自旋波理論課件

8自旋波理論8自旋波理論1

一.自旋波的物理圖像二.自旋波的半經(jīng)典理論三.自旋波的量子力學(xué)處理四.低溫下自發(fā)磁化強(qiáng)度隨溫度變化T3/2

定律的推導(dǎo)五.自旋波的實(shí)驗(yàn)研究六.自旋波理論的發(fā)展參考戴道生《鐵磁學(xué)》第4章姜書3.8節(jié)p159-167。3.3自旋波理論

（Bloch1930）一.自旋波的物理圖像參考戴道生《鐵磁學(xué)》第4章32自旋波（SpinWave）的概念是1930年布洛赫基于海森伯模型首先提出的。設(shè)有N個格點(diǎn)組成的自旋體系，每個格點(diǎn)的自旋為S，假設(shè)相鄰自旋間的交換作用均相同，且A>0，在只考慮最近鄰格點(diǎn)交換作用的前提下，體系的交換作用能可以表示為：在絕對零度（T=0K），由于A>0，熱力學(xué)第三定律要求系統(tǒng)中每個格點(diǎn)的自旋呈完全平行狀態(tài)，每個格點(diǎn)的自旋量子數(shù)取最大值S，體系的總磁矩為。這時系統(tǒng)總能量最低，處于基態(tài)。F.Bloch.Z.Physik,61,206(1930)他實(shí)際上假定了每個格點(diǎn)的自旋為1/2。

一.自旋波的物理圖像自旋波（SpinWave）的概念是1930年3當(dāng)溫度稍微升高，熱能使體系中任一自旋發(fā)生翻轉(zhuǎn)時，它相鄰的格點(diǎn)上的自旋由于交換作用也趨向翻轉(zhuǎn)；另一方面，同樣由于交換相互作用近鄰格點(diǎn)的自旋也會力圖使翻轉(zhuǎn)的自旋重新翻轉(zhuǎn)回來。因此自旋翻轉(zhuǎn)不會停留在一個格點(diǎn)上，而是要一個傳一個，以波的形式向周圍傳播，直至彌散到整個系統(tǒng)，我們把這種自旋翻轉(zhuǎn)在系統(tǒng)中的傳播稱為自旋波。自旋波是以波矢量k來區(qū)分的。

這種情形就像晶格振動以格波方式在晶體中傳播一樣。處理晶格振動的方法可以借用來處理自旋波問題，“磁(振)子(magnon)就是量子化的自旋波”，或說是自旋波的能量量子。和聲子一樣，它也代表一種集體運(yùn)動，是固體中一種重要的元激發(fā)，是由局域自旋之間存在交換作用而引起的。當(dāng)溫度稍微升高，熱能使體系中任一自旋發(fā)生翻轉(zhuǎn)時40K時，在簡單鐵磁體中（圖a），全部自旋是平行的，如假定N個自旋排成一線，按照海森伯模型，其能量是：若把S當(dāng)做經(jīng)典矢量處理，則在基態(tài)：系統(tǒng)的交換能是：第一激發(fā)態(tài)的能量是多大？圖b

