工程法滑移線上限法

工程法滑移線上限法第1頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.1工程法及其要點求解原理

——工作應(yīng)力，一般它在工作面上是不均勻的，常用單位壓力表示S——工作面積，按“工作面投影代替力的投影”法則求解

第2頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月求解要點工程法是一種近似解析法，通過對物體應(yīng)力狀態(tài)作一些簡化假設(shè)，建立以主應(yīng)力表示的簡化平衡微分方程和塑性條件。這些簡化和假設(shè)如下：

1．把實際變形過程視具體情況的不同看作是平面應(yīng)變問題和軸對稱問題。如平板壓縮、寬板軋制、圓柱體鐓粗、棒材擠壓和拉拔等。

2．假設(shè)變形體內(nèi)的應(yīng)力分布僅是一個坐標(biāo)的函數(shù)。這樣就可獲得近似的應(yīng)力平衡微分方程，或直接在變形區(qū)內(nèi)截取單元體，截面上的正應(yīng)力假定為主應(yīng)力且均勻分布，由此建立該單元體的應(yīng)力平衡微分方程為常微分方程。第3頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月3.采用近似的塑性條件。工程法把接觸面上的正應(yīng)力假定為主應(yīng)力，于是對于平面應(yīng)變問題，塑性條件

可簡化為或?qū)τ谳S對稱問題，塑性條件可簡化為第4頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月4．簡化接觸面上的摩擦。采用以下二種近似關(guān)系庫侖摩擦定律：（滑動摩擦）常摩擦定律：（粘著摩擦）式中：

——摩擦應(yīng)力k——屈服切應(yīng)力（）

——正應(yīng)力f——摩擦系數(shù)5．其它。如不考慮工模具彈性變形的影響，材料變形為均質(zhì)和各向同性等。第5頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月例題一1.滑動摩擦條件下的矩形塊平錘壓縮變形（直角坐標(biāo)平面應(yīng)變問題）高為h，寬為W，長為l

的矩形塊，置于平錘下壓縮。如果l

比W大得多，則l方向幾乎沒有延伸，僅在x方向和y方向有塑性流動，即為平面應(yīng)變問題，適用于直角坐標(biāo)分析。

矩形工件的平錘壓縮§7.2直角坐標(biāo)平面應(yīng)變問題解析

第6頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月（以圖示應(yīng)力方向推證。）單元體x方向的力平衡方程為：整理后得：由近似塑性條件或，得：將滑動摩擦?xí)r的庫侖摩擦定律代入上式得：上式積分得：σy－σx=Kf

第7頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月在接觸邊緣處，即時，，由近似塑性條件得于是因此接觸面上正應(yīng)力分布規(guī)律最后求得板坯單位長度（Z向單位長度）上的變形力P可求得為：第8頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月

下面討論混合摩擦條件下，平錘均勻鐓粗圓柱體時變形力計算。圓柱體鐓粗時，如果鍛件的性能和接觸表面狀態(tài)沒有方向性，則內(nèi)部的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)對稱于圓柱體軸線（z軸），即在同一水平截面上，各點的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)與坐標(biāo)無關(guān)，僅與r坐標(biāo)有關(guān)。因此是一個典型的圓柱體坐標(biāo)軸對稱問題。

§7.3圓柱坐標(biāo)軸對稱問題

第9頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月圓柱坐標(biāo)軸對稱問題工件的受力情況如右圖所示。仍以圖示受力方向推證。分析它的一個分離單元體的靜力平衡條件，得：第10頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月由于很小d，，忽略高階微分，整理得：對于均勻變形，，上式即為：將近似的塑性條件代入上式得：第11頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月接觸面上正應(yīng)力的分布規(guī)律1．滑動區(qū)上式積分得：當(dāng)r=R時，，將近似塑性條件代入上式，得積分常數(shù)C1因此：第12頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月2．粘著區(qū)將代入平衡方程得：上式積分得：設(shè)滑動區(qū)與粘著區(qū)分界點為rb。由，得此處利用這一邊界條件，得積分常數(shù)因此得：第13頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月3．停滯區(qū)一般粘著區(qū)與停滯區(qū)的分界面可近似取，于是得：積分得：當(dāng)時，，代入上式得：于是式中第14頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月

