云南省紅河市2022-2023學年數(shù)學高二第二學期期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若對于任意的，都有成立，則的最小值為（）A．4 B．1 C． D．22．已知，則的值為（）A． B． C． D．3．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數(shù)，組成復數(shù)，其中虛數(shù)有（）A．30個 B．42個 C．36個 D．35個4．一只袋內(nèi)裝有個白球，個黑球，所有的球除顏色外完全相同，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設此時取出了個白球，則下列概率等于的是（）A． B． C． D．5．的展開式中各項系數(shù)之和為，設，則（）A． B． C． D．6．中，若，則該三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形7．設，則是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．某電子元件生產(chǎn)廠家新引進一條產(chǎn)品質量檢測線，現(xiàn)對檢測線進行上線的檢測試驗：從裝有個正品和個次品的同批次電子元件的盒子中隨機抽取出個，再將電子元件放回.重復次這樣的試驗，那么“取出的個電子元件中有個正品，個次品”的結果恰好發(fā)生次的概率是（）A． B． C． D．9．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()A． B． C． D．10．半徑為2的球的表面積為（）A． B． C． D．11．如圖,用6種不同的顏色把圖中A,B,C,D四塊區(qū)域涂色分開,若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色,則不同涂法的種數(shù)為()A．400 B．460 C．480 D．49612．已知函數(shù)，若方程有五個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．（0，1） C．（－∞，0） D．（0，）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________．14．某課題組進行城市空氣質量調(diào)查，按地域把24個城市分成甲、乙、丙三組，對應的城市數(shù)分別為4，12，8，若用分層抽樣抽取6個城市，則丙組中應抽取的城市數(shù)為_______．15．函數(shù)在處的切線方程是______.16．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當時，，則方程的實根個數(shù)為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線：(為參數(shù))，曲線：（為參數(shù)）．(1)設與相交于兩點，求；(2)若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線，設點P是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最大值．18．（12分）設向量，，，記函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，，求面積的最大值.19．（12分）“中國人均讀書4.3本（包括網(wǎng)絡文學和教科書），比韓國的11本、法國的20本、日本的40本、猶太人的64本少得多，是世界上人均讀書最少的國家.”這個論斷被各種媒體反復引用，出現(xiàn)這樣的統(tǒng)計結果無疑是令人尷尬的，而且和其他國家相比，我國國民的閱讀量如此之低，也和我國是傳統(tǒng)的文明古國、禮儀之邦的地位不相符.某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書興趣，特舉辦讀書活動，準備進一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站，由于不同年齡段需看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對小區(qū)內(nèi)看書人員進行年齡調(diào)查，隨機抽取了一天40名讀書者進行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，，，，后得到如圖所示的頻率分布直方圖.問：（1）估計在40名讀書者中年齡分布在的人數(shù)；（2）求40名讀書者年齡的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）若從年齡在的讀書者中任取2名，求這兩名讀書者年齡在的人數(shù)的分布列及數(shù)學期望.20．（12分）某地方政府召開全面展開新舊動能轉換重大工程動員大會，動員各方力量，迅速全面展開新舊動能轉換重大工程．某企業(yè)響應號召，對現(xiàn)有設備進行改造，為了分析設備改造前后的效果，現(xiàn)從設備改造前、后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了200件作為樣本，檢測一項質量指標值．若該項質量指標值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品．如圖所示的是設備改造前樣本的頻率分布直方圖．（1）若設備改造后樣本的該項質量指標值服從正態(tài)分布，求改造后樣本中不合格品的件數(shù)；（2）完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質量標值與設備改造有關．0設備改造前設備改造后合計合格品件數(shù)不合格品件數(shù)合計附參考公式和數(shù)據(jù)：若，則，．0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63521．（12分）已知集合=，集合=.（1）若，求；（2）若AB，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)在處的切線的斜率為1．(1)求的值及的最大值；(2)用數(shù)學歸納法證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由題意得出的一個最大值為，一個最小值為，于此得出的最小值為函數(shù)的半個周期，于此得出答案．【詳解】對任意的，成立.所以，，所以，故選D．【點睛】本題考查正余弦型函數(shù)的周期性，根據(jù)題中條件得出函數(shù)的最值是解題的關鍵，另外就是靈活利用正余弦型函數(shù)的周期公式，考查分析問題的能力，屬于中等題．2、B【解析】

根據(jù)導函數(shù)求得，從而得到，代入得到結果.【詳解】由題意：，則解得：本題正確選項：【點睛】本題考查導數(shù)值的求解問題，關鍵是能夠通過導函數(shù)求得，從而確定導函數(shù)的解析式.3、C【解析】

