彈性力學(xué)與有限元完整版課件

有限元法及其應(yīng)用有限元法及其應(yīng)用1第一篇彈性力學(xué)第一章彈性力學(xué)基本方程1.1緒論1.2彈性力學(xué)的基本假定1.3幾個(gè)基本概念1.4彈性力學(xué)基本方程第二章彈性力學(xué)平面問題2.1平面應(yīng)力問題2.2平面應(yīng)變問題2.3平面問題的基本方程第三章彈性力學(xué)問題求解方法簡(jiǎn)述

第一篇彈性力學(xué)第一章彈性力學(xué)基本方程2第一章彈性力學(xué)基本方程1.1緒論1.2彈性力學(xué)的基本假定1.3幾個(gè)基本概念1.4彈性力學(xué)基本方程第一章彈性力學(xué)基本方程3應(yīng)力應(yīng)變位移彈性體外界作用彈性力學(xué)基本內(nèi)容外力溫度變化應(yīng)力應(yīng)變位移彈性體外界作用彈性力學(xué)基本內(nèi)容4彈性力學(xué)，又稱彈性理論。是研究彈性體由于外力載荷或者溫度改變，物體內(nèi)部所產(chǎn)生的位移、變形和應(yīng)力分布等。為解決工程結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度，剛度和穩(wěn)定性問題作準(zhǔn)備。彈性力學(xué)的研究對(duì)象：是完全彈性體，包括構(gòu)件、板和三維彈性體，比材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究范圍更為廣泛。研究的內(nèi)容：外力作用下應(yīng)力、應(yīng)變、位移1.1彈性力學(xué)緒論彈性力學(xué)，又稱彈性理論。1.1彈性力學(xué)緒論5物體變形——彈性變形、塑性變形彈性變形：當(dāng)外力撤去以后恢復(fù)到原始狀態(tài)，沒有變形殘留，材料的應(yīng)力和應(yīng)變之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。與時(shí)間無關(guān)，也與變形歷史無關(guān)。塑性變形：當(dāng)外力撤去以后尚殘留部分變形量，不能恢復(fù)到原始狀態(tài)，——即存在永久變形。應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系不再一一對(duì)應(yīng)，與時(shí)間、與加載歷程有關(guān)。物體變形——彈性變形、塑性變形6彈性：假定“完全彈性”關(guān)系，是抽象出來的理想模型。完全彈性是指在一定溫度條件下，材料的應(yīng)力和應(yīng)變之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系。材料模型包括：線性彈性體非線性彈性體彈性：假定“完全彈性”關(guān)系，是抽象出來的理想模型。71.2彈性力學(xué)的基本假定連續(xù)性假設(shè)根據(jù)這一假設(shè)，物體的所有物理量，例如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等均成為物體所占空間的連續(xù)函數(shù)。均勻性假設(shè)

假設(shè)彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的，物體各個(gè)部分的物理性質(zhì)都是相同的，不隨坐標(biāo)位置的變化而改變。在處理問題時(shí)，可以取出物體的任意一個(gè)小部分討論。。1.2彈性力學(xué)的基本假定連續(xù)性假設(shè)83.各向同性假設(shè)

假定物體在各個(gè)不同的方向上具有相同的物理性質(zhì)，物體的彈性常數(shù)不隨坐標(biāo)方向變化。

像木材、竹子以及纖維增強(qiáng)材料等，屬于各向異性材料，它們是復(fù)合材料力學(xué)研究的對(duì)象。

4.完全彈性假設(shè)

應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，與時(shí)間及變形歷史無關(guān)。滿足胡克定理。5.小變形假設(shè)

在彈性體的平衡等問題討論時(shí)，不考慮因變形所引起的幾何尺寸變化，使用物體變形前的幾何尺寸來替代變形后的尺寸。采用這一假設(shè)，在基本方程中，略去位移、應(yīng)變和應(yīng)力分量的高階小量，使基本方程成為線性的偏微分方程組。3.各向同性假設(shè)91.3幾個(gè)基本概念外力一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的形變位移分量1.3幾個(gè)基本概念外力10作用于物體的外力可以分為3種類型：體力、面力、集中力。體力——就是分布在物體整個(gè)體積內(nèi)部各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力，又稱為質(zhì)量力。例如物體的重力，慣性力，電磁力等等。面力——是分布在物體表面上的力，例如風(fēng)力，靜水壓力，物體之間的接觸力等。集中力——作用物體一點(diǎn)上的力。（在彈性力學(xué)中一般不用，而在有限元中經(jīng)常出現(xiàn)）1外力作用于物體的外力可以分為3種類型：1外力11①體力物體任意一點(diǎn)P所受體力的大小和方向，在P點(diǎn)區(qū)域取一微小體積元素△V，設(shè)△V的體力合力為△F，則△V的平均體力為當(dāng)△V趨近于0，則為P點(diǎn)的體力①體力△V的平均體力為當(dāng)△V趨近于0，12

體力是矢量：一般情況下，物體每個(gè)點(diǎn)體力的大小和方向不同。體力分量：將體力沿三個(gè)坐標(biāo)軸xyz分解，用X、Y、Z表示，稱為體力分量。符號(hào)規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。

應(yīng)該注意的是：在彈性力學(xué)中，體力是指單位體積的力。體力的因次：[力]/[長度]^3表示：F={XYZ}體力是矢量：一般情況下，物體每個(gè)點(diǎn)體力的大小和方向不同。13②面力與體力相似，在物體表面上任意一點(diǎn)P所受面力的大小和方向，在P點(diǎn)區(qū)域取微小面積元素△S

，當(dāng)△S趨近于0，則為P點(diǎn)的面力面力分量符號(hào)規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。面力的因次：[力]/[長度]^2②面力當(dāng)△S趨近于0，則為P點(diǎn)的面力面力分量符號(hào)規(guī)定：14③集中力

體力與面力都是分布力，集中力則只是作用在一個(gè)點(diǎn)上，作用區(qū)域△V或△S很小，但數(shù)值很大，這種形式的力可以認(rèn)為是集中力。集中力分量：集中力直接將其沿三個(gè)坐標(biāo)軸分解，用X0、Y0、Z0表示，即集中力力分量。符號(hào)規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。