4．滑動區(qū)與粘著區(qū)的分界位置rb

滑動區(qū)與粘著區(qū)的分界位置可由滑動區(qū)在此點的與粘著區(qū)在此點的相等這一條件確定，因此在rb點上有：

因此得：第15頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月5．平均單位壓力圓柱體平錘壓縮時的平均單位壓力

式中視接觸面上的分區(qū)狀況而異。第16頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4極坐標(biāo)平面應(yīng)變問題解析

不變薄拉深（極坐標(biāo)平面應(yīng)變問題）。不變薄拉深時，由于板厚不變化，變形區(qū)主要是在凸緣部分，發(fā)生周向的壓縮及徑向延伸的變形，因而凸緣部分的變形是一種適用于極坐標(biāo)描述的平面應(yīng)變問題。由于變形的對稱性，、均為主應(yīng)力。第17頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月因此平衡微分方程為：將塑性條件代入上式得然后利用邊界條件進(jìn)行拉深力的求解。第18頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月積分常數(shù)C根據(jù)凸緣處的與邊壓力Q引起摩擦阻力相平衡條件確定，即式中－板坯厚度

Q－壓邊力因此第19頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)以上邊界條件，得積分常數(shù)于是當(dāng)（凸模半徑）時，得凸緣部分得拉深力為r=r1

第20頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月單孔模正擠壓圓棒

（球坐標(biāo)軸對稱問題）分四個區(qū)進(jìn)行求解:

1.定徑區(qū)

2.錐形塑性變形區(qū)

3.后端彈性區(qū)

4.多余功和多余應(yīng)變(仍然以圖示受力方向推證。）§7.5球坐標(biāo)軸對稱問題的解析

第21頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月1.定徑區(qū)

坯料進(jìn)入該區(qū)后，塑性變形剛好終結(jié)。坯料在該區(qū)內(nèi)只是發(fā)生彈性回復(fù)，力圖徑向漲大。因而受到定徑帶給予的正壓力與摩擦力的作用，此外還受到來自錐形塑性變形區(qū)的徑向壓力的作用，金屬在該區(qū)內(nèi)處于三向壓應(yīng)力狀態(tài)。第22頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)定徑區(qū)的力平衡條件，得式中d－擠壓后圓棒直徑；－定徑帶長度。摩擦應(yīng)力取最大值，，為定徑帶上的摩擦系數(shù)。因此可得第23頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月2.錐形塑性變形區(qū)

在該區(qū)內(nèi)，坯料受到來自I區(qū)和III區(qū)的壓力以及IV區(qū)的壓應(yīng)力和摩擦力的作用，處于三向壓應(yīng)力狀態(tài)，產(chǎn)生兩向壓縮一向拉伸的變形，當(dāng)按照球坐標(biāo)軸對稱問題處理時，認(rèn)為塑性變形區(qū)與I區(qū)和III區(qū)的分界面為同心球面，與IV區(qū)的分界面為錐角為的錐面。第24頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月在球坐標(biāo)中所截取的單元體，其力平衡條件式中忽略高階微分項，上式整理得（a）式中，m為錐面上得摩擦因子，通常取1。第25頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月將近似塑性條件代入（a）式得將上式積分得（b）當(dāng)時

第26頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月將此邊界條件代入（b）式得積分常數(shù)C：于是塑性區(qū)內(nèi)在塑性變形得入口界面上，即時其徑向應(yīng)力式中，D為擠壓筒直徑。第27頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月3.后端彈性區(qū)

坯料在該區(qū)內(nèi)受到接近等值的、強(qiáng)烈的三向壓應(yīng)力作用，一般不會發(fā)生塑性變形，只是在墊片的推動下不斷向塑性變形區(qū)內(nèi)補充金屬。由于坯料與擠壓筒間的壓力很高，所以其接觸摩擦力也很大，通常取第28頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)力平衡條件，得擠壓墊片的平均單位擠壓力為：式中－坯料第三區(qū)的長度，其最大值近似為坯料填充擠壓后的長度，

