第04章-機(jī)器人動(dòng)力學(xué)剖析課件

第四章機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)

第一節(jié)前言機(jī)器人動(dòng)力學(xué)是研究機(jī)器人運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)方程的建立。其實(shí)際動(dòng)力學(xué)模型可以根據(jù)已知的物理定律(例如牛頓或拉格朗日力學(xué)定律)求得。

第四章機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)第一節(jié)前言1前面我們所研究的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)都是在穩(wěn)態(tài)下進(jìn)行的，沒(méi)有考慮機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。實(shí)際上，機(jī)器人的動(dòng)態(tài)性能不僅與運(yùn)動(dòng)學(xué)相對(duì)位置有關(guān)，還與機(jī)器人的結(jié)構(gòu)形式、質(zhì)量分布、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位置、傳動(dòng)裝置等因案有關(guān)。機(jī)器人動(dòng)態(tài)性能由動(dòng)力學(xué)方程描述，動(dòng)力學(xué)是考慮上述因素，研究機(jī)器人運(yùn)動(dòng)與關(guān)節(jié)力(力矩)間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。描述這種動(dòng)態(tài)關(guān)系的微分方程稱為機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)要解決兩類問(wèn)題：動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題和逆問(wèn)題。前面我們所研究的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)都是在穩(wěn)態(tài)下進(jìn)行的，沒(méi)有考慮機(jī)器2

正動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。即機(jī)器人各執(zhí)行器的驅(qū)動(dòng)力或力矩為已知，求解機(jī)器人關(guān)節(jié)變量在關(guān)節(jié)變量空間的軌跡或末端執(zhí)行器在笛卡爾空間的軌跡，這稱為機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的正面求解，簡(jiǎn)稱為正動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。逆動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。即機(jī)器人在關(guān)節(jié)變量空間的軌跡已確定，或末端執(zhí)行器在笛卡爾空間的軌跡已確定（軌跡已被規(guī)劃），求解機(jī)器人各執(zhí)行器的驅(qū)動(dòng)力或力矩，這稱為機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的反面求解，簡(jiǎn)稱為逆動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

正動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。即機(jī)器人各執(zhí)行器的驅(qū)動(dòng)力或力3簡(jiǎn)單的講：動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題是——根據(jù)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩或力，計(jì)算機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)(關(guān)節(jié)位移、速度和加速度)；動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題是——已知軌跡對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)位移、速度和加速度，求出所需要的關(guān)節(jié)力矩或力。不考慮機(jī)電控制裝置的慣性、摩擦、間隙、飽和等因素時(shí)，n自由度機(jī)器人動(dòng)力方程為n個(gè)二階耦合非線性微分方程。方程中包括慣性力/力矩、哥氏力/力矩、離心力/力矩及重力/力矩，是一個(gè)耦合的非線性多輸入多輸出系統(tǒng)。對(duì)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的研究，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、牛頓一歐拉(Newton—Euler)、高斯(Gauss)、凱恩(Kane)、旋量對(duì)偶數(shù)、羅伯遜一魏登堡(Roberson—Wittenburg)等方法。簡(jiǎn)單的講：4

研究機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的目的是多方面的。動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題與機(jī)器人的仿真有關(guān)；逆問(wèn)題是為了實(shí)時(shí)控制的需要，利用動(dòng)力學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制，以期達(dá)到良好的動(dòng)態(tài)性能和最優(yōu)指標(biāo)。在設(shè)計(jì)中需根據(jù)連桿質(zhì)量、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)參數(shù)、傳動(dòng)機(jī)構(gòu)特征和負(fù)載大小進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真，從而決定機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)和傳動(dòng)方案，驗(yàn)算設(shè)計(jì)方案的合理性和可行性，以及結(jié)構(gòu)優(yōu)化程度。在離線編程時(shí)，為了估計(jì)機(jī)器人高速運(yùn)動(dòng)引起的動(dòng)載荷和路徑偏差，要進(jìn)行路徑控制仿真和動(dòng)態(tài)模型仿真。這些都需要以機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)。研究機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的目的研究機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的目的是多方面的。研究機(jī)器人5第二節(jié)機(jī)器人的靜力學(xué)