體力的因次：[力]③集中力152一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)2一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)16①應(yīng)力表示方法材料力學(xué)中接觸過斜截面上的應(yīng)力，斜截面上應(yīng)力可以分成正應(yīng)力、剪應(yīng)力；復(fù)雜物體任意截面上的應(yīng)力可分為1個(gè)與平面垂直的正應(yīng)力、2個(gè)平面內(nèi)剪應(yīng)力。①應(yīng)力表示方法17X面Y面Z面正應(yīng)力分量3個(gè)：剪應(yīng)力分量6個(gè)：X面Y面Z面正應(yīng)力分量3個(gè)：剪應(yīng)力分量6個(gè)：18正面負(fù)面X面Y面Z面②應(yīng)力符號(hào)意義剪應(yīng)力：正應(yīng)力：由法線方向確定作用面

作用方向

符號(hào)規(guī)定：

正面上與坐標(biāo)軸正向一致，為正；負(fù)面上與坐標(biāo)軸負(fù)向一致，為正。正面負(fù)面X面Y面Z面②應(yīng)力符號(hào)意義剪應(yīng)力：正應(yīng)力：由法19③剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力不再區(qū)分哪個(gè)是作用面或作用方向。應(yīng)力分量：相等③剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力不再區(qū)分哪個(gè)是作用面或作用方向。應(yīng)力203一點(diǎn)應(yīng)變分量①微分單元體的變形：微分單元體棱邊的伸長和縮短；正應(yīng)變棱邊之間夾角的變化；剪應(yīng)變

正應(yīng)變分量3個(gè)：剪應(yīng)變分量3個(gè)：3一點(diǎn)應(yīng)變分量①微分單元體的變形：正應(yīng)變分量3個(gè)：剪應(yīng)21②應(yīng)變的定義（自學(xué)）設(shè)平行六面體單元，3個(gè)軸棱邊：變形前為MA，MB，MC；變形后變?yōu)镸'A'，M'B'，M'C'。②應(yīng)變的定義（自學(xué)）22③正應(yīng)變（小變形）（自學(xué)）符號(hào)規(guī)定：

正應(yīng)變以伸長為正。③正應(yīng)變（小變形）（自學(xué)）符號(hào)規(guī)定：23④剪應(yīng)變（自學(xué)）符號(hào)規(guī)定：

正應(yīng)變以伸長為正；剪應(yīng)變以角度變小為正。④剪應(yīng)變（自學(xué)）符號(hào)規(guī)定：244位移分量位移：由于載荷作用或者溫度變化等外界因素等影響，物體內(nèi)各點(diǎn)在空間的位置將發(fā)生變化，位置移動(dòng)即產(chǎn)生位移。位移——?jiǎng)傮w位移、變形剛體位移——物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)仍然保持初始狀態(tài)的相對(duì)位置不變，由于物體整體在空間做剛體運(yùn)動(dòng)引起的位置改變。變形——物體整體位置不變，彈性體在外力作用下發(fā)生形狀的變化，而改變了物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置，引起位移。后者與彈性體的應(yīng)力有著直接的關(guān)系——彈性力學(xué)研究的主要變形，通常叫位移。4位移分量位移：由于載荷作用或者溫度變化等外界因素等影響25u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z）

v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）

w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，彈性體在變形前和變形后仍保持為連續(xù)體。彈性體中某點(diǎn)在變形過程中由M（x，y，z）移動(dòng)至M’(x’，y’，z’)，這一過程也是連續(xù)的，為x、y、z的單值連續(xù)函數(shù)u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z）

根據(jù)連續(xù)性假26形變和位移之間的關(guān)系：位移確定→

形變完全確定：

從物理概念看，各點(diǎn)的位置確定，則微分線段上的形變確定。

從數(shù)學(xué)推導(dǎo)看，位移函數(shù)確定，則其導(dǎo)數(shù)（形變）確定。形變確定，位移不完全確定：

從物理概念看，ε、γ確定，物體還可作剛體位移。

從數(shù)學(xué)推導(dǎo)看，ε、γ確定，求位移是積分運(yùn)算，出現(xiàn)待定函數(shù)。形變和位移之間的關(guān)系：27應(yīng)力應(yīng)變位移彈性力學(xué)各個(gè)量之間的關(guān)系平衡方程物理方程幾何方程外力應(yīng)力應(yīng)變位移彈性力學(xué)各個(gè)量之間的28彈性力學(xué)分析過程中：通過靜力平衡、幾何變形和本構(gòu)關(guān)系建立起外力、應(yīng)力、應(yīng)變、位移之間相互關(guān)聯(lián)。

再必須根據(jù)已知物理量，（一般外力、結(jié)構(gòu)幾何形狀和約束條件等），推導(dǎo)和確定基本未知量（應(yīng)力、應(yīng)變、位移。彈性力學(xué)分析過程中：291.4彈性力學(xué)基本方程平衡方程（應(yīng)力——外力之間的關(guān)系）1.4彈性力學(xué)基本方程平衡方程（應(yīng)力——外力之間的關(guān)系）302.物理方程（應(yīng)變——應(yīng)力之間的關(guān)系）2.物理方程（應(yīng)變——應(yīng)力之間的關(guān)系）313.幾何方程（柯西方程）（應(yīng)變——位移之間的關(guān)系）3.幾何方程（柯西方程）324、變形協(xié)調(diào)方程4、變形協(xié)調(diào)方程335、邊界條件如果物體表面的面力已知，則稱為應(yīng)力邊界條件：

第一類邊界條件

如果物體表面的位移已知，則稱為位移邊界條件：

第二類邊界條件混合邊界條件=第一類+第二類5、邊界條件如果物體表面的面力已知，則稱為應(yīng)力邊界條件：如果345、邊界條件應(yīng)力邊界條件：位移邊界條件：外法線的方向余弦5、邊界條件應(yīng)力邊界條件：位移邊界條件：外法線的方向余弦35方程數(shù)量：平衡方程——3個(gè)物理方程——6個(gè)幾何方程——6個(gè)合計(jì)15未知量：應(yīng)力分量——6個(gè)應(yīng)變分量——6個(gè)位移分量——3個(gè)u、v、w合計(jì)15空間問題方程數(shù)量：未知量：空間問題36第二章彈性力學(xué)平面問題2.1平面應(yīng)力問題2.2平面應(yīng)變問題2.3平面問題的基本方程第二章彈性力學(xué)平面問題372.1平面應(yīng)力問題1、平面應(yīng)力問題的概念

