相平面法課件

相平面法由龐加萊1895年首先提出。該方法通過圖解法將一階和二階系統(tǒng)的運動過程——位置和速度平面上的相軌跡，直觀、形象、準確的反映了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)和穩(wěn)定精度，以及初始條件和參數(shù)對系統(tǒng)運動的影響。其特點——繪制方法步驟簡單、計算量小，特別適用于分析常見非線性特性和一、二階線性環(huán)節(jié)組合而成的非線性系統(tǒng)。相平面法相平面法由龐加萊1895年首先提出。該1一、基本概念：設非線性二階系統(tǒng)可以常微方描述：

〈１〉

其中是x(t)和的線性或非線性函數(shù)。方程〈１〉的解可以用x(t)的時間函數(shù)曲線表示，也可以用和x(t)的關系曲線表示，而t為參變量。若已知x和的時間曲線如下圖中（b）和（c）所示，則可根據(jù)任一時間點的x(t)和的值，

一、基本概念：設非線性二階系統(tǒng)可以常微方描述：〈１〉其中2相平面法課件3得到以x(t)為橫坐標，為縱坐標的相平面上的上圖（a）所示。

相軌跡上對應的點，并由此獲得一條相軌跡，如1、相平面與相變量

x(t)和——系統(tǒng)運動的相變量（狀態(tài)變量）；由x—組成的直角坐標平面——相平面。2、相軌跡相變量從初始時刻對應的狀態(tài)點

隨著時間的推移，在相平面上運動形成

的曲線基本概念（續(xù)）得到以x(t)為橫坐標，為縱坐標的相平面上的上4——相軌跡。

3、相平面圖：

根據(jù)微分方程解的存在和唯一性定理，對于任一給

定的初條，相平面上有一條相軌跡與之對應，多個初條下的運動對應多條相軌跡，形成相軌跡簇。而由一簇相軌跡所組成的圖形——相平面圖。二、相軌跡的繪制：（1）解析法、（2）作圖法、（3）實驗法（一）解析法：

求出相軌跡的解，再畫出相軌跡?；靖拍睿ɡm(xù)）——相軌跡。3、相平面圖：根據(jù)微分方程解的存在和5適用場合：（1）運動方程比較簡單（2）可以分段線性化例1、如圖所示，彈簧—質(zhì)量運動系統(tǒng)，m為物體質(zhì)量，k為彈性系數(shù)。

若初條為

試確定系統(tǒng)自由運動的相軌跡。

解：

相軌跡的繪制（續(xù)）適用場合：（1）運動方程比較簡單（2）可以分段線性化例1、如6可寫為

相軌跡的繪制（續(xù)）可寫為相軌跡的繪制（續(xù)）7

整理有

故該系統(tǒng)自由運動的相軌跡為以原點為圓心，

為半徑的圓。

0相軌跡的繪制（續(xù)）整理有故該系統(tǒng)自由運動為半徑的圓。0相軌跡的8例2、理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)試繪制相軌跡。解：線性部分有，而非線性部分有相軌跡的繪制（續(xù)）例2、理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)試繪制相軌跡。解：線性部分9

相軌跡的繪制（續(xù)）相軌跡的繪制（續(xù)）10可見：直線c=r[在此r=1]

將相平面分成兩個區(qū)域I和II。1）若初始條件處于A點(II內(nèi)):2）過B點后：3）過C點后又進入II區(qū)：周而復始，構(gòu)成封閉曲線。從相軌跡的繪制（續(xù)）可見：直線c=r[在此r=1]1）若初始條件處于A點(II內(nèi)11可見：時間響應呈周期運動狀態(tài)。<二>圖解法繪制相軌跡的作圖方法有多種，如等傾線法、

其中等傾線法以其簡單實用而被普遍采用。相軌跡的繪制（續(xù)）可見：時間響應呈周期運動狀態(tài)。<二>圖解法繪制相軌跡的作圖121、等傾線法的基本思路：首先確定相軌跡的等傾線，進而

