浙江省杭二中2023年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值為（）A．4 B．4或-4 C．2 D．2或-22．在一項調(diào)查中有兩個變量和，下圖是由這兩個變量近8年來的取值數(shù)據(jù)得到的散點圖，那么適宜作為關(guān)于的回歸方程的函數(shù)類型是()A． B．C． D．（）3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入m=1,n=3，輸出的x=1.75，則空白判斷框內(nèi)應(yīng)填的條件為（）A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A．的虛部為i B．C．為純虛數(shù) D．5．在極坐標(biāo)系中，圓的圓心的極坐標(biāo)為（）A． B． C． D．6．兩個變量的相關(guān)關(guān)系有正相關(guān)，負(fù)相關(guān)，不相關(guān)，則下列散點圖從左到右分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是A． B． C． D．7．已知函數(shù),且,其中是的導(dǎo)函數(shù)，則（）A． B． C． D．8．已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞減，且是偶函數(shù)，不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．9．一個均勻的正方體，把其中相對的面分別涂上紅色、黃色、藍(lán)色，隨機(jī)向上拋出，正方體落地時“向上面為紅色”的概率是A． B． C． D．10．等比數(shù)列的前n項和為，已知，則A． B． C． D．11．函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．12．若滿足，則的最大值為()A．8 B．7 C．2 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中，項的系數(shù)為______．14．在半徑為1的球面上，若A，B兩點的球面距離為，則線段AB的長|AB|＝_____．15．設(shè)A=xx≤2019，x∈R16．不等式的解為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列（）的通項公式為（）.（1）分別求的二項展開式中的二項式系數(shù)之和與系數(shù)之和；（2）求的二項展開式中的系數(shù)最大的項；（3）記（），求集合的元素個數(shù)（寫出具體的表達(dá)式）.18．（12分）已知函數(shù).（1）畫出函數(shù)的大致圖象，并寫出的值域；（2）若關(guān)于的不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值;（2）當(dāng)時，證明：;（3）設(shè)函數(shù)的圖象與直線的兩個交點分別為，，的中點的橫坐標(biāo)為，證明：.20．（12分）設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性；(Ⅱ)當(dāng)函數(shù)有最大值且最大值大于時，求的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的零點；（2）若不等式至少有一個負(fù)解，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）設(shè)函數(shù)，其中.（Ⅰ）若，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，（i）證明恰有兩個零點（ii）設(shè)為的極值點，為的零點，且，證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由等比數(shù)列通項公式可得q4＝16，由a3＝a1q2，計算可得．【詳解】因故選：A【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及通項公式，屬于簡單題．2、B【解析】

根據(jù)散點圖的趨勢，選定正確的選項.【詳解】散點圖呈曲線，排除A選項，且增長速度變慢，排除選項C、D，故選B．【點睛】本小題主要考查散點圖，考查回歸直線方程等知識，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】當(dāng)?shù)谝淮螆?zhí)行，返回，第二次執(zhí)行，返回，第三次，，要輸出x,故滿足判斷框，此時，故選B.點睛：本題主要考查含循環(huán)結(jié)構(gòu)的框圖問題．屬于中檔題．處理此類問題時，一般模擬程序的運(yùn)行，經(jīng)過幾次運(yùn)算即可跳出循環(huán)結(jié)束程序，注意每次循環(huán)后變量的變化情況，尋找規(guī)律即可順利解決，對于運(yùn)行次數(shù)比較多的循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般能夠找到周期或規(guī)律，利用規(guī)律或周期確定和時跳出循環(huán)結(jié)構(gòu)，得到問題的結(jié)果.4、C【解析】

先利用復(fù)數(shù)的除法將復(fù)數(shù)化為一般形式，然后利用復(fù)數(shù)的基本知識以及四則運(yùn)算法則來判斷各選項的正誤．【詳解】，的虛部為，，為純虛數(shù)，，故選C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的概念、共軛復(fù)數(shù)等的理解，解題的關(guān)鍵就是將復(fù)數(shù)化為一般形式，借助相關(guān)概念進(jìn)行理解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解析】由圓，化為，∴，化為，∴圓心為，半徑r=．∵tanα=，取極角，∴圓的圓心的極坐標(biāo)為．故選A．6、D【解析】