平面應(yīng)力問題討論的彈性體為薄板。薄壁厚度遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)另外兩個(gè)方向的尺度。薄板的中面為平面，其所受外力，包括體力均平行于中面O-xy面內(nèi)，并沿厚度方向z不變。而且薄板的兩個(gè)表面不受外力作用。2.1平面應(yīng)力問題1、平面應(yīng)力問題的概念38平面應(yīng)力問題①幾何特征薄壁厚度為h遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)另外兩個(gè)方向的尺寸等厚度中心層平直②受力特征外力平行于中心層外力沿厚度不變化平面應(yīng)力問題39

根據(jù)薄板的表面面力邊界條件，即表面不受外力作用，則

由于板很薄，外力沿厚度均勻分布，因此應(yīng)力分量也沿厚度均勻分布，應(yīng)力分量不隨z改變。2、平面應(yīng)力問題的應(yīng)力

根據(jù)薄板的表面面力邊界條件，即表面不受外力作用，則

40應(yīng)力分量應(yīng)變分量3、平面應(yīng)力問題應(yīng)力、應(yīng)變應(yīng)力分量3、平面應(yīng)力問題應(yīng)力、應(yīng)變411平面應(yīng)變問題的概念彈性體是具有很長的縱向軸的柱形物體，橫截面大小和形狀沿軸線長度不變；作用外力與縱向軸垂直，并且沿長度不變；柱體的兩端受固定約束。

可以認(rèn)為柱體是無限長的。如果從中任取一個(gè)橫截面，則柱形物體的形狀和所受載荷將對(duì)此橫截面是對(duì)稱的。因此物體變形時(shí)，橫截面上的各點(diǎn)只能在其自身平面內(nèi)移動(dòng)。2.2平面應(yīng)變問題1平面應(yīng)變問題的概念2.2平面應(yīng)變問題42幾何特征一個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)另外兩個(gè)方向的尺寸中心軸平直沿中心軸截面不變化受力特征外力垂直于中心軸外力沿中心軸長度方向不變化平面應(yīng)變問題幾何特征平面應(yīng)變問題432、平面應(yīng)變問題的位移沿縱向軸的位移恒等于零；由于無限長，所以任一個(gè)橫截面都是一樣的，與z軸無關(guān)。只要是x、y坐標(biāo)函數(shù)2、平面應(yīng)變問題的位移44應(yīng)力分量應(yīng)變分量3、平面應(yīng)變問題的應(yīng)力、應(yīng)變應(yīng)力分量應(yīng)變分量3、平面應(yīng)變問題的應(yīng)力、應(yīng)變452.3平面問題的基本方程平衡方程（應(yīng)力——外力之間的關(guān)系）2.幾何方程（應(yīng)變——位移之間的關(guān)系）2.3平面問題的基本方程平衡方程（應(yīng)力——外力之間的關(guān)系463.物理方程（應(yīng)變——應(yīng)力之間的關(guān)系）平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題的：平衡方程、幾何方程相同。

但物理方程不同。從空間問題推得。3.物理方程（應(yīng)變——應(yīng)力之間的關(guān)系）47①平面應(yīng)力的物理關(guān)系①平面應(yīng)力的物理關(guān)系48①平面應(yīng)力的物理關(guān)系①平面應(yīng)力的物理關(guān)系49②平面應(yīng)變的物理關(guān)系②平面應(yīng)變的物理關(guān)系50②平面應(yīng)變的物理關(guān)系②平面應(yīng)變的物理關(guān)系51二者主要不同在于z向應(yīng)變，位移和正應(yīng)力的計(jì)算公式

③兩種平面問題的區(qū)別二者主要不同在于z向應(yīng)變，位移和正應(yīng)力的計(jì)算公式③兩種平52④兩種平面問題的內(nèi)在關(guān)系平面應(yīng)力平面應(yīng)變平面應(yīng)力平面應(yīng)變平面應(yīng)變平面應(yīng)力④兩種平面問題的內(nèi)在關(guān)系平面應(yīng)力平面應(yīng)變平面應(yīng)力平面應(yīng)變平53④兩種平面問題的內(nèi)在關(guān)系平面應(yīng)力平面應(yīng)變平面應(yīng)力平面應(yīng)變④兩種平面問題的內(nèi)在關(guān)系平面應(yīng)力平面應(yīng)變平面應(yīng)力平面應(yīng)變544變形協(xié)調(diào)方程平面應(yīng)力平面應(yīng)變由6個(gè)簡(jiǎn)化為1個(gè)

調(diào)和方程4變形協(xié)調(diào)方程平面應(yīng)力平面應(yīng)變由6個(gè)簡(jiǎn)化為1個(gè)調(diào)和方程55方程數(shù)量：平衡方程——2個(gè)物理方程——3個(gè)幾何方程——3個(gè)合計(jì)8未知量：應(yīng)力分量——3個(gè)應(yīng)變分量——3個(gè)位移分量——2個(gè)u、v合計(jì)8平面問題方程數(shù)量：未知量：平面問題56第三章

彈性力學(xué)問題求解方法簡(jiǎn)述第三章

彈性力學(xué)問題求解方法簡(jiǎn)述57應(yīng)力應(yīng)變位移彈性力學(xué)各個(gè)量之間的關(guān)系平衡方程物理方程幾何方程外力應(yīng)力應(yīng)變位移彈性力學(xué)各個(gè)量之間的583.1概述根據(jù)幾何方程和本構(gòu)方程可見：位移、應(yīng)力和應(yīng)變分量之間不是相互獨(dú)立的。