繪制出相軌跡的切線方向場，

然后從初條出發(fā)，沿方向場逐步繪制相軌跡。

2、特點：不需求解微分方程。對于求解困難的非線性微分方程，顯得尤為實用。3、方法：對于非線性系統(tǒng)

其中是相軌跡的斜率；圖解法（續(xù)）1、等傾線法的基本思路：首先確定相軌跡的等傾線，進而繪制出13

則有

根據(jù)這一方程可在相平面上作一曲線，稱為等傾線。

當軌跡經(jīng)過該等傾線上任一點時，其切線的斜率都相

等，均為

。取為若干不同

的常數(shù)，即可在相平

相平面上繪制出若干

條等傾線。在等傾線上各點處作斜率為的短直線，并以箭頭表示切線方向，則構(gòu)成相軌跡的切線方向場。

所以，根據(jù)給定的初始條件，從初始點出發(fā)，便可圖解法（續(xù)）則有根據(jù)這一方程可在相平面上作一曲線，稱為等傾線14沿各條等傾線所決定的相軌跡的切線方向依次畫出系統(tǒng)的相軌跡。

例3、若已知試用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。解：圖解法（續(xù)）沿各條等傾線所決定的相例3、若已知試用等傾線法繪制解：圖解法15在作好等傾線的相平面圖上，從初始點出發(fā)順時針將各小線段光滑的連接起來，便圖解法（續(xù)）在作好等傾線的相平圖解法（續(xù)）164、使用等傾線法繪制相軌跡應注意的問題：<1>坐標軸x和應選用相同的比例尺，否則等傾線斜率不準確。得到一條相軌跡。如從A點出發(fā)經(jīng)過B、C、D、E‥‥‥最后逐漸趨于原點。<2>在相平面的上半平面，相軌跡的走向應是由左向右；相反，在下半平面

相軌跡的走向應是由右向左。圖解法（續(xù)）4、使用等傾線法繪制相軌跡應注意的問題：<1>坐標軸x和應選17

<3>除平衡點外，相軌跡與x軸的相交處的切線斜率

，即相軌跡與x軸垂直相交。<4>一般的，等傾線分布越密，繪制的相軌跡越準確，但同時工作量也增大，而且還會使作圖產(chǎn)生的積累偏差增大，因此可采用平均斜率法——取相鄰兩條等傾線所對應的斜率的平均值為兩條等傾線間直線的斜率。圖解法（續(xù)）<3>除平衡點外，相軌跡與x軸的相交處的切線斜率，即相軌18三、線性系統(tǒng)的相軌跡：

線性系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)的特例。對于許多非線性一階和二階系統(tǒng)（系統(tǒng)所含非線性環(huán)節(jié)可用分段折線表示），?？梢苑殖啥鄠€區(qū)間進行研究。而在每個區(qū)間內(nèi)，非線性系統(tǒng)的運動特性可用線性微分方程描述。另外，對于某些非線性微方，為研究各平衡狀態(tài)附近的運動特性，可在平衡點附近作小偏差法近似處理。因此，研究線性一階、二階系統(tǒng)的相軌跡及其特點就顯得尤為重要。因此得出的結(jié)論是非線性一、二階系統(tǒng)相平面分析的基礎。

三、線性系統(tǒng)的相軌跡：線性系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)的特19<一>線性一階系統(tǒng)的相軌跡：

設初始條件<一>線性一階系統(tǒng)的相軌跡：設初始條件20

<二>線性二階系統(tǒng)的相軌跡：

其中A是初條決定的積分常數(shù)，此為同心橢圓。<二>線性二階系統(tǒng)的相軌跡：其中A是初條決定的積分常數(shù)，21可見：無論初條如何，經(jīng)過衰減振蕩，系統(tǒng)最終趨于平衡點——原點。其中由第三章知：都是由初條決定的常數(shù)。由例3可知，相軌跡為向心螺旋線，最終趨于原點。