分別分析三個圖中的點的分布情況，即可得出圖是正相關(guān)關(guān)系，圖不相關(guān)的，圖是負(fù)相關(guān)關(guān)系．【詳解】對于，圖中的點成帶狀分布，且從左到右上升，是正相關(guān)關(guān)系；對于，圖中的點沒有明顯的帶狀分布，是不相關(guān)的；對于，圖中的點成帶狀分布，且從左到右是下降的，是負(fù)相關(guān)關(guān)系．故選：D．【點睛】本題考查了利散點圖判斷相關(guān)性問題，是基礎(chǔ)題．7、A【解析】分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后由f′（x）=2f（x），求出sinx與cosx的關(guān)系，同時求出tanx的值，化簡要求解的分式，最后把tanx的值代入即可．詳解：因為函數(shù)f（x）=sinx-cosx，所以f′（x）=cosx+sinx，由f′（x）=2f（x），得：cosx+sinx=2sinx-2cosx，即3cosx=sinx，所以.所以=.故答案為A.點睛：（1）本題主要考查求導(dǎo)和三角函數(shù)化簡求值，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化計算能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是=.這里利用了“1”的變式，1=.8、A【解析】

根據(jù)是偶函數(shù)可以得出函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減可以得出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，從而解出不等式對任意的恒成立時的取值范圍．【詳解】是偶函數(shù)，所以得出函數(shù)的對稱軸為，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增．因為，所以．因為不等式對任意的恒成立，所以．選擇A【點睛】本題主要考查了函數(shù)的對稱軸和奇偶性的綜合問題，在解決此類題目時要搞清楚每一個條件能得出什么結(jié)論，把這些結(jié)論綜合起來即得出結(jié)果．屬于較難的題目．9、B【解析】

∵隨機(jī)拋正方體，有6種等可能的結(jié)果，其中正方體落地時“向上面為紅色”有2種情況，

∴正方體落地時“向上面為紅色”的概率是

.故選B.10、A【解析】設(shè)公比為q,則，選A.11、B【解析】分析：直接利用柯西不等式求函數(shù)的最大值.詳解：由柯西不等式得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)即x=時取最大值）故答案為B.點睛：（1）本題主要考查柯西不等式求最值，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)二元柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)均為實數(shù)，則，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立.12、B【解析】試題分析：作出題設(shè)約束條件可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，把直線向上平移，增加，當(dāng)過點時，為最大值．故選B．考點：簡單的線性規(guī)劃問題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用二項式展開式的通項公式，求得項的系數(shù).【詳解】二項式，展開式中含項為，所以項的系數(shù)為.故答案為：.【點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)球面距離的概念得弦所對的球心角，再根據(jù)余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)球心為，根據(jù)球面距離的概念可得，在三角形中，由余弦定理可得，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了球面距離的概念，考查了余弦定理，關(guān)鍵是根據(jù)球面距離求得球心角，屬于基礎(chǔ)題.15、?【解析】

首先解絕對值不等式求得集合A，根據(jù)偶次根式的條件求得集合B，之后求得兩集合的交集，得到結(jié)果.【詳解】解不等式x≤2019得A=[-2019,2019]根據(jù)x-2020≥02020-x≥0，解得B=2020，所以故答案是：?.【點睛】該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算的問題，涉及到的知識點有絕對值不等式的解法，函數(shù)的定義域，兩集合的交集的求解，屬于簡單題目.16、或或或【解析】

利用組合數(shù)公式得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍，即可得出正整數(shù)的取值.【詳解】，由組合數(shù)公式得，得，整理得，即，解得，由題意可知且，因此，不等式的解為或或或.故答案為：或或或.【點睛】本題考查組合不等式的求解，解題的關(guān)鍵就是利用組合數(shù)公式列出不等式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），0；（2），；（3）.【解析】