假如已知位移分量，通過幾何方程可以得到應(yīng)變分量，然后通過物理方程可以得到應(yīng)力分量。如果已知應(yīng)力分量，通過物理方程得到應(yīng)變分量，再由幾何方程的積分求出位移分量，不過這時(shí)的應(yīng)變分量必須滿足一組補(bǔ)充方程，即變形協(xié)調(diào)方程。應(yīng)力應(yīng)變位移3.1概述應(yīng)力應(yīng)變位移59①

位移解法：若以位移函數(shù)作為基本未知量求解，根據(jù)物理方程和幾何方程，應(yīng)力分量及平衡方程均由位移分量表達(dá)；

②應(yīng)力解法：

若以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量，稱為應(yīng)力解法，對(duì)于應(yīng)力解法，應(yīng)力分量必須滿足平衡微分方程和變形協(xié)調(diào)方程；

③混合解法

：若以位移分量和應(yīng)力分量作為基本未知量，通過物理方程中消去應(yīng)變分量，表述基本方程，稱為混合解法?；痉匠痰那蠼夥椒á?/p>

位移解法：若以位移函數(shù)作為基本未知量求解，根據(jù)物理方程60彈性力學(xué)是對(duì)整個(gè)研究對(duì)象建立平衡方程、幾何方程、物理方程，再根據(jù)外力作用下求整體的應(yīng)力、應(yīng)變、位移。解答的途徑有兩大類：精確解（解析解、理論解法）逆法、半逆法、復(fù)變函數(shù)法、級(jí)數(shù)法、特殊函數(shù)法等2.近似解法（數(shù)值解法）彈性力學(xué)是對(duì)整個(gè)研究對(duì)象建立平衡方程、幾何方程、物理方程，再611位移解法當(dāng)位移分量作為基本未知函數(shù)求解時(shí)，變形協(xié)調(diào)方程是自然滿足的。根據(jù)物理方程和幾何方程，可以得到：以位移表示的平衡微分方程，稱為拉梅（Lamé）方程。拉普拉斯運(yùn)算符號(hào)，

3.2解析解法1位移解法以位移表示的平衡微分方程，稱為拉梅（Lamé）622應(yīng)力法主要介紹應(yīng)力函數(shù)法，稱為艾里（Airy）應(yīng)力函數(shù)。設(shè)應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程

雙調(diào)和方程

2應(yīng)力法應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程

63應(yīng)力函數(shù)（1）．一次多項(xiàng)式一次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)無應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)。

這個(gè)結(jié)論說明在應(yīng)力函數(shù)中增加或減少一個(gè)x，y的線性函數(shù)，將不影響應(yīng)力分量的值。應(yīng)力函數(shù)（1）．一次多項(xiàng)式一次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)無應(yīng)力的應(yīng)64（2)．二次多項(xiàng)式如僅a，b，c≠0，分別表示單向拉伸或者純剪切應(yīng)力狀態(tài)。（2)．二次多項(xiàng)式如僅a，b，c≠0，分別表示單向拉伸或者65(3)．三次多項(xiàng)式如果僅考慮d不為零的情況，即a=b=c=0，其對(duì)應(yīng)于矩形梁的純彎曲應(yīng)力狀態(tài)。

(3)．三次多項(xiàng)式如果僅考慮d不為零的情況，即a=b=c=66解析解的難點(diǎn)：彈性力學(xué)研究對(duì)象是彈性體，形體復(fù)雜，是偏微分方程的邊值問題。在數(shù)學(xué)上求解困難重重，除了少數(shù)特殊邊界問題，一般彈性體問題很難得到解答。要得到解析解：1、簡(jiǎn)化形體，譬如材料力學(xué)的研究對(duì)象是桿件，常微分方程，可以求解；平面問題，忽略次要因素，簡(jiǎn)化應(yīng)力狀態(tài)。2、簡(jiǎn)化邊界約束條件，放松某些限制等。結(jié)果：尋求求解偏微分方程在特定條件下的數(shù)學(xué)解法，而造成所得到的結(jié)果并非實(shí)際問題的真實(shí)狀態(tài)。結(jié)果誤差很大，甚至是錯(cuò)誤的結(jié)論。解析解的難點(diǎn)：67近似解法（數(shù)值解法）差分法加權(quán)余量法變分法有限元法（FEM）邊界元法（BEM）3.3數(shù)值解法近似解法（數(shù)值解法）3.3數(shù)值解法68有限元法與邊界元法的比較離散化，F(xiàn)EM在區(qū)域上，BEM在邊界上；維數(shù)，BEM降維，3D2D；2D1D；通用性，F(xiàn)EM格式統(tǒng)一，BEM特定問題；對(duì)使用者數(shù)學(xué)要求，F(xiàn)EM低，BEM高；目前應(yīng)用狀況，F(xiàn)EM一統(tǒng)天下。有限元法與邊界元法的比較691有限元基本思想2離散化（建立計(jì)算模型）3位移插值函數(shù)4單元分析5等效結(jié)點(diǎn)載荷6整體分析7有限元方程求解方法8應(yīng)力結(jié)果9舉例第二篇有限元法基礎(chǔ)1有限元基本思想第二篇有限元法基礎(chǔ)70應(yīng)力應(yīng)變位移彈性力學(xué)各個(gè)量之間的關(guān)系平衡方程物理方程幾何方程外力§1有限元基本思想應(yīng)力應(yīng)變位移彈性力學(xué)各個(gè)量之間的71應(yīng)力應(yīng)變位移平衡方程放棄物理方程幾何方程外力有限元的基本思路能量原理只要位移場(chǎng)確定，就可得到應(yīng)變、應(yīng)力。應(yīng)力應(yīng)變位移平衡方程物理方程幾何72有限元的基本思想：在彈性體內(nèi)選取足夠多、有限個(gè)點(diǎn)，假定這些點(diǎn)的位移已知，再用這些假定的位移量描述其它位置點(diǎn)的位移，就得到了用特定點(diǎn)位移表示的彈性體的位移場(chǎng)。這些選定的有代表性的點(diǎn)——結(jié)點(diǎn)，（node）結(jié)點(diǎn)：代表性——尖點(diǎn)、拐角、截面改變處等集中載荷作用、位移約束位置等。位移場(chǎng)：某個(gè)點(diǎn)（非結(jié)點(diǎn)）位移不是由所有結(jié)點(diǎn)位移來表述的，而是劃分成小區(qū)域/小塊上的結(jié)點(diǎn)來表示的，這些小區(qū)域/小塊——單元。有限元處理問題的方法——連續(xù)體剖分小塊（單元），即離散體。有限元的基本思想：73彈性力學(xué)與有限元完整版ppt課件74有限元法特點(diǎn)：概念淺顯，容易掌握，可以在不同程度上理解與應(yīng)用通用性強(qiáng)，應(yīng)用廣泛，幾乎所有領(lǐng)域；計(jì)算格式統(tǒng)一，便于編程計(jì)算；大型通用程序成熟商業(yè)化，無需專門知識(shí)編程先進(jìn)的前處理，網(wǎng)格自動(dòng)劃分，