可見：無論初條如何，經(jīng)過衰減振蕩，系統(tǒng)最終趨于平其中由第三章22此時系統(tǒng)的暫態(tài)分量為非振蕩衰減形式。由第三章可知：可以證明：此時的相軌跡是一簇通過原點的拋物線。存在兩條特殊的等傾線，其斜率分別為：此時系統(tǒng)的暫態(tài)分量為非振蕩衰減形式。由第三章可知：可以證明：234、負阻尼：（分三種）<1>系統(tǒng)特征根為一對具有正實部的共軛復數(shù)根。系統(tǒng)自由運動為發(fā)散振蕩形式。其相軌跡從原點向外卷，為離心螺旋線。

4、負阻尼：（分三種）<1>系統(tǒng)特征根為一對具有24<2>系統(tǒng)特征根為兩個正實根：

系統(tǒng)自由運動呈非振蕩發(fā)散。其相軌跡存在兩條特殊的等傾線，其斜率分別為：相軌跡的曲線的形式與

運動方向相反。的情況相同，只是<2>系統(tǒng)特征根為兩個正實根：系統(tǒng)自由運動呈非振蕩發(fā)為：相25<3>正反饋二階系統(tǒng)：

相軌跡存在的兩條特殊的等傾線也是相軌跡，其斜率分

別為：

同時它們又是其他相軌跡的漸近線

此外作為相平面的分割線，還將相平面劃分為四<3>正反饋二階系統(tǒng)：相軌跡存在的兩條特殊的等傾線也是相軌26當初條位于斜率為的直線上時，系統(tǒng)的運動將趨于原點，但只要受到極其微小的擾動，系統(tǒng)的運動將偏離該相軌跡，并最終沿著斜率為的相軌跡的方向發(fā)散至無窮。所以正反饋二階

系統(tǒng)的運動是不穩(wěn)定的。個具有不同運動狀態(tài)的區(qū)域。正反饋二階系統(tǒng)（續(xù)）當初條位于斜率為的直線上時，系統(tǒng)的運動將趨于原點，但只要受到27四、奇點與奇線

繪制相軌跡的目的是為了分析系統(tǒng)的運動特性。由于系統(tǒng)平衡點有無窮多條相軌跡離開或到達，所以平衡點附近的相軌跡最能反映系統(tǒng)的運動特性。因此平衡點是非常重要的特征點，很有必要加以討論和研究。另外，系統(tǒng)的自激振蕩狀態(tài)也是人們非常關心的問題。前者叫奇點，后者為極限環(huán)（奇線最常見的形式）。四、奇點與奇線繪制相軌跡的目的是為了分析系統(tǒng)28<一>奇點：

1、定義：

以微方表示的二階系統(tǒng)，其相軌跡上每一點切線的斜率為若在某點處

同時為0，

則稱該點為相平面的奇點。

2、性質(zhì)：⑴相軌跡在奇點處的切線斜率不定，表明系統(tǒng)在奇點處可以按任意方向趨近或離開奇

點。因此在奇點處多條相軌跡相交。

<一>奇點：1、定義：以微方表示的二階系統(tǒng)，其相軌跡上每29

⑵在相軌跡的非奇點（稱為普通點）處，不同時滿足

相軌跡的切線斜率是一個確定

的值，故經(jīng)過普通點的相軌跡只有一條。

⑶由奇點定義知，奇點一定位于相平面的橫軸上。⑷在奇點處系統(tǒng)運動的速度和加速度同時為0。

⑸對于二階系統(tǒng)來說，系統(tǒng)在奇點處不再發(fā)生運動，處于平衡狀態(tài)，故相平面的奇點亦稱為平衡點。且二階系統(tǒng)的平衡點即為原點(0，0)。奇點（續(xù)）⑵在相軌跡的非奇點（稱為普通點）處，不同時滿足相軌跡303、線性二階系統(tǒng)奇點的類型：