機(jī)器人靜力學(xué)研究機(jī)器人靜止或者緩慢運(yùn)動(dòng)時(shí)作用在手臂上的力和力矩問(wèn)題，特別是當(dāng)手端與外界環(huán)境有接觸力時(shí)，各關(guān)節(jié)力矩與接觸力的關(guān)系。第二節(jié)機(jī)器人的靜力學(xué)機(jī)器人靜力學(xué)研究機(jī)器人靜止或6一、虛功原理在介紹機(jī)器人靜力學(xué)之前，首先要說(shuō)明一下靜力學(xué)中所需要的虛功原理（principleofvirtualwork）。約束力不作功的力學(xué)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)平衡的必要且充分條件是對(duì)結(jié)構(gòu)上允許的任意位移（虛位移）施力所作功之和為零。這里所指的虛位移（virtualdisplacement）是描述作為對(duì)象的系統(tǒng)力學(xué)結(jié)構(gòu)的位移，不同于隨時(shí)間一起產(chǎn)生的實(shí)際位移。為此用“虛”一詞來(lái)表示。而約束力（forceofconstraint）是使系統(tǒng)動(dòng)作受到制約的力。一、虛功原理7下面看一個(gè)例子來(lái)理解一下實(shí)際上如何使用虛功原理。如圖4－1所示，已知作用在杠桿一端的力，試用虛功原理求作用于另一端的力。假設(shè)杠桿長(zhǎng)度，已知。

圖4－1杠桿及作用在它兩端上的力下面看一個(gè)例子來(lái)理解一下實(shí)際上如何使用虛功8

按照虛功原理，杠桿兩端受力所作的虛功應(yīng)該是

（4－1）

式中，，是杠桿兩端的虛位移。而就虛位移來(lái)講，下式成立

（4－2）

按照虛功原理，杠桿兩端受力所作的虛功應(yīng)該9式中，是繞杠桿支點(diǎn)的虛位移。把式（4－2）代入式（4－1）消去、，可得到下式

（4－3）由于公式（4－3）對(duì)任意的都成立，所以有下式成立式中，是繞杠桿支點(diǎn)的虛位移。把式10

因此得到

（4－4）

當(dāng)力向下取正值時(shí)，則為負(fù)值，由于的正方向定義為向上，所以這時(shí)表明的方向是向下的，即此時(shí)和的方向都朝下。

因此得到11二、機(jī)器人靜力學(xué)關(guān)系式的推導(dǎo)

利用前面的虛功原理來(lái)推導(dǎo)機(jī)器人的靜力學(xué)關(guān)系式。如圖4－2所示的機(jī)械手，要產(chǎn)生圖（a）所示的虛位移，推導(dǎo)出圖（b）所示各力之間的關(guān)系式。這一推導(dǎo)方法本身也適用于一般的情況。圖4－2機(jī)械手的虛位移和施加的力

二、機(jī)器人靜力學(xué)關(guān)系式的推導(dǎo)利用前面的12假設(shè)：手爪的虛位移為關(guān)節(jié)的虛位移為手爪力為關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力為如果施加在機(jī)械手上的力作為手爪力的反力（用來(lái)表示）時(shí)，機(jī)械手的虛功可表示為：（4－5）假設(shè)：13

為此，如果應(yīng)用虛功原理，則得到

（4－6）這里，手爪的虛位移和關(guān)節(jié)的虛位移之間的關(guān)系，用雅克比矩陣表示為

（4－7）把式（4－7）代入式（4－6），提出公因數(shù)，可得到下式（4－8）為此，如果應(yīng)用虛功原理，則得到14由于這一公式對(duì)任意的都成立，因此得到下式成立

（4－9）

進(jìn)一步整理，把式中第二項(xiàng)移到等式右邊，并取兩邊的轉(zhuǎn)置，則可得到下面的機(jī)械手靜力學(xué)關(guān)系式

（4－10）上式表示了機(jī)械手在靜止?fàn)顟B(tài)為產(chǎn)生手爪力的驅(qū)動(dòng)力。

由于這一公式對(duì)任意的都成立，因15為了加深理解，下面分別求解圖4－3所示的2自由度機(jī)械手在圖示位置時(shí)，生成手爪力或的驅(qū)動(dòng)力或。圖示為，時(shí)的姿態(tài)。圖4－3求生成手爪力或的驅(qū)動(dòng)力

為了加深理解，下面分別求解圖4－3所示的16由關(guān)節(jié)角給出如下姿態(tài)

則由式（4－10）可以得到驅(qū)動(dòng)力如下從求解的結(jié)果看到，在這里驅(qū)動(dòng)力的大小為手爪力的大小和手爪力到作用線距離的乘積。

由關(guān)節(jié)角給出如下姿態(tài)17三、慣性矩的確定動(dòng)力學(xué)不僅與驅(qū)動(dòng)力有關(guān)，還與繞質(zhì)心的慣性矩有關(guān)。下面以一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為例，了解慣性矩的物理意義。如圖4－4所示，若將力作用到質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)時(shí)的平移運(yùn)動(dòng)，看作是運(yùn)動(dòng)方向的標(biāo)量，則可以表示為：

（4－11）式中，表示加速度。三、慣性矩的確定18若把這一運(yùn)動(dòng)看作是質(zhì)量可以忽略的棒長(zhǎng)為的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則得到加速度和力的關(guān)系式為