完善的后處理，可視或動(dòng)態(tài)顯示，直觀形象。誤差難估計(jì)有限元法特點(diǎn)：75§2離散化（計(jì)算模型）單元的形式是多樣的實(shí)體單元模型§2離散化（計(jì)算模型）單元的形式是多樣的實(shí)體單元模型762.1單元類型與作用2.1單元類型與作用77桿單元梁?jiǎn)卧獥U單元梁?jiǎn)卧?8二維單元線性單元二次單元二維單元線性單元二次單元79三維單元線性單元二次單元三維單元線性單元二次單元80板殼單元板殼單元812.2離散化應(yīng)注意的問題：首要的問題是根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何特點(diǎn)、受力特征選擇合理的單元形式。對(duì)稱性的利用，在劃分單元之前，有必要先研究一下計(jì)算對(duì)象的對(duì)稱或反對(duì)稱的情況，以便確定是取整個(gè)物體，還是部分物體作為計(jì)算模型。取四分之一作為計(jì)算模型2.2離散化應(yīng)注意的問題：取四分之一作為計(jì)算模型82（以平面三角形單元為例）共邊：覆蓋求解區(qū)域，單元間既不允許相互重疊，也不允許相互脫開；共點(diǎn)：任意三角形的頂點(diǎn)必須是相鄰單元的頂點(diǎn)，不能為相鄰單元的內(nèi)點(diǎn)。邊長接近：?jiǎn)卧倪呴L盡可能接近，采用銳角三角形數(shù)目與精度兼顧：?jiǎn)卧獎(jiǎng)澐旨?xì)，計(jì)算精度越高，但結(jié)點(diǎn)數(shù)增加，計(jì)算時(shí)間加長。單元大小過渡，應(yīng)力梯度大的區(qū)域單元尺寸小，應(yīng)力變化小的區(qū)域，單元可以劃分大些。或在初步計(jì)算的基礎(chǔ)上對(duì)于高應(yīng)力區(qū)，在進(jìn)一步細(xì)化網(wǎng)格，進(jìn)行二次分析。適當(dāng)簡(jiǎn)化。不可以可以較差較好（以平面三角形單元為例）不可以可以較差較好83節(jié)點(diǎn)編號(hào)順序

在進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)，應(yīng)該注意要盡量使同一單元的相鄰節(jié)點(diǎn)的號(hào)碼差盡可能地小，以便最大限度地縮小剛度矩陣的帶寬，節(jié)省存儲(chǔ)、提高計(jì)算效率。平面問題的半帶寬為

B=2(d+1)節(jié)點(diǎn)編號(hào)順序84§3位移模式要求：i、j、m按逆時(shí)針排序單元的結(jié)點(diǎn)位移向量用來描述單元內(nèi)各點(diǎn)位移變化規(guī)律的函數(shù)，稱為位移模式

§3位移模式要求：i、j、m按逆時(shí)針排序單元的結(jié)點(diǎn)位移向85三角形單元的位移模式假定為位移模式：三角形單元的位移模式假定為位移模式：86位移模式矩陣表達(dá)：位移模式通式——單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移；——單元的結(jié)點(diǎn)位移向量；——單元的形函數(shù)矩陣。位移模式矩陣表達(dá)：位移模式通式——單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移；——單87形函數(shù)的性質(zhì)

面積坐標(biāo)形函數(shù)與面積坐標(biāo)的關(guān)系形函數(shù)的性質(zhì)面積坐標(biāo)形函數(shù)與面積坐標(biāo)的關(guān)系88三角形的面積位移模式反映了單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。是有限元計(jì)算精度的關(guān)鍵。三角形的面積位移模式反映了單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移與89§4單元分析4.1單元上任意一點(diǎn)的應(yīng)變4.2單元上任意一點(diǎn)的應(yīng)力4.3單元的能量4.4單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)§4單元分析4.1單元上任意一點(diǎn)的應(yīng)變904.1單元上任意一點(diǎn)的應(yīng)變幾何方程4.1單元上任意一點(diǎn)的應(yīng)變幾何方程91彈性力學(xué)與有限元完整版ppt課件92或?qū)懗赏ㄊ絒B]矩陣叫做單元幾何矩陣，反映了單元內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)變分量與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系幾何矩陣[B]中的每個(gè)元素，均為常數(shù)，它們由結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)確定。單元內(nèi)任意一點(diǎn)P的應(yīng)變分量與坐標(biāo)（x，y）無關(guān)，說明單元中應(yīng)變是常量?；?qū)懗赏ㄊ絒B]矩陣叫做單元幾何矩陣，反映了單元內(nèi)任意一點(diǎn)934.2單元上任意一點(diǎn)的應(yīng)力物理方程[D]——彈性矩陣平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題4.2單元上任意一點(diǎn)的應(yīng)力物理方程[D]——彈性矩陣平面應(yīng)力94[S]叫做應(yīng)力矩陣[S]叫做應(yīng)力矩陣954.3單元的能量