⑴焦點——特征根為共軛復根

3、線性二階系統(tǒng)奇點的類型：⑴焦點——特征根為共軛復31

⑵節(jié)點——特征根為同號實根⑵節(jié)點——特征根為同號實根32⑶鞍點——一個特征根為正實根，另一個為負實根。

⑷中心點——一對共軛純虛根。奇點（續(xù)）⑶鞍點——一個特征根為正實根，另一個為負實根。⑷中心334、線性一階系統(tǒng)的奇點：只有原點是奇點

5、線性二階系統(tǒng)的特殊情況：奇點（續(xù)）當b=0時，即，此時奇點為橫軸。1）4、線性一階系統(tǒng)的奇點：只有原點是奇點5、線性二階系統(tǒng)的特340奇點（續(xù)）0奇點（續(xù)）35①b>0:系統(tǒng)沒有奇點。相軌跡有漸近線：0②

b<0:系統(tǒng)沒有奇點。相軌跡有漸近線：02）①b>0:系統(tǒng)沒有奇點。0②b<0:系統(tǒng)36①b>0:系統(tǒng)沒有奇點。相軌跡有漸近線：②

b<0:系統(tǒng)沒有奇點。相軌跡有漸近線：3）00①b>0:系統(tǒng)沒有奇點。②b<0:系統(tǒng)沒374）①b>0:系統(tǒng)沒有奇點。00②

b<0:系統(tǒng)沒有奇點。4）4）①b>0:系統(tǒng)沒有奇點。385）05）0396、非線性系統(tǒng)的奇點：<二>奇線由上知，不同的奇點形式，系統(tǒng)在平衡點附近的運動特性不同，線性系統(tǒng)可由奇點附近的運動特性解析，可在某奇點附近進行小偏差法近似，然后按線性二階系統(tǒng)分析其類型。不解析，多含有用

分段折線表示的非線性因素，可將相平面分區(qū)，再分析，若對應的奇點位于本區(qū)域內(nèi)，則叫實奇點，否則為虛奇點。

若6、非線性系統(tǒng)的奇點：<二>奇線由上知，不同的奇點形式，系統(tǒng)40完全確定其性能。而非線性系統(tǒng)不能由奇點的形式確定整個相平面上的運動狀態(tài)，還需研究相平面上遠離平衡點的相軌跡。在離奇點較遠的相平面上，非線性系統(tǒng)有時會產(chǎn)生特殊的相軌跡，將相平面劃分為具有不同運動特點的多個區(qū)域，這種特殊的相軌跡就稱為奇線，最常見的形式是極限環(huán)。1、極限環(huán)的定義：相平面圖上的一根孤立的封閉相軌跡稱為極限環(huán)，它對應的系統(tǒng)會產(chǎn)生自激振蕩。奇線（續(xù)）完全確定其性能。而非線性系統(tǒng)不能由奇點的形式奇線（續(xù)）412、極限環(huán)的類型：2）不穩(wěn)定的極限環(huán)：

環(huán)內(nèi)的相軌跡和環(huán)外的相軌跡都逐漸遠離極限環(huán)。

3）半穩(wěn)定的極限環(huán)：

要么環(huán)內(nèi)的相軌跡向極限

環(huán)逼近，環(huán)外的遠離而去；

1）穩(wěn)定的極限環(huán)：環(huán)內(nèi)的相軌跡和環(huán)外的相軌跡都向極限環(huán)逼近，如右圖。2、極限環(huán)的類型：2）不穩(wěn)定的極限環(huán)：環(huán)內(nèi)的相軌跡和環(huán)外42要么環(huán)外的相軌跡向極限

環(huán)逼近，環(huán)內(nèi)的遠離而去。

3、說明：①極限環(huán)將相平面分割成內(nèi)部平面和外部平面，相軌跡不能從內(nèi)部直接穿過極限環(huán)而進入外部平面，或者相反。

②時的二階系統(tǒng)的相軌跡雖然是一簇封閉的曲

線，但它不是極限環(huán)。③只有穩(wěn)定的極限環(huán)所對應的周期運動在實際系統(tǒng)運動過程中才可以觀察得到。奇線（續(xù)）要么環(huán)外的相軌跡向極限環(huán)逼近，環(huán)內(nèi)的遠離而去。3、說明43將奇點類型的分析和極限環(huán)類型的判斷結(jié)合起來，就能對整個系統(tǒng)的運動特性做出分析。例4、已知一非線性系統(tǒng)

