡<0,則tana=2tan/?<Ctan夕，即a—0V

4_0因本題是求最大值，不符合題意。

貝I]tanB=o

41力“十乂-2(yi+”)為求最大值?只考慮tan^>0.

2z9小_二t用anB導(dǎo)_與1方麗_1=彳_V2故直線AB的方程為》=芻三孕Lr一（9+

H‘3

tan°產(chǎn)舟21+2（&+@=3Cr-（8+2々）1+2常）。

tana=V2,25/2

當(dāng)且僅當(dāng)《t尸考時(shí)取等號(hào)'此時(shí)lS取得最大值。化簡(jiǎn)得J-V2>—4=0.

（蔣連軍）

3

由卜'可得AB方程為工-夜廠4=0。文科第20題：已知函數(shù)/（T）=j-x,g（x）=

ltz6=—16?r'+a.曲線》=/（工）在點(diǎn)（HI））處的切線也是

（湖北省宜都市第一中學(xué)劉宜兵，蔡欣翱,晏硯）曲線y=g（x）的切線。

解法4：直線MN,AB的傾斜角分別為a,d由（I）若工1=-1,求a；

（I）知F（l,0）,D（2,0）,由點(diǎn)的坐標(biāo)可以設(shè)M（zJ,（n）求a的取值范圍。

解：（I），（工）=3/-1,g'（H）=2工，了|=—1時(shí)

24），^?（《，2,2）,4（4,24），8（。，2，<）,且人/4，否則

/（x）=0,/（x）=2

假設(shè)4=。，由對(duì)稱性得。-0=0。1Io

所以曲線y=/（z）在點(diǎn)（?，八毛））處的切線方

當(dāng)a一￡取得最大值時(shí)，不妨假設(shè)點(diǎn)M在點(diǎn)F的

程為了=2（工+1）。

右側(cè)，點(diǎn)N在點(diǎn)F的左側(cè).則/3<?2<0<Z1<t4.

聯(lián)立尸=21r1），得/-2z+a—2=0,由判別

由直線MN過點(diǎn)F得答二^=字學(xué)，化簡(jiǎn)得

\y=x-ra

式△=（）?解得a=3

a血+1）（“一滑）=。。故八"=一1。o

（周躍佳；李毅梅;云南省昆明市第八中學(xué)角碧波）

由直線MA過點(diǎn)D得第二=字4,化簡(jiǎn)得

（11）/（xi）=z；—JC\,/（為）=3xi—1

防一2發(fā)一2o

所以曲線y=/（z）在點(diǎn)（不，“為））處的切線為

（"￡3+2）（1—4）=0。故Z"3=—2。

y—（宕一力）=（36—1）（］—力）?即y=（3jj—1）x_Zr?

由直線NB過點(diǎn)D得§弓=虻），化簡(jiǎn)得o

解法1設(shè)直線、=（36—1）“一24與曲線y=

（￡2〃+2）（￡2—右）=0。故，2,4=—2。屋外相切于點(diǎn)（72，g（q）），則

，

（g（x2）=2x2=3xj—1,②

直線MN的斜率為tana=芻二孕=74/，直Ig（l2）=4+。=（3竹一1）12—2百。③

由②式得4=嗎二!，代人③式中，整理得。=

線BA的斜率為tan0=2g._，2,tan（?！?

芍—&*3'H

22-y(9x{-8z；—6x1+1)。

tana-tanB_4+二4+-=2（］+"-（一卜）=

設(shè)ACr)=9H?-8X3-6—+ICrWR),則Az(x)=

1+tanatan01+2.2（&+z2）&+。）+4

?］+224+公36/—24/—12x=12x(3x+l)(x—1)0

c（.,2,2\A'(H),A(N)的變化情況如下表:

-2（6+r2+-+-）_-八（-1）

-

—…"再一X(i.一})-T(T,°)0(0,1)1(1.4-00)

\tz/

A'(H)—0+0—0+

設(shè)fCQ=”3），6>1，則Z（/（）=

20

（片+1）（，-47+1）A(?r)、/1-4Z

27

（rl+1）20

令/儲(chǔ)）=0,解得G=”在>1血=約在V所以A（工）在區(qū)間（-8,一內(nèi)單調(diào)遞減，在

1（舍）。區(qū)間（一5，0）內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間（0,1）內(nèi)單調(diào)遞

由函數(shù)的單調(diào)性得/出）（/（隹歲）=條

減，在區(qū)間（1,+8）內(nèi)單調(diào)遞增，所以［A（z）11nm=

A（D=-4,從而a2一L

所以當(dāng)，產(chǎn)氣也時(shí),tan(a—￡)取得最大值，。（角碧波；周躍佳；李轂梅；陜西省禮泉縣第一中

學(xué)康鋒艷）

4

此時(shí)t3=-^-=-=V2-V6,t4=-7-=解法2聯(lián)立產(chǎn)=”￡—。］-2彘得二一。6一

A76+72h\y=jr~ra

2Zi=也+乃。l）z+a+2z；=0o

由判別式△=()得a=9(9z；一8百一6式+1)。InZ=jr—Inz,故/(z)〉。㈡a&z+lnto

又故函數(shù)，=，在區(qū)間(0,口內(nèi)單

下同解法L

(角碧波；周躍佳；李毅梅)調(diào)遞減.在區(qū)間［1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增=