（4－12）

（4－13）圖4－4質(zhì)點(diǎn)平移運(yùn)動(dòng)作為回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的解析式中，和是繞軸回轉(zhuǎn)的角加速度和慣性矩。若把這一運(yùn)動(dòng)看作是質(zhì)量可以忽略的棒長(zhǎng)為19將式（4－12）、（4－13）代入式（4－11），得到（4－14）如，則式（4－14）就改寫為

（4－15）上式是質(zhì)點(diǎn)繞固定軸進(jìn)行回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程式。與式（4－11）比較相當(dāng)于平移運(yùn)動(dòng)時(shí)的質(zhì)量，在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中稱為慣性矩。

將式（4－12）、（4－13）代入式（4－120對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的物體，求解其慣性矩，可以將其分割成假想的微小物體，然后再把每個(gè)微小物體的慣性矩加在一起。這時(shí)，微小物體的質(zhì)量及其微小體積的關(guān)系，可用密度表示為

（4－16）所以，微小物體的慣性矩，依據(jù)式，可以寫成（4－17）

因此，整個(gè)物體的慣性矩通過(guò)積分求得如下：

（4－18）對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的物體，求解其慣性矩，可21四、運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)的關(guān)系

如圖4－5所示，在機(jī)器人的手爪接觸環(huán)境時(shí)，手爪力的驅(qū)動(dòng)力的關(guān)系起重要作用，在靜止?fàn)顟B(tài)下處理這種關(guān)系稱為靜力學(xué)（statics）。圖4－5手爪力的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力

四、運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)的關(guān)系如圖422

在考慮控制時(shí)，就要考慮在機(jī)器人的動(dòng)作中，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力會(huì)產(chǎn)生怎樣的關(guān)節(jié)位置、關(guān)節(jié)速度、關(guān)節(jié)加速度，處理這種關(guān)系稱為動(dòng)力學(xué)（dynamics）。對(duì)于動(dòng)力學(xué)來(lái)說(shuō)，除了與連桿長(zhǎng)度有關(guān)之外，還與各連桿的質(zhì)量，繞質(zhì)量中心的慣性矩，連桿的質(zhì)量中心與關(guān)節(jié)軸的距離有關(guān)。如圖4－6所示。圖4－6與動(dòng)力學(xué)有關(guān)的各量

在考慮控制時(shí)，就要考慮在機(jī)器人的動(dòng)作中，關(guān)23

運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)中各變量的關(guān)系如圖4－7所示。圖中用虛線表示的關(guān)系可通過(guò)實(shí)線關(guān)系的組合表示，這些也可作為動(dòng)力學(xué)的問(wèn)題來(lái)處理。圖4－7運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)的關(guān)系

運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)中各變量的關(guān)系如圖424第三節(jié)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程式

一、機(jī)器人的動(dòng)能與位能1．動(dòng)能

為了導(dǎo)出多關(guān)節(jié)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程式，首先要了解機(jī)器人的動(dòng)能和位能。先看圖4－8所表示的第個(gè)連桿的運(yùn)動(dòng)能量。圖4－8第個(gè)連桿的旋轉(zhuǎn)速度和重心的平移速度

第三節(jié)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程式一、機(jī)器人的動(dòng)能與位能25剛體的運(yùn)動(dòng)能量，是由該剛體的平移構(gòu)成的運(yùn)動(dòng)能量，與該剛體的旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成的運(yùn)動(dòng)能量之和表示的。因此，圖4－8中表示的連桿的運(yùn)動(dòng)能量，可以用下式表示：（4－19）

式中，為連桿的運(yùn)動(dòng)能量，為質(zhì)量，為在基準(zhǔn)坐標(biāo)系上表示的重心的平移速度向量，為在基準(zhǔn)坐標(biāo)系上表示的連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為在基準(zhǔn)坐標(biāo)系上表示的轉(zhuǎn)動(dòng)速度向量。剛體的運(yùn)動(dòng)能量，是由該剛體的平移構(gòu)成的運(yùn)動(dòng)26因?yàn)闄C(jī)器人的全部運(yùn)動(dòng)能量，由各連桿的運(yùn)動(dòng)能量的總和表示，所以得到（4－20）式中，為機(jī)器人的關(guān)節(jié)總數(shù)。其次我們來(lái)考慮把作為機(jī)器人各關(guān)節(jié)速度的函數(shù)。這里與分別表示如下：（4－21）（4－22）因?yàn)闄C(jī)器人的全部運(yùn)動(dòng)能量，由27式中，是與第個(gè)連桿重心位置的平移速度相關(guān)的雅可比矩陣，是與第個(gè)連桿轉(zhuǎn)動(dòng)速度相關(guān)的雅可比矩陣。為了區(qū)別于與指尖速度相關(guān)的雅可比矩陣，在上面標(biāo)明了注角（）。