1、單元的應(yīng)變能一維問題應(yīng)變能密度為平面問題應(yīng)變能密度為

4.3單元的能量一維問題應(yīng)變能密度為平面問題應(yīng)變能密度為96

稱為單元?jiǎng)偠染仃嚕?jiǎn)稱單剛，它反映了單元應(yīng)變能與單元結(jié)點(diǎn)向量之間的關(guān)系。

稱為單元?jiǎng)偠染仃?，?jiǎn)稱單剛，972、外力勢(shì)能(1)、體力勢(shì)能(2)、面力勢(shì)能(3)、集中力勢(shì)能2、外力勢(shì)能(2)、面力勢(shì)能(3)、集中力勢(shì)能983、單元的總勢(shì)能3、單元的總勢(shì)能994.4單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)某單元的剛度矩陣，仔細(xì)看看，會(huì)發(fā)現(xiàn)該矩陣有哪些特點(diǎn)？4.4單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)某單元的剛度矩陣，仔1004.4單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)1、對(duì)稱性

單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱方陣，其元素都對(duì)稱于主對(duì)角線。2、奇異性

單元?jiǎng)偠染仃囍腥我庖恍谢蛄性刂蜑榱?。其物理意義是在沒有給單元施加任何約束時(shí)，單元可有剛體運(yùn)動(dòng)，位移不能唯一的確定。3、主對(duì)角線元素恒為正值主對(duì)角線元素是正值說明結(jié)點(diǎn)位移方向與施加結(jié)點(diǎn)荷載的方向是一致的。

4、單元?jiǎng)偠染仃嚺c單元位置無關(guān)

單元?jiǎng)偠染仃嚺c單元位置無關(guān)，也就是單元在平移時(shí)，[K]e不變；單元結(jié)點(diǎn)排列順序不同時(shí)，[K]e中元素大小不變，而排列順序相應(yīng)改變。

4.4單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)101§5等效節(jié)點(diǎn)載荷彈性體所受外力包括體積力、表面力、集中力。分別作用在彈性體內(nèi)部、物體表面上、物體的一個(gè)點(diǎn)上。載荷列陣{R}，是由彈性體的全部單元的等效節(jié)點(diǎn)力集合而成，是將全部載荷轉(zhuǎn)移到單元的節(jié)點(diǎn)上，它們的作用位置發(fā)生了變化——載荷移置。它們的作用效果是等效的，故稱等效節(jié)點(diǎn)力向量{R}e。各種載荷分別移置到節(jié)點(diǎn)上，再逐點(diǎn)加以合成求得單元的等效結(jié)點(diǎn)載荷?！?等效節(jié)點(diǎn)載荷彈性體所受外力包括體積力、表面力102

1、體力等效結(jié)點(diǎn)載荷自重情況下：自重情況下：103y0xijmy0xijm2、面力等效結(jié)點(diǎn)載荷y0xijmy0xijm2、面力等效結(jié)點(diǎn)載荷1046.1結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量假設(shè)彈性體被劃分為N個(gè)單元和n個(gè)節(jié)點(diǎn)，整個(gè)彈性體的節(jié)點(diǎn)位移向量{}2n×1整個(gè)彈性體的載荷列陣{R}2n×1§6整體分析6.1結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量假設(shè)彈性體被劃分為N個(gè)單元和105矢量——有方向性，外力、應(yīng)力，不能直接相加標(biāo)量——沒有方向，只有大小，可以相加。彈性體的能量是標(biāo)量，可以直接相加。6.2結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能

矢量——有方向性，外力、應(yīng)力，不能直接相加6.2結(jié)構(gòu)的總勢(shì)106單剛的擴(kuò)充為了實(shí)現(xiàn)上述運(yùn)算擴(kuò)展單剛的擴(kuò)充擴(kuò)展107——結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣——結(jié)構(gòu)總的體力列陣

——結(jié)構(gòu)總的面力列陣

——結(jié)構(gòu)總的集中力列陣

結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能

——結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣——結(jié)構(gòu)總的體力列陣——結(jié)構(gòu)總的面力1086.3整體剛度矩陣形成方法123421q圖5組裝總剛[k]的一般規(guī)則：1.

當(dāng)[krs]中r=s時(shí)，該點(diǎn)被哪幾個(gè)單元所共有，則總剛子矩陣[krs]就是這幾個(gè)單元的剛度矩陣子矩陣[krs]e的相加。2.當(dāng)[krs]中rs時(shí)，若rs邊是組合體的內(nèi)邊，則總體剛度矩陣[krs]就是共用該邊的兩相鄰單元單剛子矩陣[krs]e的相加。3.當(dāng)[krs]中r和s不同屬于任何單元時(shí)，則總體剛度矩陣[krs]=[0]。下面，我們考查一個(gè)組裝總剛的實(shí)例：1.整體剛度矩陣及載荷列陣的組集根據(jù)疊加原理，整體結(jié)構(gòu)的各個(gè)剛度矩陣的元素顯然是由有關(guān)單元的單元?jiǎng)偠染仃嚨脑亟M集而成的，為了便于理解，現(xiàn)結(jié)合圖5說明組集過程。6.3整體剛度矩陣形成方法123421q圖5組裝總剛109圖中有兩種編碼：一是節(jié)點(diǎn)總碼：1、2、3、4；二是節(jié)點(diǎn)局部碼，是每個(gè)單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)按逆時(shí)針方向的順序各自編碼為1，2，3。圖中兩個(gè)單元的局部碼與總碼的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：?jiǎn)卧?：1，2，3 1，2，3單元2：1，2，33，4，1或：?jiǎn)卧?：1，2，3 1，2，3單元2：1，2，31，3，4單元e的剛度矩陣分塊形式為：圖中有兩種編碼：一是節(jié)點(diǎn)總碼：1、2、3、4110整體剛度矩陣分塊形式為：其中每個(gè)子塊是按照節(jié)點(diǎn)總碼排列的。通常，采用剛度集成法或直接剛度法來組集整體結(jié)構(gòu)剛度矩陣。剛度集成法分兩步進(jìn)行。第一步，把單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)大成單元的貢獻(xiàn)矩陣，使單元?jiǎng)偠染仃嚨乃膫€(gè)子塊按總體編號(hào)排列，空白處作零子塊填充。第二步，以單元2為例，局部碼1，2，3對(duì)應(yīng)于總碼3，4，1，按照這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系擴(kuò)充后，可得出單元2的貢獻(xiàn)矩陣。整體剛度矩陣分塊形式為：其中每個(gè)子塊是按照節(jié)點(diǎn)總碼排列的。111總碼1234