是其中一個自旋翻轉(zhuǎn)的情況，它可以使能量增加8AS2,注：一個翻轉(zhuǎn)引起2個近鄰交換能變正，2個變號，相當(dāng)于求和少4個，所以：Kittel一書的敘述0K時，在簡單鐵磁體中（圖a），全部自旋是平行的，如假定5但如果讓所有的自旋分擔(dān)這一反向，如圖c所示，就可以構(gòu)成一個能量低得多的激發(fā)態(tài)，這種低能量的激發(fā)態(tài)就是自旋波，（自旋矢量在在圓錐面上進(jìn)動，每一個自旋的相位比前一個自旋都超前一個相同的角度。）自旋系統(tǒng)的這種元激發(fā)具有與波相似的形式，它們與晶格振動波類似，自旋波是晶格中自旋的相對取向的振動，晶格振動是晶格原子的相對位置的振動。但如果讓所有的自旋分擔(dān)這一反向，如圖c所示，就可以構(gòu)成一6從俯視圖上可以明顯看出波的含義。但波的傳播方向并不一定垂直于磁場方向。這種畫法只是為了方便。從俯視圖上可以明顯看出波的含義。但波的傳播方向7黃昆書p417的簡要說明：根據(jù)局域電子模型，鐵磁體的基態(tài)是所有自旋沿同一方向排列，在低溫下，除處于基態(tài)以外，還有一定幾率處于低激發(fā)態(tài)，容易想到一個自旋翻轉(zhuǎn)可以得到最低的激發(fā)態(tài)，但是，由于每個自旋都與它近鄰的自旋相耦合，所以一個自旋的翻轉(zhuǎn)不是簡正模式，所有自旋的運(yùn)動將耦合在一起，從量子力學(xué)的觀點(diǎn)看，由于翻轉(zhuǎn)的自旋可以處在不同的格點(diǎn)上，因而它們是能量簡并的N個量子態(tài)，相互作用的微擾有可能使它們組合成能量更低的量子態(tài)。黃昆書p417的簡要說明：8（見Kittel書8版p228-230），黃昆書p417-421

如同晶格振動情形，我們先討論原子數(shù)為N,間距為a,每個原子自旋為S的一維原子鏈的運(yùn)動。只考慮最近鄰情況，作用在第p個自旋上的作用能為：如果把p點(diǎn)的磁矩寫成：則作用能可表示成：中括弧里的項(xiàng)可以理解為作用在p自旋上的一個有效磁場。根據(jù)力學(xué)定理，角動量的變化速率等于作用在自旋上的力矩：于是給出運(yùn)動方程：二.自旋波的半經(jīng)典理論（見Kittel書8版p228-230），黃昆書p417-49寫成分量形式：該方程組是非線性的，如果激發(fā)幅度很小，取并略去S的平方項(xiàng)，就得到一個線性方程組：寫成分量形式：該方程組是非線性的，如果激發(fā)幅度很小，取10和晶格振動情形一樣，設(shè)解為：式中u和v是常數(shù)，a是晶格常數(shù)，p為標(biāo)志格點(diǎn)位置的整數(shù)代入分量運(yùn)動方程后，有:方程組對u，v有解的條件是：和晶格振動情形一樣，設(shè)解為：式中u和v是常數(shù)，a是晶格11這就是一維單原子鏈自旋波的色散關(guān)系。于是解得：代回方程可以證明：v=-iu這相應(yīng)于自旋繞z軸做進(jìn)動。這種進(jìn)動在晶格中的傳播就是自旋波。相鄰格點(diǎn)間的位相變化由在簡約布里淵區(qū)內(nèi)取值的波數(shù)矢量k確定。右圖是色散關(guān)系的示意圖。在長波區(qū)域，相同極限下，聲子∝k這就是一維單原子鏈自旋波的色散關(guān)系。于是解得：代回方程可以證12自旋波的等效質(zhì)量：(見戴書p237)

式中k取值是量子化的，N個原子的一維原子鏈，周期性邊界條件給出：即ka的取值范圍是，即相應(yīng)于在倒格子的第一布里淵區(qū)內(nèi)取值。自旋波的等效質(zhì)量：(見戴書p237)式中k13見戴道生《鐵磁性》p257-264，姜書p159-164我們也可從交換作用的哈密頓量出發(fā)，求解薛定諤方程的本征解，從而給出自旋波的色散關(guān)系。主要結(jié)果如下：能量本征態(tài)表征了體系中一個確定的狀態(tài)，在這一狀態(tài)中，每個格點(diǎn)自旋翻轉(zhuǎn)的幾率都相等，由此可見，自旋翻轉(zhuǎn)不是局域在某一個格點(diǎn)上，而是以同樣的概率彌散在晶體的每一個格點(diǎn)上。在狀態(tài)中，不同格點(diǎn)自旋的翻轉(zhuǎn)態(tài)之間相差一個相位因子：因此態(tài)顯示了波動的特性。(a是格點(diǎn)間距)3.與基態(tài)相比，一個自旋波帶來的能量增量為：其中，z為最近鄰數(shù)。ri是近鄰距離

