湖南省湘西2023年數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有（）A．10種 B．20種 C．25種 D．32種2．現(xiàn)有張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各張.從中任取張，要求這張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多張.不同取法的種數(shù)為A． B． C． D．3．給出以下四個(gè)說(shuō)法：①殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越?、谠诳坍?huà)回歸模型的擬合效果時(shí)，相關(guān)指數(shù)的值越大，說(shuō)明擬合的效果越好；③在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加個(gè)單位；④對(duì)分類變量與，若它們的隨機(jī)變量的觀測(cè)值越小，則判斷“與有關(guān)系”的把握程度越大．其中正確的說(shuō)法是A．①④ B．②④ C．①③ D．②③4．若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（）A．3 B．4 C．5 D．65．函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，，則下列結(jié)論正確的是（）A．在區(qū)間上，先減后增且B．在區(qū)間上，先減后增且C．在區(qū)間上，遞減且D．在區(qū)間上，遞減且6．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．7．已知是定義在上的函數(shù)，且對(duì)于任意，不等式恒成立，則整數(shù)的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．48．函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上的最大值是()A． B． C． D．9．如圖1為某省2019年1~4月快遞義務(wù)量統(tǒng)計(jì)圖，圖2是該省2019年1~4月快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計(jì)圖，下列對(duì)統(tǒng)計(jì)圖理解錯(cuò)誤的是()A．2019年1~4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低，差值接近2000萬(wàn)件B．2019年1~4月的業(yè)務(wù)量同比增長(zhǎng)率超過(guò)50%，在3月最高C．從兩圖來(lái)看2019年1~4月中的同一個(gè)月快遞業(yè)務(wù)量與收入的同比增長(zhǎng)率并不完全一致D．從1~4月來(lái)看，該省在2019年快遞業(yè)務(wù)收入同比增長(zhǎng)率逐月增長(zhǎng)10．設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．，則B．，則C．，則D．，則11．設(shè)有下面四個(gè)命題若，則；若，則；若，則；若，則.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．12．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________（用數(shù)字作答）14．已知，在函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，則值為_(kāi)_________．15．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_(kāi)________.16．若，則的值為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足,且（1）求及；(2)設(shè)求數(shù)列的前n項(xiàng)和18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，直線的參數(shù)方程是(為參數(shù))．求直線被曲線截得的弦長(zhǎng).19．（12分）（1）求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）用，，，，組成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，求滿足條件的五位數(shù)中偶數(shù)的個(gè)數(shù).20．（12分）已知函數(shù)，（其中，且），（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）能否從（1）的結(jié)論中獲得啟示，猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論并證明你的猜想．21．（12分）如圖，平面，在中，，，交于點(diǎn)，，，，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】每個(gè)同學(xué)都有2種選擇，根據(jù)乘法原理，不同的報(bào)名方法共有種，應(yīng)選D.2、C【解析】試題分析：3張卡片不能是同一種顏色，有兩種情形：三種顏色或者兩種顏色，如果是三種顏色，取法數(shù)為，如果是兩種顏色，取法數(shù)為，所以取法總數(shù)為，故選C．考點(diǎn)：分類加法原理與分步乘法原理．【名師點(diǎn)晴】（1）對(duì)于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問(wèn)題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺?huà)出示意圖或列出表格，使問(wèn)題更加直觀、清晰．（2）當(dāng)兩個(gè)原理混合使用時(shí)，一般是先分類，在每類方法里再分步．3、D【解析】