解：∵a，b互不相等且為虛數(shù)，∴所有b只能從{1，2，3，4，5，6}中選一個有6種，a從剩余的6個選一個有6種，∴根據(jù)分步計數(shù)原理知虛數(shù)有6×6=36（個）．故選C4、D【解析】

當時，前2個拿出白球的取法有種，再任意拿出1個黑球即可，有種取法，在這3次拿球中可以認為按順序排列，由此能求出結果．【詳解】當時，即前2個拿出的是白球，第3個是黑球，前2個拿出白球，有種取法，再任意拿出1個黑球即可，有種取法，而在這3次拿球中可以認為按順序排列，此排列順序即可認為是依次拿出的球的順序，即，．故選：D．【點睛】本題考查超幾何分布概率模型，考查運算求解能力，屬于基礎題.5、B【解析】

先求出的值，再根據(jù)，利用通項公式求出的值.【詳解】令，可得的展開式中各項系數(shù)之和為，，設，則.故選：B【點睛】本題考查了二項式定理求多項式的系數(shù)和，二項式定理展開式的通項公式，需熟記公式，屬于基礎題.6、D【解析】

利用余弦定理角化邊后，經(jīng)過因式分解變形化簡可得結論.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以三角形是等腰三角形或直角三角形.故選：D【點睛】本題考查了利用余弦定理角化邊，考查了利用余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎題.7、A【解析】

通過分類討論可證得充分條件成立，通過反例可知必要條件不成立，從而得到結果.【詳解】若，則；若，則；若，則，可知充分條件成立；當，時，則，此時，可知必要條件不成立；是的充分不必要條件本題正確選項：【點睛】本題考查充分條件與必要條件的判定，屬于基礎題.8、B【解析】

取出的個電子元件中有個正品，個次品的概率，重復次這樣的試驗，利用次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生次的概率計算公式能求出“取出的個電子元件中有個正品，個次品”的結果恰好發(fā)生次的概率【詳解】從裝有個正品和個次品的同批次電子元件的盒子中隨機抽取出個，再將電子元件放回，取出的個電子元件中有個正品，個次品的概率，重復次這樣的試驗，那么“取出的個電子元件中有個正品，個次品”的結果恰好發(fā)生次的概率是：.故選：B【點睛】本題考查了次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生次的概率計算公式，屬于基礎題.9、B【解析】由三視圖判斷底面為等腰直角三角形，三棱錐的高為2，則，選B.【考點定位】三視圖與幾何體的體積10、D【解析】

根據(jù)球的表面積公式，可直接得出結果.【詳解】因為球的半徑為，所以該球的表面積為.故選：D【點睛】本題主要考查球的表面積，熟記公式即可，屬于基礎題型.11、C【解析】分析：本題是一個分類計數(shù)問題，只用三種顏色涂色時，有種方法，用四種顏色涂色時，有種方法，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結果.詳解：只用三種顏色涂色時，有種方法，用四種顏色涂色時，有種方法，根據(jù)分類計數(shù)原理得不同涂法的種數(shù)為120+360=480.故答案為：C.點睛：（1）本題主要考查計數(shù)原理，考查排列組合的綜合應用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常用的方法有一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.12、D【解析】

由方程的解與函數(shù)圖象的交點關系得：方程有五個不同的實數(shù)根等價于的圖象與的圖象有5個交點，作圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個交點即可。利用導數(shù)求過某點的切線方程得：過原點的直線與相切的直線方程為，即所求的取值范圍為，得解．【詳解】設，則的圖象與的圖象關于原點對稱，方程有五個不同的實數(shù)根等價于函數(shù)的圖象與的圖象有5個交點，由圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個交點即可，設過原點的直線與切于點，，由，則過原點的直線與相切，，又此直線過點，所以，所以，即（e），即過原點的直線與相切的直線方程為，即所求的取值范圍為，故選．【點睛】本題主要考查了方程的解與函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題的關系應用及利用導數(shù)求切線方程。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：過作，垂足為，則平面，則即為所求平面角，從而可得結果.詳解：依題意，畫出圖形，如圖，過作，垂足為，由平面，可得，所以平面，則即為所求平面角，因為，，所以，故答案為.點睛：本題考查長方體的性質，以及直線與平面所成的角，屬于中檔題.求直線與平面所成的角由兩種方法：一是傳統(tǒng)法，證明線面垂直找到直線與平面所成的角，利用平面幾何知識解答；二是利用空間向量，求出直線的方向向量以及平面的方向向量，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.14、2【解析】

根據(jù)抽取6個城市作為樣本，得到每個個體被抽到的概率,用概率乘以丙組的數(shù)目，即可得到結果.【詳解】城市有甲、乙、丙三組，對應的城市數(shù)分別為4,12,8.