2 3 431

2局部碼用同樣的方法可得單元1的貢獻(xiàn)矩陣。第三步，把各單元的貢獻(xiàn)矩陣對(duì)應(yīng)行和列的子塊相疊加，即可得出整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，如（42）式。在這里應(yīng)該指出，整體剛度矩陣中每個(gè)子塊為階矩陣，所以若整體結(jié)構(gòu)分為n個(gè)節(jié)點(diǎn)，則整體剛度矩陣的階數(shù)是?？偞a1112

總碼1234

123（42）123局部碼

至于整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷列陣的組集，只需將各單元的等效節(jié)點(diǎn)力列陣擴(kuò)大成2n行的列陣，然后按各單元的節(jié)點(diǎn)位移分量的編號(hào)，對(duì)應(yīng)相疊加即可總碼11136.4整體剛度矩陣的性質(zhì)

⒈剛度矩陣[K]中每一列元素的物理意義為：欲使彈性體的某一節(jié)點(diǎn)在坐標(biāo)軸方向發(fā)生單位位移，而其它節(jié)點(diǎn)都保持為零的變形狀態(tài)，在各節(jié)點(diǎn)上所需要施加的節(jié)點(diǎn)力。⒉正定性，剛度矩陣[K]中主對(duì)角元素總是正的。⒊剛度矩陣[K]是一個(gè)對(duì)稱矩陣，即[Krs]=[Ksr]T。⒋剛度矩陣[K]是一個(gè)稀疏矩陣。如果遵守一定的節(jié)點(diǎn)編號(hào)規(guī)則，就可使矩陣的非零元素都集中在主對(duì)角線附近呈帶狀。5.奇異性。剛度矩陣[K]是一個(gè)奇異矩陣，在排除剛體位移后，它是正定陣。6.4整體剛度矩陣的性質(zhì)⒈剛度矩陣[K]114半帶存儲(chǔ)

半帶寬B=（相鄰節(jié)點(diǎn)號(hào)的最大差值D+1）*2半帶存儲(chǔ)半帶寬B=（相鄰節(jié)點(diǎn)號(hào)的最大差值D+1）*2115§7有限元方程及求解方法7.1有限元方程結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能最小勢(shì)能原理，對(duì)于線彈性體，某一變形可能位移狀態(tài)為真實(shí)位移狀態(tài)的必要和充分條件是，此位移狀態(tài)的變形體勢(shì)能取最小值。§7有限元方程及求解方法7.1有限元方程最小勢(shì)能原理，116結(jié)構(gòu)總勢(shì)能泛函對(duì)結(jié)點(diǎn)位移的變分為0.

結(jié)構(gòu)有限元方程它是一個(gè)2n階的線性代數(shù)方程組。因?yàn)樵摲匠讨衃K]是結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣，{F}是外荷載列陣，都通過計(jì)算求得，因此可以根據(jù)有限元方程可以確定結(jié)點(diǎn)位移。結(jié)構(gòu)總勢(shì)能泛函對(duì)結(jié)點(diǎn)位移的變分為0.結(jié)構(gòu)有限元方程1177.2位移邊界條件的處理由于總體剛度矩陣是奇異的，物理意義是結(jié)構(gòu)中存在剛體位移，不能直接求解。必須引入限制結(jié)構(gòu)剛體位移的位移邊界條件，即位移約束條件，消除總體剛度矩陣的奇異性，才能求解結(jié)構(gòu)有限方程。位移邊界條件是指結(jié)構(gòu)的某些區(qū)域位移已知，對(duì)于離散體來說，位移約束條件是某些結(jié)點(diǎn)的位移分量受到限制，包括位置限制和方向限制兩個(gè)方面。具體哪些結(jié)點(diǎn)受到限制，受限制結(jié)點(diǎn)哪個(gè)方向位移分量受到限制，要根據(jù)結(jié)構(gòu)受力后變形特征來確定。

處理的方法，主要有三種：

降階法（緊縮法）置大數(shù)法改1法

7.2位移邊界條件的處理1181.降階法降階法也稱緊縮法或直接代入法，該法是將結(jié)構(gòu)有限元方程中已知結(jié)點(diǎn)位移的自由度全部消去，得到一組降階的修正方程，用以求解其它未知的結(jié)點(diǎn)位移。如果給定的位移均為零位移，則

只需將總剛[K]、荷載列陣{F}中與該位移所對(duì)應(yīng)的行和列全部劃去即可。如果給定的位移不為零位移，

也只保留了待定的結(jié)點(diǎn)位移作為未知量，但需對(duì)右端荷載列陣進(jìn)行相應(yīng)的修正。

1.降階法1192.置大數(shù)法將結(jié)構(gòu)總剛度矩陣中與被約束的位移分量相對(duì)應(yīng)的主對(duì)角線元素賦予一個(gè)大數(shù)A，如取A=10e30或更大。再將右端荷載列陣對(duì)應(yīng)的荷載值換成已知的位移值與該大數(shù)的乘積。設(shè)結(jié)點(diǎn)位移分量r為已知，則有限元方程變?yōu)椋?.置大數(shù)法120經(jīng)過修改后第r個(gè)方程的為方程兩邊同時(shí)除以A，除第r項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均為微小量可略去。經(jīng)過修改后第r個(gè)方程的為方程兩邊同時(shí)除以A，除第r項(xiàng)1213.對(duì)角元素改1法當(dāng)給定的位移值為零時(shí)，將總剛中與之相對(duì)應(yīng)主對(duì)角線元素改為1，相對(duì)應(yīng)的行和列中其余所有元素改為0，荷載列陣對(duì)應(yīng)的元素也改為0即可。

3.對(duì)角元素改1法122應(yīng)力應(yīng)變位移物理方程幾何方程外力有限元方程計(jì)算模型中：位移場(chǎng)已經(jīng)確定，就可得到應(yīng)變、應(yīng)力?！?應(yīng)力結(jié)果網(wǎng)格化——模型應(yīng)力應(yīng)變位移物理方程幾何方程外力1238.1單元應(yīng)力計(jì)算步驟