－坯料的原始直徑和長度。第29頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月4.多余功和多余應(yīng)變擠壓模錐面或“死區(qū)”錐面的約束，使坯料在塑性變形區(qū)的入口和出口處受到兩次不同方向的剪切變形，而這種剪切變形對工件的外形變化并沒有直接貢獻(xiàn)。故通常把這種變形叫做多余應(yīng)變。消耗于多余應(yīng)變上的能量叫多余功。第30頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月下面說明多余應(yīng)變及多余功對擠壓力的影響。如圖7－8所示，在塑性變形區(qū)入口處取一離軸心線半徑為r的微小圓球體，長為，厚度為。第31頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月

此圓環(huán)的剪切變形為角，假設(shè)角是隨半徑r呈線性變化的，即則消耗于微圓環(huán)剪切變形所需的能量為因此，在變形區(qū)入口處出現(xiàn)多余應(yīng)變所需的總能量為第32頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月另一方面，當(dāng)使這一多余應(yīng)變發(fā)生，擠壓軸額外提供的多余應(yīng)力作的功為由得同理，可確定在塑性變形區(qū)出口處的多余應(yīng)力因此，總的多余應(yīng)力為第33頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)

本章主要介紹了計算塑性加工變形力的一種解法——工程法的概念及其要點。舉例解析了直角坐標(biāo)平面應(yīng)變問題，極坐標(biāo)平面應(yīng)變問題，圓柱坐標(biāo)軸對稱問題以及球坐標(biāo)軸對稱問題。這里重點要掌握的是工程法的要點，直角坐標(biāo)平面應(yīng)變問題、極坐標(biāo)平面應(yīng)變問題、圓柱坐標(biāo)軸對稱問題以及球坐標(biāo)軸對稱問題的解析，且能夠運用工程法簡單分析變形力。第34頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月第8章滑移線理論及應(yīng)用§8.1概述§8.2平面應(yīng)變問題和滑移線場§8.3漢蓋（Hencky）應(yīng)力方程——滑移線的沿線力學(xué)方程§8.4滑移線的幾何性質(zhì)§8.5應(yīng)力邊界條件和滑移線場的繪制§8.6三角形均勻場與簡單扇形場組合問題及實例第35頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月滑移線理論是根據(jù)平面應(yīng)變的變形力學(xué)特點，通過聯(lián)解精確平衡微分方程與精確塑性條件，求得理想剛塑性體平面應(yīng)變問題變形力以及變形區(qū)內(nèi)應(yīng)力分布的一種圖解與數(shù)值計算相結(jié)合的方法?！?.1概述第36頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月滑移線理論是二十世紀(jì)二十年代初，基于以下實驗現(xiàn)象而發(fā)展起來的：當(dāng)金屬進(jìn)入塑性變形的初期，人們可以從光滑的金屬試樣表面觀察到一些規(guī)則取向的條紋，即所謂的“滑移帶”現(xiàn)象。第37頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月實驗表明，條紋上各點的切線方向正好是該點的最大切應(yīng)力方向。同時，金屬塑性變形的微觀機(jī)理研究表明，這些條紋也恰好是金屬晶體滑移變形的實際滑移面與金屬試樣表面的交線，滑移線的名稱即由此而來。據(jù)此，塑性力學(xué)上把塑性流動平面內(nèi)，最大切應(yīng)力等于屈服切應(yīng)力的軌跡線稱為滑移線。由于各點的最大切應(yīng)力平面是成對正交的，因此滑移線在塑性流動平面內(nèi)為兩族正交的曲線。第38頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月實驗表明，條紋上各點的切線方向正好是該點的最大切應(yīng)力方向。同時，金屬塑性變形的微觀機(jī)理研究表明，這些條紋也恰好是金屬晶體滑移變形的實際滑移面與金屬試樣表面的交線，滑移線的名稱即由此而來。據(jù)此，塑性力學(xué)上把塑性流動平面內(nèi)，最大切應(yīng)力等于屈服切應(yīng)力的軌跡線稱為滑移線。由于各點的最大切應(yīng)力平面是成對正交的，因此滑移線在塑性流動平面內(nèi)為兩族正交的曲線。第39頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月