三.自旋波的量子力學(xué)處理見戴道生《鐵磁性》p257-264，姜書p159-164144.一維原子鏈，近鄰z

=2經(jīng)典結(jié)果中取S=1/2，和這里是一致的。長波極限下：簡單立方情形：6個最近鄰：(±a,0,0)(0,±a,0)(0,0,±a,)因此有：利用展開式，長波極限下為：與上面一致4.一維原子鏈，近鄰z=2經(jīng)典結(jié)果中取S=1/215可以證明面心立方晶格和體心立方晶格在長波近似下也有同樣結(jié)果。（習(xí)題3.3）

但這個結(jié)果不能推廣到任意晶格的情況下使用。5.近獨(dú)立近似下自旋波的總能量：如果體系中存在著N個互不干涉、相互獨(dú)立的自旋波，那末體系自旋波的總能量等于所有自旋波能量的簡單疊加：

是波矢為k的自旋波個數(shù)。在近飽和近似下，自旋波服從Bose統(tǒng)計(jì)規(guī)律：可以證明面心立方晶格和體心立方晶格在長波近似下16

在溫度很低的情況下，體系中自旋翻轉(zhuǎn)的數(shù)目很少，被激發(fā)到高能態(tài)自旋波的概率很低，自旋波相互散射的幾率也極小，因而近獨(dú)立近似，近飽和近似，以及長波近似都能被滿足，上面給出的公式是可以適用的。體系中自旋波翻轉(zhuǎn)數(shù)等于自旋波的個數(shù)：自旋波的能量是量子化的，激發(fā)一個磁子，相當(dāng)于一個?自旋的翻轉(zhuǎn)。長波近似下l個自旋波的總能量：在溫度很低的情況下，體系中自旋翻轉(zhuǎn)的數(shù)目很少，17

關(guān)于自旋波服從Bose統(tǒng)計(jì)的說明：對于實(shí)際體系，格點(diǎn)數(shù)目N雖然很大，但總是有限的，在這個體系中，自旋能夠翻轉(zhuǎn)的總數(shù)不能超過NS。所以對處于每個態(tài)的自旋波數(shù)目自然也就有了限制。但在遠(yuǎn)離居里點(diǎn)的低溫下，自旋波被激發(fā)的數(shù)目是很少的，不必要顧及上述的限制，因此可以近似地把自旋波看作是玻色子。

理論和實(shí)驗(yàn)均表明：鐵磁物質(zhì)在0.5Tc時顯然在0.5Tc以下，自旋波的玻色性是很好滿足的。

這里，我們看到一個有趣的事實(shí)，盡管組成物質(zhì)的粒子（電子、質(zhì)子、中子）是費(fèi)米子，但由它們組成的元激發(fā)（聲子、磁子、激子）卻可以看成是玻色子。關(guān)于自旋波服從Bose統(tǒng)計(jì)的說明：顯然在0.5Tc以下，自18

考慮由N個格點(diǎn)組成的自旋體系，體積為V。在低溫下（例如T<0.5K），如果在溫度T時體系自旋翻轉(zhuǎn)總數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均值為<n>。那么體系在該溫度下的自發(fā)磁化強(qiáng)度應(yīng)表示為：（注意，一個自旋波相當(dāng)于一個自旋的翻轉(zhuǎn)，磁矩減少2s(=1/2)<n>=<n>）

或者用自發(fā)磁化強(qiáng)度的變化表示：M(T)的計(jì)算可以歸結(jié)為在溫度T下對自旋的個數(shù)求平均。如何理解本式？各書都未明確說明。習(xí)題中可進(jìn)行討論。四.低溫下自發(fā)磁化強(qiáng)度隨溫度T變化考慮由N個格點(diǎn)組成的自旋體系，體19其中系數(shù)Q隨結(jié)構(gòu)而異，對于簡單立方、體心立方和面心立方，Q值分別等于1,2,4,V=Na3/Q。(x)是黎曼函數(shù),(3/2)=2.612其中a與材料的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)有關(guān)，對于立方晶格有通過復(fù)雜計(jì)算可得到：（習(xí)題3.4）