試分析其運動特性。解：

ro奇線（續(xù)）將奇點類型的分析和極限環(huán)類型的判斷結(jié)合起來，就能對整個系統(tǒng)的44最后得到以極坐標變量描述的運動方程<1>當時，為系統(tǒng)平衡點即奇點

（在原點的附近小偏差法近似）。為確定奇點的類型，

需計算奇點處的一階偏導數(shù)。奇線（續(xù)）最后得到以極坐標變量描述的運動方程<1>當時，為系統(tǒng)平衡點即45

將⑴⑵在奇點附近線性化有在此可令奇線（續(xù)）將⑴⑵在奇點附近線性化有在此可令奇線（46

在此a=1,b=1,c=-1,d=1，則此時方程的特征根為一對

具有正實部的共軛復數(shù)，所以奇點（0，0）為不穩(wěn)定焦點。奇線（續(xù)）在此a=1,b=1,c=-1,d=1，則此時方程的特征根47①若r<1，所以圓內(nèi)的相軌跡亦向單位圓逼近。②若r>1，所以圓外的相軌跡亦向單位圓逼近。

<2>，方程為即為時的相軌跡為單位圓且奇線（續(xù)）①若r<1，所以圓內(nèi)的相軌跡亦向單位圓逼近。②若r>148五、由相軌跡求取時間間隔：★該系統(tǒng)的奇點為不穩(wěn)定的焦點，說明平衡點的運動特性是不穩(wěn)定的。而單位圓外的相軌跡是逼近單位圓的，振蕩幅值會越來越小。這說明：系統(tǒng)產(chǎn)生的是衰減振蕩，且是有界的。相軌跡能清楚地反映系統(tǒng)的狀態(tài)變化，而確定時間響應。周期運動的周期和過渡過程時間，都要涉及到由相軌跡確定時間t。常用下列三種方法：

五、由相軌跡求取時間間隔：★該系統(tǒng)的奇點為不穩(wěn)定的焦點，說明49（由軌跡平均斜率求t）：1、增量法設相軌跡上兩點的位移增量較小。設為兩點處的平均值，則相軌跡狀態(tài)變量（由軌跡平均斜率求t）：1、增量法設相軌跡上兩點的位移增50同理可求

以及時域指標。

★注意：在選擇相軌跡穿過橫軸段的點時，應避免出最好是將其中一點選在橫軸上。現(xiàn)

2、積分法（即面積法）

根據(jù)相軌跡圖，以x為橫坐標，為縱坐標，曲線。畫出同理可求以及時域指標。★注意：在選擇相軌跡穿過橫軸段的點51當時間軸由時有：

即為陰影面積，用解析法或圖解法均可求得此面積。

3、圓弧法⑴基本思路：當時間軸由時有：即為陰影面積，用可求得此面積。3、圓弧法52在橫軸上確定圓心和半徑，用對應圓上的一段圓弧近似表示相軌跡上的兩點

線，再計算系統(tǒng)沿著諸圓弧運動所需的時間。

之間的曲⑵

方法：設圓心坐標(A，0)，半徑為r，圓心到的連線與x軸在橫軸上確定圓心和半徑，用對應圓上的一段圓弧近似表示相軌跡上53正方向的夾角分別為弧上任一點正方向的夾角分別為弧上任一點54

用相平面法分析非線性系統(tǒng)時，通常會遇到兩類問題。一類是系統(tǒng)的非線性方程可解析處理的，稱為非本質(zhì)性非線性，即在奇點附近將非線性方程線性化，然后根據(jù)線性化方程式中根的性質(zhì)確定奇點的類型，并用圖解法或解析法畫出奇點附近的相軌跡。另一類非線性方程是不可解析處理的，稱為本質(zhì)性非線性。對于這類非線性系統(tǒng)，一般將非線性元件的特性作分段線性化處理，即把整個相平面分成若干個區(qū)域，使每一個區(qū)域成為一個單獨的線性工作狀態(tài)，有其相應的微分方程和奇點，再應用線性系統(tǒng)的相平面分析方法，求得各個區(qū)域內(nèi)的相軌跡，將他們拼接起來，就得到整個系統(tǒng)的相平面圖。用相平面法分析非線性系統(tǒng)時，通常會遇到兩類問題55非線性系統(tǒng)的相平面分析（續(xù)）