根據(jù)殘差點(diǎn)分布和相關(guān)指數(shù)的關(guān)系判斷①是否正確，根據(jù)相關(guān)指數(shù)判斷②是否正確，根據(jù)回歸直線的知識(shí)判斷③是否正確，根據(jù)聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)判斷④是否正確.【詳解】殘差點(diǎn)分布寬度越窄，相關(guān)指數(shù)越大，故①錯(cuò)誤.相關(guān)指數(shù)越大，擬合效果越好，故②正確.回歸直線方程斜率為故解釋變量每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加個(gè)單位，即③正確.越大，有把握程度越大，故④錯(cuò)誤.故正確的是②③，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查殘差分析、相關(guān)指數(shù)、回歸直線方程和獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【詳解】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．設(shè)得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)最大．由，解得，即，代入目標(biāo)函數(shù)得．即目標(biāo)函數(shù)的最大值為1．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法．5、D【解析】

由定積分，微積分基本定理可得：f（t）dt表示曲線f（t）與t軸以及直線t＝0和t＝x所圍區(qū)域面積，當(dāng)x增大時(shí)，面積增大，減小，g（x）減小，故g（x）遞減且g（x）＜0，得解．【詳解】由題意g（x）f（t）dt，因?yàn)閤∈（0，4），所以t∈（0，4），故f（t）<0，故f（t）dt的相反數(shù)表示曲線f（t）與t軸以及直線t＝0和t＝x所圍區(qū)域面積，當(dāng)x增大時(shí)，面積增大，減小，g（x）減小，故g（x）遞減且g（x）＜0，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了定積分，微積分基本定理，屬中檔題．6、A【解析】

根據(jù)題意函數(shù)在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在恒成立，利用換元法，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)，列出相應(yīng)的不等式，即可求解出的取值范圍。【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以，即．故答案選A?！军c(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，解題時(shí)常與導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用相結(jié)合。7、A【解析】

利用的單調(diào)性和奇偶性，將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，然后將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成最值問(wèn)題，借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)，即可解決問(wèn)題．【詳解】，可知，且單調(diào)遞增，可以變?yōu)椋?，∴，可知，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，可知，∴，∵，∴整數(shù)的最小值為1.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)、抽象不等式的解法、以及恒成立問(wèn)題的一般解法，意在考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的的能力．8、D【解析】分析：先求導(dǎo)，再求函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上的最大值.詳解：由題得令因?yàn)?所以函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為e-1.故答案為D.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.(2)設(shè)是定義在閉區(qū)間上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，可以這樣求最值：①求出函數(shù)在內(nèi)的可能極值點(diǎn)（即方程在內(nèi)的根）；②比較函數(shù)值，與，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.9、D【解析】

由題意結(jié)合所給的統(tǒng)計(jì)圖確定選項(xiàng)中的說(shuō)法是否正確即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：2018年1～4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低，差值為，接近2000萬(wàn)件，所以A是正確的；對(duì)于選項(xiàng)B：2018年1～4月的業(yè)務(wù)量同比增長(zhǎng)率分別為，均超過(guò)，在3月最高，所以B是正確的；對(duì)于選項(xiàng)C：2月份業(yè)務(wù)量同比增長(zhǎng)率為53%，而收入的同比增長(zhǎng)率為30%，所以C是正確的；對(duì)于選項(xiàng)D，1，2，3，4月收入的同比增長(zhǎng)率分別為55%，30%，60%，42%，并不是逐月增長(zhǎng)，D錯(cuò)誤.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖及其應(yīng)用，新知識(shí)的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10、A【解析】

依據(jù)空間中點(diǎn)、線、面的位置逐個(gè)判斷即可.【詳解】直線所在的方向向量分別記為，則它們分別為的法向量，因，故，從而有，A正確.B、C中可能平行，故B、C錯(cuò)，D中平行、異面、相交都有可能，故D錯(cuò).綜上，選A.【點(diǎn)睛】本題考查空間中與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假判斷，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】分析：對(duì)四個(gè)命題逐一分析即可.詳解：對(duì)若，則，故不正確；對(duì)若，則，故正確；對(duì)若，則，故正確；對(duì)若，對(duì)稱軸為，則，故正確.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查了命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題.12、B【解析】因?yàn)?所以,解得.即等于.故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