其中系數(shù)Q隨結(jié)構(gòu)而異，對于簡單立方、體心20這就是Bloch最初得到的結(jié)果，被后人稱作Bloch定律。它描寫了鐵磁體在低溫下自發(fā)磁化強(qiáng)度同溫度之間所普遍遵守的規(guī)律，在很低的溫度下，它與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合的很好。Ni的約化磁化強(qiáng)度對約化溫度關(guān)系見奧書p96這就是Bloch最初得到的結(jié)果，被后人稱作Bloch21求和：k的取值可以近似當(dāng)作連續(xù)的。求和變積分。用和晶格振動相同的方法，可以給出自旋波的態(tài)密度：（長波近似下）代入求解：習(xí)題提示：查積分表得知：求和：k的取值可以近似當(dāng)作連續(xù)的。求和變積分。用和晶格振動22考慮到單位體積的原子數(shù)：簡立方、面心立方、體心立方Q值分別為：1，2，4。所以有：以上參見Kittel書8版p231；黃昆書p420-421這雖是一個各書共同的結(jié)論，但推導(dǎo)方法卻各有所不同，（例如姜書p165），請?jiān)诹?xí)題中論證其是否合理？或提出你認(rèn)為更加合理的辦法?？紤]到單位體積的原子數(shù)：所以有：以上參見Kittel書8版p233.1指出，按照分子場理論，在低溫下：右圖實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在低溫下隨溫度變化要快得多。實(shí)驗(yàn)給出：（T=0.1Tc）表明其變化的主項(xiàng)是：A的實(shí)驗(yàn)值：和自旋波理論的結(jié)果是一致的。見Kittel書8版p2263.1指出，按照分子場理論，在低溫下：右圖實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在低24鐵磁體在低溫下的比熱：在溫度T下熱力學(xué)平衡時，體系中自旋波對內(nèi)能的貢獻(xiàn)為：可以證明，低溫下自旋波對定容熱容的貢獻(xiàn)為：此式表明，熱容同樣遵從定律，和晶格熱容是不同的。鐵磁體在低溫下的比熱：可以證明，低溫下自旋波對定容熱容的貢獻(xiàn)25鐵磁體的自旋波在50年后期由中子非彈性散射實(shí)驗(yàn)直接觀察到，并測出了其色散關(guān)系，證實(shí)了上述理論的正確性。除去中子非彈性散射外，鐵磁共振，布里淵散射等都可用來觀測自旋波。前面給出長波近似下：其系數(shù)可以由鐵磁薄膜的中子散射和自旋波共振準(zhǔn)確測定。例如Shirane測定：Fe,Co,Ni（在T=295K）D=281；500；360meV·?見Kittel書8版p230見戴書4.9節(jié)p304五.自旋波的實(shí)驗(yàn)研究鐵磁體的自旋波在50年后期由中子非彈性散射實(shí)驗(yàn)26自旋波非彈性散射原理：入射波入射波散射波散射波吸收或激發(fā)一個磁子自旋波非彈性散射原理：入射波入射波散射波散射波吸收或激發(fā)一個27

見Kittel8版p232見Kittel8版p23228見戴書p289見戴書p28929見戴書p315中子非彈性散射測量獲得Ni在不同溫度下自旋波色散關(guān)系見戴書p315中子非彈性散射測量獲得Ni在不同溫度下自旋波色30