（1）根據(jù)二項展開式直接得二項式系數(shù)之和為，利用賦值法求二項展開式中的系數(shù)之和；（2）根據(jù)二項展開式通項公式得系數(shù)，再列方程組解得系數(shù)最大的項；（3）先根據(jù)二項式定理將展開成整數(shù)與小數(shù)，再根據(jù)奇偶性分類討論元素個數(shù)，最后根據(jù)符號數(shù)列合并通項.【詳解】（1）二項展開式中的二項式系數(shù)之和為，令得二項展開式中的系數(shù)之和為；（2）設(shè)二項展開式中的系數(shù)最大的項數(shù)為則因此二項展開式中的系數(shù)最大的項為，（3）所以當(dāng)為偶數(shù)時，集合的元素個數(shù)為當(dāng)為奇數(shù)時，集合的元素個數(shù)為綜上，元素個數(shù)為【點睛】本題考查二項式系數(shù)之和、二項式展開式各項系數(shù)之和、二項式展開式中系數(shù)最大項以及利用二項式展開式計數(shù)，考查綜合分析求解與應(yīng)用能力，屬較難題.18、（1）作圖見解析；值域為（2）【解析】

（1）將轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，即可畫出函數(shù)圖象；（2）根據(jù)（1）求得分段函數(shù)，可得分段函數(shù)表達(dá)式，畫出其函數(shù)圖象，求得，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）∵，∴的圖象的圖像如圖，的值域為.根據(jù)圖象可得：的值域為.（2）由（1）得，畫出其函數(shù)圖象：根據(jù)其分段函數(shù)圖象特征可得:，由關(guān)于的不等式有解等價于，即.【點睛】本題主要考查了求分段函數(shù)的值域和根據(jù)不等式有解求參數(shù)范圍問題，解題關(guān)鍵是掌握通過函數(shù)圖象求值域的方法和根據(jù)不等式有解求參數(shù)的解法，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.19、（1）取得極大值，沒有極小值（2）見解析（3）見解析【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)極值的定義，即可求解函數(shù)的極值；（2）由，整理得整理得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．（3）不妨設(shè)，由（1）和由（2），得，利用單調(diào)性，即可作出證明．【詳解】（1）由題意，函數(shù)，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極大值，沒有極小值;（2）由得整理得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，從而有．（3）證明：不妨設(shè)，由（1）知，則，由（2）知，由在上單調(diào)遞減，所以，即，則，所以.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．20、(1)當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)．【解析】

（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，①當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令，解得，i）當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，ii）當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：當(dāng)函數(shù)有最大值且最大值大于，，即，令，且在上單調(diào)遞增，在上恒成立，故的取值范圍為.21、（1）；（2）【解析】

（1）由，有，即，即可求得函數(shù)的零點；（2）不等式可化為，分別作出拋物線在軸上方的部分和拋物線在軸下方的部，結(jié)合圖象求得兩個臨界位置，即可得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)，令，有，即，則，解得，即，故函數(shù)的零點為；（2）不等式可化為，如圖所示，曲線段和分別是拋物線在軸上方的部分和拋物線在軸下方的部，因為不等式至少有一個負(fù)解，由圖象可知，直線有兩個臨界位置，一個是與曲線段相切，另一個是通過曲線段和軸的交點，后者顯然對應(yīng)于；前者由可得到方程，由，解得，因此當(dāng)時，不等式至少有一個負(fù)解，故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，以及利用函數(shù)的圖象求解不等式的有解問題，其中解答中熟記函數(shù)零點的概念，以及合理利用函數(shù)的圖象是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.22、（I）在內(nèi)單調(diào)遞增.；（II）（i）見解析；（ii）見解析.【解析】

（I）；首先寫出函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的符號，從而得到結(jié)果；（II）（i）對函數(shù)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得極值的符號，從而確定出函數(shù)的零點個數(shù)，得到結(jié)果；（ii）首先根據(jù)題意，列出方程組，借助于中介函數(shù)，證得結(jié)果.【詳解】（I）解：由已知，的定義域為，且，因此當(dāng)時，，從而