解法3設(shè)》=/(工)在點(diǎn)P(4，/(4))與g(z)設(shè)3(l)=e+ln，.則3(，)在［e,+8)內(nèi)單調(diào)遞

在點(diǎn)Q(q，g(Hz))處的共同的切線斜率為3則出=增，［w(，)］m,n=e+l,故aC(—8.e+l］。

(陳亞聰；張遠(yuǎn)雄；康鋒艷；趙世念；唐宜鐘)

/(71)=g(x)=,即3/-1=2x=

2不一不2解法4先證e，)工+1(當(dāng)且僅當(dāng)工=0時(shí)取等)。

J*2+4-/：+X|設(shè)g(x)=e*x—X—1.則g/(x)=er—1.

“2-?令g'Gr)=0得2=0,當(dāng)工6(-8,0)時(shí),g'(z)V

整理得a=-j-(9—8JTI—6x5+1)o0,g(H)單調(diào)遞減；當(dāng)工，(0,+8)時(shí),g'(工)>0,g(工)

單調(diào)遞增。

下同解法1.所以g(z)>g(0)=0,即e，>z+l(當(dāng)且僅當(dāng)

(康鋒艷；陜西省白河高級(jí)中學(xué)田世廣)Z=0時(shí)取等)得證。

理科第21題：已知函數(shù)/(工)=/一Inz+z-a。于是工(當(dāng)且僅當(dāng)j=l時(shí)取等)

(當(dāng)且僅當(dāng)z=l時(shí)取等).

(1)若/(工)》0,求a的取值范圍；當(dāng)了>0時(shí)，對(duì)兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得

(U)證明:若義工)有兩個(gè)零點(diǎn)?,4,則皿“VI。x^l+lnz,即T-Inz)l(當(dāng)且僅當(dāng)z=l時(shí)取等)。

解：(I)解法1/(工)>00^In1+工一a)所以/(x)=eT-1"i+x_In1一a'e(z—In工)+工一

X

Inr—a=(e+l)(x—Inz)—a2e+l—a(當(dāng)且僅當(dāng)

px

O0a4——Inn+n。x=l時(shí)取等)。

x

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,e+l］.

設(shè)=J—Inz+z(?r>0),，(z)=(陳亞聰；張遠(yuǎn)雄；洪汪寶)

x

J

(e+x)(x-l)a因?yàn)閕>0,所以e，+z>O,>>o.解法5/(x)=---In7+工一aiO0/(z)=

X

因此當(dāng)工6(0,1)"'(工)<0"(工)單調(diào)遞減；當(dāng)--e+z-1-lnz+e+1-a>0。④

單調(diào)遞增。

此時(shí)［/1(Z)］而“=［八(工)」板小值=A(1)=e+1,故a令g(x)=----e(T>0),A(x)=T—1—In工，則

的取值范圍是(一8屋+1，-1)x-1

gt(.r)=2(x>0)./iz(X)=^-L(T>0)

(陜西省漢中市漢臺(tái)中學(xué)魏幗；浙江省平湖市x2IO

當(dāng)湖高級(jí)中學(xué)李璜,曹春??；四川省成都市鐵路中所以8(幻工(工)單調(diào)性一致,在區(qū)間(0,1)內(nèi)單

學(xué)校王琳；陜西省靖邊中學(xué)趙世念；浙江省寧波調(diào)遞減，在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增。

市鎮(zhèn)海中學(xué)虞哲駿；華南師范大學(xué)附屬中學(xué)南海實(shí)所以，g(z)>g(D=0"(z)>/i(l)=0,

驗(yàn)高級(jí)中學(xué)李志剛)當(dāng)e+l-a20時(shí)，④式恒成立，滿足題意；

解法2/(H)=e‘T"'+工一In工一”》0㈡a4當(dāng)e+l-a<0時(shí)./(DV0,④式不恒成立，故此

ei-lnx+x—Inz。時(shí)不滿足題意。

，綜上,a的取值范圍是為(-8,e+l1。

設(shè)A(.JC)=x—In工(工>0),貝i］A(J)=1——=

X(甘肅省蘭州市第七中學(xué)魏國(guó)斌)

￡

^(x>0)o(口)證法1若八公有兩個(gè)零點(diǎn)?Uz,則/(?)=

fS)O

A(z)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,十8)

假設(shè)OVniVIVhz，則X>—,X>1.

內(nèi)單調(diào)遞增，所以A(z)2A(1)=1。2