2021-2022學(xué)年浙江省臺州市屯橋中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年浙江省臺州市屯橋中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為,是C上一點(diǎn)，，則（

）A.

1

B.

2

C.

4

D.8參考答案：C2.今有甲、乙、丙、丁四人通過“拔河”進(jìn)行“體力”較量。當(dāng)甲、乙兩人為一方，丙、丁兩人為另一方時，雙方勢均力敵；當(dāng)甲與丙對調(diào)以后，甲、丁一方輕而易舉地戰(zhàn)勝了乙、丙一方；而乙憑其一人之力便戰(zhàn)勝了甲、丙兩人的組合。那么，甲、乙、丙、丁四人的“體力”由強(qiáng)到弱的順序是

A．丁、乙、甲、丙

B．乙、丁、甲、丙

C．丁、乙、丙、甲

D．乙、丁、丙、甲參考答案：A略3.“x＜﹣1”是“x2+x＞0”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．

【專題】計(jì)算題．【分析】首先對命題進(jìn)行整理，得到x范圍，把兩個條件對應(yīng)的范圍進(jìn)行比較，得到前者的范圍小于后者的范圍，即屬于前者一定屬于后者，但是屬于后者不一定屬于前者，得到結(jié)論．【解答】解：∵x2+x＞0，∴x（x+1）＞0，∴x＞0或x＜﹣1，∴屬于前者一定屬于后者，屬于后者不一定屬于前者，∴前者是后者的充分不必要條件，故選A．【點(diǎn)評】本題考查必要條件，充分條件與充要條件的判斷，本題解題的關(guān)鍵是對于所給的條件進(jìn)行整理，得到兩個條件對應(yīng)的集合的范圍的大小，本題是一個基礎(chǔ)題．4.設(shè)是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是A．若，則

B．若，則

C．若，則

D．若，則

參考答案：C5.已知的一邊在平面內(nèi)，，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，則與的大小關(guān)系為………………………（

）(A) (B)(C) (D)以上情況都有可能參考答案：D6.已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．充要條件

C．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C7.設(shè)全集,則（

）A． B． C． D．參考答案：C略8.在平行四邊形ABCD中，+等于（）A． B． C． D．||參考答案：A【考點(diǎn)】向量的加法及其幾何意義．【分析】利用向量的平行四邊形法則即可得出．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴+=．故選；A．9.在極坐標(biāo)系中，已知A（3，），B(4，),O為極點(diǎn)，則的面積為（

）A.3 B. C. D.2參考答案：C【分析】由點(diǎn)，得到，且，利用三角形的面積公式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意知，點(diǎn)，可得，且，所以的面積為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了極坐標(biāo)的應(yīng)用，以及三角形的面積公式，其中解答中熟練應(yīng)用點(diǎn)的極坐標(biāo)和三角形的面積公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10.中心為,一個焦點(diǎn)為的橢圓,截直線所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則該橢圓方程是 （）A． B．

C． D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，陰影部分的面積是_________．參考答案：考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了定積分求解曲邊形的面積中的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)直線方程與曲線方程的交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限，確定被積函數(shù)是解答此類問題的關(guān)鍵，同時解答中注意圖形的分割，在軸下方的部分積分為負(fù)（積分的幾何意義強(qiáng)調(diào)代數(shù)和），著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．12.若復(fù)數(shù)z滿足，則_________.參考答案：【分析】先求出復(fù)數(shù)，再求模.【詳解】由得，則.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13.等比數(shù)列中，，那么公比

．參考答案：或14.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是_____________.參考答案：2略15.如圖,在三棱錐中,、、兩兩垂直,且.設(shè)是底面內(nèi)一點(diǎn),定義,其中、、分別是三棱錐、三棱錐、三棱錐的體積.若,