這些曲線中折線的各轉(zhuǎn)折點，構(gòu)成了相平面區(qū)域的分界線，稱為開關線。這種方法不僅能分析二階系統(tǒng)自由運動特性，也能分析系統(tǒng)在外界作用下的運動特性，并能確定系統(tǒng)運動的性能指標，如運動時間、運動速度、超調(diào)量等。

8.6.1非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)

【例1】求由下列方程所描述系統(tǒng)的相軌跡圖，并分析該系統(tǒng)奇點的穩(wěn)定性。非線性系統(tǒng)的相平面分析（續(xù)）這些曲線中折線的56非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）解系統(tǒng)相軌跡微分方程為則求得系統(tǒng)的兩個奇點為為確定奇點類型，需計算各奇點處的一階偏導數(shù)及增量線性化方程。非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）解系統(tǒng)相軌跡微分方程為則求得系統(tǒng)57非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）(1)奇點（0，0）處:增量線性化方程為特征根為

故奇點（0，0）為穩(wěn)定焦點。(2)奇點（-2，0）處:非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）(1)奇點（0，0）處:增量線性化方58增量線性化方程為特征根為

故奇點（-2，0）為鞍點。非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）

根據(jù)奇點的位置和奇點類型，結(jié)合線性系統(tǒng)奇點類型和系統(tǒng)運動形式的對應關系，繪制本系統(tǒng)在各奇點附近的相軌跡，應用等傾線法繪制其它區(qū)域的相軌跡，獲得系統(tǒng)的相平面圖。

增量線性化方程為特征根為故奇點（-2，0）為鞍點。非本質(zhì)性59非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）圖中相交于鞍點（-2，0）的兩條相軌跡為奇線，將相平面劃分為兩個區(qū)域，相平面中陰影線內(nèi)區(qū)域為系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域，陰影線外區(qū)域為系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域。如果狀態(tài)的初始點位于圖中的陰影區(qū)域內(nèi)，則其相軌跡將收斂于坐標原點，相應的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果狀態(tài)的初始點位于圖中的陰影區(qū)域外，則其相軌跡會趨于無窮遠處，表示相應的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）圖中相交于鞍點（-2，0）的兩條相軌60由此可見，非線性系統(tǒng)的運動及其穩(wěn)定性與初始條件有關。非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）【例2】設一階非線性系統(tǒng)的微分方程為試確定系統(tǒng)有幾個平衡狀態(tài)，分析各平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，并作出系統(tǒng)的相軌跡。所以系統(tǒng)有3個平衡狀態(tài)。

在每一個平衡點處，將系統(tǒng)線性化處理，省略增量符號“

Δ

”，則有：由此可見，非線性系統(tǒng)的運動及其穩(wěn)定性與初始條件有關。非本質(zhì)性61非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）所以線性化方程為其特征方程為：非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）所以線性化方程為其特征方程為：62所以線性化方程為其特征方程為：所以線性化方程為其特征方程為：非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）所以線性化方程為其特征方程為：所以線性化方程為其特征方程638.6.2本質(zhì)性非線性系統(tǒng)本質(zhì)性非線性系統(tǒng)相平面分析法的步驟如下：(1)根據(jù)非線性特性將相平面劃分為若干區(qū)域，建立每個區(qū)域的線性微分方程來描述系統(tǒng)的運動特性。(2)根據(jù)分析問題的需要，適當選擇相平面坐標軸，

通常為(3)根據(jù)非線性特性建立相平面上開關線方程。必須注意：開關線方程的變量應與坐標軸所選坐標變量一致。

(4)求解每個區(qū)域的微分方程，繪制相軌跡。8.6.2本質(zhì)性非線性系統(tǒng)本質(zhì)性非線性系統(tǒng)相平面分析法的步64本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）（5）平滑的將各區(qū)域的相軌跡連起來，得到整個系統(tǒng)的相軌跡。據(jù)此分析非線性系統(tǒng)的運動特性。例1、如圖所示