有限元方程求解之后，得到了所有結(jié)點(diǎn)的位移，

單元應(yīng)力計(jì)算對(duì)每個(gè)單元循環(huán)；對(duì)于任一單元①根據(jù)結(jié)點(diǎn)i、j、m的實(shí)際編號(hào)，從結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)位移向量中選出單元結(jié)點(diǎn)位移向量②計(jì)算單元的應(yīng)變分量，③計(jì)算單元的應(yīng)力分量：8.1單元應(yīng)力計(jì)算步驟①根據(jù)結(jié)點(diǎn)i、j、m的實(shí)際編號(hào)，從1248.2應(yīng)力分析

以上分析得到了所有單元的應(yīng)力分量，

為了強(qiáng)度分析，進(jìn)一步計(jì)算主應(yīng)力或等效應(yīng)力。主應(yīng)力取“＋”號(hào)為最大應(yīng)力，取“－”號(hào)為最小應(yīng)力最大應(yīng)力與x軸的夾角8.2應(yīng)力分析主應(yīng)力取“＋”號(hào)為最大應(yīng)力，取“－”號(hào)為最125MISES應(yīng)力由應(yīng)力分量表示的三維MISES應(yīng)力由主應(yīng)力表示的三維MISES應(yīng)力由應(yīng)力分量表示的二維MISES應(yīng)力MISES應(yīng)力由應(yīng)力分量表示的三維MISES應(yīng)力由主應(yīng)力表示1268.3應(yīng)力顯示x應(yīng)力mises應(yīng)力8.3應(yīng)力顯示x應(yīng)力mises應(yīng)力127確定根據(jù)工程實(shí)際情況確定問題的力學(xué)模型，并按一定比例繪制結(jié)構(gòu)圖、注明尺寸、載荷和約束情況等。將計(jì)算對(duì)象進(jìn)行離散化，即彈性體劃分為許多三角形單元，并對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)。確定全部節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值，對(duì)單元進(jìn)行編號(hào)，并列出各單元三個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)號(hào)。④計(jì)算載荷的等效節(jié)點(diǎn)力。

③單元分析，由各單元的相關(guān)參數(shù)，計(jì)算單元的幾何矩陣、剛度矩陣。組集整體剛度矩陣，即形成總剛的非零子矩陣。組裝各單元的等效結(jié)點(diǎn)載荷，形成總的外載荷向量。有限元分析的實(shí)施步驟確定根據(jù)工程實(shí)際情況確定問題的力學(xué)模型，并按一定比例繪制結(jié)構(gòu)128處理約束，消除剛體位移，求解線性方程組，得到節(jié)點(diǎn)位移。計(jì)算應(yīng)力矩陣，求得單元應(yīng)力，并根據(jù)需要計(jì)算主應(yīng)力和主方向。整理計(jì)算結(jié)果（后處理部分）。處理約束，消除剛體位移，求解線性方程組，得到節(jié)點(diǎn)位移。計(jì)算應(yīng)129圖1所示為一厚度t=1cm的均質(zhì)正方形薄板，上下受均勻拉力q=106N/m，材料彈性模量為E，泊松比，不記自重，試用有限元法求其應(yīng)力分量。123421x圖2y2myxq=106N/m圖1例1§9計(jì)算實(shí)例圖1所示為一厚度t=1cm的均質(zhì)正方形薄板，130解：１.力學(xué)模型的確定２.結(jié)構(gòu)離散由于此結(jié)構(gòu)長、寬遠(yuǎn)大于厚度，而載荷作用于板平面內(nèi)，且沿板厚均勻分布，故可按平面應(yīng)力問題處理?？紤]到結(jié)構(gòu)和載荷的對(duì)稱性，可取結(jié)構(gòu)的1/4來研究。該1/4結(jié)構(gòu)被離散為兩個(gè)三角形單元，節(jié)點(diǎn)編號(hào)，單元?jiǎng)澐旨叭∽鴺?biāo)如圖2所示，其各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值見表1。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)１２３４xy００１０１１０１表1解：１.力學(xué)模型的確定２.結(jié)構(gòu)離散由于此結(jié)構(gòu)長、寬遠(yuǎn)大于131３.求單元的剛度矩陣計(jì)算單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)差及單元面積單元１（i、j、m1，2，3）單元面積３.求單元的剛度矩陣計(jì)算單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)差及單元面積單元面積1322）組裝單元的幾何矩陣2）組裝單元的幾何矩陣1333）計(jì)算單元的應(yīng)力矩陣彈性矩陣應(yīng)力矩陣3）計(jì)算單元的應(yīng)力矩陣彈性矩陣應(yīng)力矩陣134應(yīng)力矩陣也可應(yīng)用公式計(jì)算先計(jì)算用到的常數(shù)應(yīng)力矩陣也可應(yīng)用公式計(jì)算先計(jì)算用到的常數(shù)135單元的剛度矩陣中各個(gè)子矩陣單元的剛度矩陣中各個(gè)子矩陣136單元1的剛度矩陣為:123123（i、j、m=1，2，3）單元1的剛度矩陣為:123123（i、j、m=1，2，3）137單元2：若按i、j、m=3、4、1順序，對(duì)應(yīng)單元1的123排碼時(shí),則這兩個(gè)單元?jiǎng)偠染仃噧?nèi)容完全一樣，故有:341341單元2：若按i、j、m=3、4、1順序，對(duì)應(yīng)單元1的123排138組集整體剛度矩陣

由于[Krs]=[Ksr]T，又單元1和單元2的節(jié)點(diǎn)號(hào)按123對(duì)應(yīng)341，則可得：按剛度集成法可得整體剛度矩陣為：組集整體剛度矩陣139彈性力學(xué)與有限元完整版ppt課件140所以組集的整體剛度矩陣為：所以組集的整體剛度矩陣為：1415.引入約束條件，修改剛度方程并求解根據(jù)約束條件：u1

=v1=0；v2=0；u4=0和等效節(jié)點(diǎn)力列陣： ，并代入剛度方程：