且恒成立,則正實(shí)數(shù)的最小值為________.參考答案：1略16.設(shè)正四棱錐的側(cè)棱長為3，則其體積的最大值為_________．參考答案：略17.若，，，且的最小值是___.參考答案：9【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，結(jié)合乘“1”法求出代數(shù)式的最小值即可．【詳解】∵，，，,當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立，故答案為9.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，設(shè)，過點(diǎn)作交于，作交于。沿將翻折成使平面平面；沿將翻折成使平面平面。（1）求證：平面；（2）是否存在正實(shí)數(shù)，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。參考答案：（1）法一：以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過C且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則設(shè)，由，從而于是，，平面的一個法向量為，又，，從而平面。法二：因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以平面．同理，平面，所以，從而平面．所以平面平面，從而平面。?）解：由（1）中解法一有：，，。可求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，由，即，又，，由于，所以不存在正實(shí)數(shù)，使得二面角的大小為。19.已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，|F1F2|=2，漸近線方程為，問：過點(diǎn)B（1，1）能否作直線l，使l與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，并且點(diǎn)B為線段MN的中點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，求出a，b，可得雙曲線方程；先假設(shè)存在這樣的直線l，分斜率存在和斜率不存在兩張千克設(shè)出直線l的方程，當(dāng)k存在時，結(jié)合雙曲線的方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個不同點(diǎn)，則根據(jù)△＞0及其P是線段AB的中點(diǎn)，找出矛盾，然后判斷當(dāng)k不存在時，直線經(jīng)過點(diǎn)P但不滿足條件，綜上，符合條件的直線l不存在．【解答】解：根據(jù)題意，c=，=，∴a=1，b=，∴雙曲線的方程是：=1．過點(diǎn)P（1，1）的直線方程為y=k（x﹣1）+1或x=1①當(dāng)k存在時，聯(lián)立方程可得（2﹣k2）x2+（2k2﹣2k）x﹣k2+2k﹣3=0

當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個不同點(diǎn)，可得△=（2k2﹣2k）2﹣4（2﹣k2）（﹣k2+2k﹣3）＞0，k＜，又方程的兩個不同的根是兩交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)∴x1+x2=，又∵P（1，1）是線段AB的中點(diǎn)，∴=2，解得k=2．∴k=2，使2﹣k2≠0但使△＜0因此當(dāng)k=2時，方程（2﹣k2）x2+（2k2﹣2k）x﹣k2+2k﹣3=0無實(shí)數(shù)解故過點(diǎn)P（1，1）與雙曲線交于兩點(diǎn)A、B且P為線段AB中點(diǎn)的直線不存在．②當(dāng)x=1時，直線經(jīng)過點(diǎn)P但不滿足條件，綜上所述，符合條件的直線l不存在．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查雙曲線的性質(zhì)的運(yùn)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．20.（12分）某大學(xué)餐飲中心為了了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：

喜歡甜品不喜歡甜品合計(jì)南方學(xué)生602080北方學(xué)生101020合計(jì)7030100（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”；（2）已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中2名喜歡甜品，現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率．P（K2＞k0）0.100.05

0.010.005k02.7063.841

6.6357.879

附：K2=

參考答案：【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】（1）利用2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算觀測值x2，對照表中數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；（2）利用列舉法求出從這5名學(xué)生中任取3人的基本事件數(shù)，計(jì)算對應(yīng)的概率即可．【解答】解：（1）將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式，計(jì)算得x2==≈4.762，因?yàn)?.762＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異；（2）這5名數(shù)學(xué)系學(xué)生中，2名喜歡甜品的記為A、B，其余3名不喜歡甜品的學(xué)生記為c、d、e，則從這5名學(xué)生中任取3人的結(jié)果所組成的基本事件為ABc，ABd，ABe，Acd，Ace，Ade，Bcd，Bce，Bde，cde，共10種；3人中至多有1人喜歡甜品的基本事件是Acd，Ace，Ade，Bcd，Bce，Bde，cde，共7種；所以，至多有1人喜歡甜品的概率為P=．【點(diǎn)評】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，也考查了利用列舉法求古典概型的概率問題，是基礎(chǔ)題目．21.設(shè)橢圓（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)，其離心率與雙曲線x2﹣y2=1的離心率互為倒數(shù)．（Ⅰ）求橢圓M的方程；（Ⅱ）動直線交橢圓M于A、B兩點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為，將代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓M的方程；（Ⅱ）將直線代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及弦長公式求得丨AB丨，則P到AB的距離為d=，則利用三角形的面積公式及韋達(dá)定理即可求得△PAB面積的最大值．【解答】解：（Ⅰ）雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為，由橢圓經(jīng)過點(diǎn)，得，解得：，∴橢圓M的方程為．…（Ⅱ）由，得，由△=（2m）2﹣16（m2﹣4）＞0，得，，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∴，．∴=．又P到AB的距離為d=．則…∴當(dāng)且僅當(dāng)取等號．∴．…22.已知a∈R，命題p：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命題q：“?x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】由于命題p：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，只要x∈[1，2]時，f（x）min≥0即可得出當(dāng)命題p為真命題時，a≤1，命題q為真命題時，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a的取值范圍．由于命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，可知：命題p與命題q必然一真一假，解出即可．【解答】解：∵