通過(guò)先分析個(gè)位數(shù)字的可能，再排列十位和千位即得答案.【詳解】根據(jù)題意，個(gè)位數(shù)字是1,3,5共有3種可能，由于還剩下4個(gè)數(shù)字，排列兩個(gè)位置故可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為,故答案為36.【點(diǎn)睛】本題主要考查排列組合相關(guān)知識(shí)，難度不大.14、【解析】由題意，令，，則，所以，，即，當(dāng)，；當(dāng)，，如圖所示，由勾股定理得，解得.15、【解析】

求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)是單調(diào)遞增的，再利用解得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，是定義在上的奇函數(shù)是在上單調(diào)遞增故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增是解題的關(guān)鍵.16、【解析】令，得，令，得，則.點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用；在利用二項(xiàng)式定理求二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和時(shí)，往往采用賦值法或整體賦值法，要靈活注意展開(kāi)式中未知數(shù)的系數(shù)的特點(diǎn)合理賦值，往往是1，0,或.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）【解析】

（1）由，得到數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而可求得和；（2）由（1）知，根據(jù)等差數(shù)列的定義，得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，可知，且，則數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列，又由，解得，.（2）由（1）知，又由，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為-1的等差數(shù)列，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差、等比數(shù)的定義，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題.18、【解析】分析：首先求得直角坐標(biāo)方程，然后求得圓心到直線的距離，最后利用弦長(zhǎng)公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果；詳解：利用加減消元法消去參數(shù)得曲線的直角坐標(biāo)方程是，同時(shí)得到直線的普通方程是，圓心到直線的距離，則弦長(zhǎng)為直線被曲線截得的弦長(zhǎng)為點(diǎn)睛：本題考查了圓的弦長(zhǎng)公式，極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程互化等，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于中等題．19、（1）15；（2）48.【解析】分析：(1）由排列組合的知識(shí)可知常數(shù)項(xiàng)為.(2）由排列組合的知識(shí)可知滿足題意的偶數(shù)的個(gè)數(shù)為.詳解：(1）由排列組合的知識(shí)可知的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.(2）首先排列好個(gè)位，然后排列其余位數(shù)上的數(shù)字，由排列組合的知識(shí)可知滿足條件的五位數(shù)為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為.點(diǎn)睛：本題主要考查排列組合與二項(xiàng)式定理知識(shí)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20、（1）（2）猜想：；證明見(jiàn)解析【解析】

（1）分別代入并化簡(jiǎn)，可得，即可求出答案；（2）猜想：；分別代入表達(dá)式，化簡(jiǎn)并整理即可證明.【詳解】解：（1）.因?yàn)楹瘮?shù)與具有相同的單調(diào)性，且都是單調(diào)函數(shù)，所以是單調(diào)函數(shù)..（2）由，猜想：.證明:.所以.【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理，考查了學(xué)生的推理能力，屬于中檔題.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

過(guò)D作平行線DH，則可得兩兩垂直，以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)，求出長(zhǎng)，寫(xiě)出的坐標(biāo)．求出相應(yīng)向量，（1）由，證得垂直；（2）求出平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值等于向量和夾角余弦值的絕對(duì)值．由向量的數(shù)量積運(yùn)算易求．【詳解】（1）過(guò)D作平行線DH，以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，為軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖，在中，，，，，交于點(diǎn)，，；,，，；（2）由（1）可知，，，設(shè)平面BEF的法向量為，所以，，取，，設(shè)直線與平面所成角為，所以=.【點(diǎn)睛】本題考查證明空間兩直線垂直，考查求直線與平面所成的角，解題方法是建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法證明線線垂直，求線面角，這種方法主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，思維量很少，解法固定．22、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）．【解析】分析：（1）先證明，，再證明平面.(2)利用向量方法求直線與平面所成角的正弦值.詳解：（Ⅰ）因?yàn)?，平面平面，，所以平面，所以，又因?yàn)?，所以平面；（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，因