（4－23）（4-24）

在式（4－23）和式（4－24）中，包含著0分量，這是因?yàn)榈趥€(gè)連桿的運(yùn)動(dòng)與其以后的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)是無(wú)關(guān)的。

式中，是與第個(gè)連桿重心位置的平28現(xiàn)在將式（4－21）和式（4－22）代進(jìn)式（4－19）和式（4－20），機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)能量公式可以寫成（4－25）令（4－26）則機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)能量公式（4－25）寫為（4－27）這里表示的稱為機(jī)器人的慣性矩陣。

現(xiàn)在將式（4－21）和式（4－22）代進(jìn)式（292．勢(shì)能機(jī)器人的勢(shì)置能量和運(yùn)動(dòng)能量一樣，也是由各連桿的位置能量的總和給出，因此可用下式表示：（4－28）式中，表示重力加速度，它是一個(gè)在基準(zhǔn)坐標(biāo)系上表示的三維向量。表示從基準(zhǔn)坐標(biāo)系原點(diǎn)，到個(gè)連桿的重心位置的位置向量。

2．勢(shì)能30二、機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的建立舉例

1．牛頓─歐拉方程式首先，以單一剛體為例，如圖4－9所示，其運(yùn)動(dòng)方程式可用下式表示

（4－29）

（4－30）

圖4－9單一剛體

二、機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的建立舉例1．牛頓─歐拉方程式31

式（4－29）和式（4－30）分別被稱為牛頓運(yùn)動(dòng)方程式及歐拉運(yùn)動(dòng)方程式。式中，是剛體的質(zhì)量；是繞重心的慣性矩陣，的各元素表示對(duì)應(yīng)的力矩元素和角加速度元素間的慣性矩；是作用于重心的平動(dòng)力；是慣性矩；是重心的平移速度；是角速度。

32下面求解一下圖4－10所示的1自由度機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)方程式，在這里，由于關(guān)節(jié)軸制約連桿的運(yùn)動(dòng)，所以可以將式（4－30）的運(yùn)動(dòng)方程式看作是繞固定軸的運(yùn)動(dòng)。圖4－101自由度機(jī)械手下面求解一下圖4－10所示的1自由度機(jī)械手的33假設(shè)繞關(guān)節(jié)軸的慣性矩為，取垂直紙面的方向?yàn)檩S，則得到（4－31）（4－32）假設(shè)繞關(guān)節(jié)軸的慣性矩為，取垂直紙面的方向?yàn)?4式中，是重力常數(shù)；是在第3行第3列上具有繞關(guān)節(jié)軸慣性矩的慣性矩陣。把這些公式代入式（4－30），提取只有分量的回轉(zhuǎn)，則得到（4－33）該式為1自由度機(jī)械手的歐拉運(yùn)動(dòng)方程式，其中：（4－34）

對(duì)于一般形狀的連桿，在式（4－31）中，由于除第3分量以外其他分量皆不為0，所以的第1、2分量成了改變軸方向的力矩，但在固定軸的場(chǎng)合，與這個(gè)力矩平衡的約束力生成式（4－32）的第1、2分量，不產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)。

式中，是重力常數(shù)；是在第352．拉格朗日方程式

拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式一般表示為（4－35）式中，是廣義坐標(biāo)，是廣義力。拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式也可以表示為（4－36）這里，是拉格朗日算子，是動(dòng)能，是勢(shì)能。

2．拉格朗日方程式36

現(xiàn)在再以前面推導(dǎo)的1自由度機(jī)械手為例，利用拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式來(lái)具體求解，假設(shè)為廣義坐標(biāo)，則得到

由于所以用置換式（4－35）中的廣義坐標(biāo)后，可得到下式（4－37）該式與前面推導(dǎo)的結(jié)果完全一致。

現(xiàn)在再以前面推導(dǎo)的1自由度機(jī)械手為例，利用拉格37

下面推導(dǎo)2自由度機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)方程式，如圖4－11所示。在推導(dǎo)時(shí)，把，當(dāng)作廣義坐標(biāo)，，當(dāng)作廣義力，求拉格朗日算子，代入式（4－35）的拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式即可。（4-38）（4－39）圖4－112自由度機(jī)械手

下面推導(dǎo)2自由度機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)方程式，如圖4－1138（4－40）

（4－41）

式中，是第個(gè)連桿質(zhì)量中心的位置向量。（4－42）（4－43）（4－44）（4－45）根據(jù)理論力學(xué)的知識(shí)，各連桿的動(dòng)能可用質(zhì)量中心平移運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和繞質(zhì)量中心回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和來(lái)表示。

39

由式（4－42）～（4－45），得到式（4－38），（4－40）中的質(zhì)量中心速度和為

（4－46）（4－47）利用式（4－38）～（4－41）和式（4－46）、（4－47），通過(guò)下式（4－48）由式（4－42）～（4－45），得到式（4－340可求