上面理論是在三個近似（近獨(dú)立、近飽和，長波）下給出的，只適用于極低溫的情況。因?yàn)榧葲]有考慮兩個自旋波同時出現(xiàn)在一個原子上的情況，也忽視了兩個自旋翻轉(zhuǎn)出現(xiàn)在相鄰原子上的情況，而溫度較高時，它們都不能忽視。為此后人對自旋波理論做了很多的補(bǔ)充和完善，1956年Dyson正確地解決了自旋波之間的相互散射問題，證明在略高一點(diǎn)的低溫范圍，自發(fā)磁化強(qiáng)度的溫度關(guān)系修正項(xiàng)為：4.2~290K溫度范圍內(nèi)，純Ni單晶的測量證實(shí)了此結(jié)果。見姜書p166六.自旋波理論的發(fā)展上面理論是在三個近似（近獨(dú)立、近飽和，長波）下31當(dāng)溫度很低時，只有k值很小的自旋波才能夠被激發(fā)，因此只需取能量展開式的第一項(xiàng)。隨著溫度升高，就應(yīng)當(dāng)考慮高次項(xiàng)的影響。在1K到4.5K溫度范圍內(nèi),對CrBr3自發(fā)磁化強(qiáng)度的測量得到前三項(xiàng)符合的非常好，測得的系數(shù)a=(2.5440.067)×10-3K-3/2b=(3.031.04)×10-5K-5/2見戴書p166但更高次的項(xiàng)未被明顯觀察到。當(dāng)溫度很低時，只有k值很小的自旋波才能夠被32每一個自旋都是一個磁偶極子，因此自旋和自旋之間還存在著磁偶極相互作用，在磁性介質(zhì)中，磁偶極作用和交換作用相比要小得多，因此通?？梢院雎圆挥?jì)，但在自旋波的長波區(qū)域，交換作用隨k的減小而趨于零，這就必須考慮磁偶極作用了。有磁偶極作用和交換作用的哈密頓量求解困難，可以分段進(jìn)行，其中a是晶格常數(shù)，L是晶體線度。（2）是靜磁模區(qū)域。給出的自旋波譜如下圖所示：磁偶極作用下的自旋波譜每一個自旋都是一個磁偶極子，因此自旋和自旋之間33由于磁偶極子的存在，自旋波能量變得與方向有關(guān)。虛線部分為自旋波理論不成立的區(qū)域由于磁偶極子的存在，自旋波能量變得與方向有關(guān)。虛線部分為自旋34Bloch自旋波方法和Heisenberg理論同樣都建立在局域磁距模型基礎(chǔ)上，認(rèn)為原子磁距來源于未滿殼層的電子自旋。但Bloch理論和Heisenberg理論目的不同，考慮的不是形成自旋磁距有序排列的機(jī)制，而是磁距有序排列后的行為。由于自旋波理論考慮了自旋間的長程關(guān)聯(lián)，并在低溫下獲得了十分簡單的結(jié)果，因此這一理論特別使用于溫度較低的場合，這恰恰彌補(bǔ)了分子場理論和其他理論的不足。此外自旋波理論在鐵磁共振和磁損耗的研究中也起著重要作用。

局域磁距并不是自旋波理論的必要基礎(chǔ)，從巡游電子模型也可以導(dǎo)出自旋波的存在。小結(jié)Bloch自旋波方法和Heisenberg理353.3試?yán)昧孔恿W(xué)的結(jié)果給出面心立方和體心立方晶體自旋波的色散關(guān)系，并證明長波近似下。都可以表示為：3.4試用Bloch模型推出接近零度時的Bloch定理：簡立方、體心立方、面心立方Q值分別為1，2，4。習(xí)題3.3試?yán)昧孔恿W(xué)的結(jié)果給出面心立方和體心立方晶體3363.4題提示：有幾種推導(dǎo)方法，例如，姜書和Kittel書觀點(diǎn)有別，請分析其合理性。下面兩個公式，哪一個更合理？如何正確求解3.4題提示：有幾種推導(dǎo)方法，例如，姜書和Kittel371905年10月23日出生于瑞士的蘇黎世，上完中學(xué)后，他本來想當(dāng)一名工程師，于是就直接進(jìn)入蘇黎世的聯(lián)邦工業(yè)大學(xué)。

一年后，決定轉(zhuǎn)學(xué)物理，通過薛定諤、德拜等教授的課程，他逐漸熟悉了量子力學(xué)。后來他到德國萊比錫大學(xué)跟海森伯繼續(xù)研究。

1928年獲得博士學(xué)位。以晶體中電子的量子力學(xué)和金屬導(dǎo)電理論方面的內(nèi)容做論文。

1933年去到美國。

1934年起在斯坦福大學(xué)任教。

1939年入了美國籍。

1954年曾擔(dān)任過歐洲核子研究中心的第一任主任，回到斯坦福大學(xué)后，曾經(jīng)