本市共有城市數(shù)24,用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為6的樣本，

每個個體被抽到的概率是，丙組中對應的城市數(shù)8，則丙組中應抽取的城市數(shù)為,故答案為2.【點睛】本題主要考查分層抽樣的應用以及古典概型概率公式的應用，屬于基礎題.分層抽樣適合總體中個體差異明顯，層次清晰的抽樣，其主要性質是，每個層次，抽取的比例相同.15、【解析】函數(shù)，求導得：，當時，，即在處的切線斜率為2.又時，，所以切線為：，整理得：.故答案為：.點睛：求曲線的切線方程是導數(shù)的重要應用之一，用導數(shù)求切線方程的關鍵在于求出切點及斜率，其求法為：設是曲線上的一點，則以的切點的切線方程為：．若曲線在點的切線平行于軸（即導數(shù)不存在）時，由切線定義知，切線方程為．16、4【解析】分析：函數(shù)是偶函數(shù)，還是周期函數(shù)，畫出函數(shù)圖像，轉化為的圖像交點問題來求解詳解：，則，周期為當時，由圖可得，則方程的實根個數(shù)為點睛：本題主要考查的是抽象函數(shù)的應用，關鍵在于根據(jù)題意，分析出函數(shù)的解析式，作出函數(shù)圖象，考查了學生的作圖能力和數(shù)形結合的思想應用，屬于中檔題。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解析】

（1）消去直線參數(shù)方程的參數(shù)，求得直線的普通方程.消去曲線參數(shù)方程的參數(shù)，求得曲線的普通方程，聯(lián)立直線和曲線的方程求得交點的坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式求得.（2）根據(jù)坐標變換求得曲線的參數(shù)方程，由此設出點坐標，利用點到直線距離公式列式，結合三角函數(shù)最值的求法，求得到直線的距離的最大值.【詳解】（1）的普通方程為，的普通方程為，聯(lián)立方程組，解得交點為,所以=；（2）曲線：（為參數(shù)）．設所求的點為，則到直線的距離.當時，取得最大值．【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查直線和圓相交所得弦長的求法，考查坐標變換以及點到直線距離公式，還考查了三角函數(shù)最值的求法，屬于中檔題.18、(1).（2）.【解析】分析：（1）函數(shù)，根據(jù)向量坐標的運算，求出的解析式，化簡，結合三角函數(shù)的性質可得單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)，求出A，由，利用余弦定理和基本不等式求解面積的最大值.詳解：（1）由題意知：，令，，則可得：，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）∵，∴，結合為銳角三角形，可得，∴.在中，利用余弦定理，即（當且僅時等號成立），即，又，∴.點睛：本題考查了三角函數(shù)的性質的運用、余弦定理和基本不等式靈活應用.19、(1)30;(2)54,55;(3)的分布列如下：012數(shù)學期望【解析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖知年齡在[40，70）的頻率為（0.020+0.030+0.025）×10，進而得出40

名讀書者中年齡分布在[40，70）的人數(shù)．（2）40

名讀書者年齡的平均數(shù)為25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1．計算頻率為處所對應的數(shù)據(jù)即可得出中位數(shù)．（3）年齡在[20，30）的讀書者有2人，年齡在[30，40）的讀書者有4人，所以X的所有可能取值是0，1，2．利用超幾何分布列計算公式即可得出．試題解析：（1）由頻率分布直方圖知年齡在的頻率為，所以40名讀書者中年齡分布在的人數(shù)為.（2）40名讀書者年齡的平均數(shù)為.設中位數(shù)為，則解得，即40名讀書者年齡的中位數(shù)為55.（3）年齡在的讀書者有人，年齡在的讀書者有人，所以的所有可能取值是0,1,2，，，，的分布列如下：012數(shù)學期望.20、（1）10；（2）列聯(lián)表見解析，有99%的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質量指標值與設備改造有關．【解析】

（1）設備改造后該項質量指標服從正態(tài)分布，得，，然后，然后即可求出（2）由設備改造前樣本的頻率分布直方圖，可知不合格頻數(shù)為，然后填表，再算出即可【詳解】解：（1）∵設備改造后該項質量指標服從正態(tài)分布，得，，又∵，∴設備改造后不合格的樣本數(shù)為．（2）由設備改造前樣本的頻率分布直方圖，可知不合格頻數(shù)為．得2×2列聯(lián)表如下設備改造前設備改造后合計合格品160190350不合格品401050合計200200400