由于金屬塑性變形的基本機(jī)制是晶體在切應(yīng)力作用下沿著特定的晶面和晶向而產(chǎn)生滑移，滑移結(jié)果在試樣表面顯露出滑移臺階，因此，滑移線是金屬塑性變形時，發(fā)生晶體滑移的可能地帶。只有特定的晶面和晶向的切應(yīng)力達(dá)到金屬的臨界屈服切應(yīng)力時才會使晶體產(chǎn)生滑移變形。第40頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)在，滑移線理論成為了求解理想剛塑性體平面應(yīng)變問題的重要方法之一，廣泛應(yīng)用于長寬比較大的矩形工件的平錘壓縮、寬板平輥軋制和板條平面擠壓、拉拔等變形力和應(yīng)力分布的計算上。近二十多年來，又推廣到了主應(yīng)力互為異號的平面應(yīng)力問題和軸對稱問題等等方面。第41頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月§8.2平面應(yīng)變問題和滑移線場對于平面塑性流動問題，由于某一方向上的位移分量為零（設(shè)duZ=0），故只有三個應(yīng)變分量（、、），也稱平面應(yīng)變問題。平面應(yīng)變問題的最大切應(yīng)力為：

這是一個以τmax為半徑的圓方程，這個圓便稱為一點的應(yīng)力狀態(tài)的莫爾圓。第42頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖8-1平面應(yīng)變問題應(yīng)力狀態(tài)的幾何表示（a）塑性流動平面（物理平面），（b）α-β正交曲線坐標(biāo)系的應(yīng)力特點，（c）應(yīng)力莫爾圓abc第43頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)平面流動的塑性條件，τmax=k（對Tresca塑性條件k=σT/2；對Mises塑性條件由圖8-1(C)的幾何關(guān)系可知，有

式中靜水壓力Ф——定義為最大切應(yīng)力τmax(=k)方向與坐標(biāo)軸Ox的夾角第44頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月第45頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月圖8-2x-y坐標(biāo)系與α-β滑移經(jīng)網(wǎng)絡(luò)α線β線微分方程：滑移線場定義第46頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月§8.3漢蓋（Hencky）應(yīng)力方程由平面應(yīng)變問題的微分平衡方程

得第47頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月第一式乘以cosФ，第二式乘以sinФ，然后兩相加，經(jīng)整理變換后得沿α線的微分方程

或類似變換可得沿β線的微分方程

或第48頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月沿某一α線積分，得到

常數(shù)或得關(guān)系式同理常數(shù)或得關(guān)系式第49頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月漢蓋應(yīng)力方程對對α線取“+”號，對β線取“-”號第50頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月§8.4滑移線的幾何性質(zhì)一、漢蓋第一定理

同族的兩條滑移線（如α1和α2線）與另一族任意一條滑移線（如β1或β2

）相交兩點的傾角差和靜水壓力變化量均保持不變。圖8-3證明Hencky第一定理的兩對滑移線第51頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：沿α1線從點A→點B沿β2線從點B→點C于是，得沿路徑A→B→C和靜水壓力差

同理由上兩式可得同理第52頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月第53頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月二、漢蓋第二定理

一動點沿某族任意一條滑移線移動時，過該動點起、始位置的另一族兩條滑移線的曲率變化量（如dRβ）等于該點所移動的路程（如dSα）。1第54頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：設(shè)α、β線上任一點的曲率半徑分別為Rα、Rβ，由曲率半徑的定義知：和ΔSβ沿弧S

α的變化率為：

根據(jù)漢蓋第一定理有，

當(dāng)曲線四邊形單元趨近無限小時

比較上兩式，可得

同理第55頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月滑移線為最大切應(yīng)力等于材料屈服切應(yīng)力為k的跡線，與主應(yīng)力跡線相交成π/4角；滑移線場由兩族彼此正交的滑移線構(gòu)成，布滿整個塑性變形區(qū)；滑移線上任意一點的傾角Ф值與坐標(biāo)的選擇相關(guān)，而靜水壓力p的大小與坐標(biāo)選擇無關(guān)；沿一滑移線上的相鄰兩點間靜水壓力差（Δpab）與相應(yīng)的傾角差（ΔФab）成正比；同族的兩條滑稱線（如α1和α2線）與另族任意一條滑稱線（如β1或β2線）相交兩點的傾角差ΔФ，和靜水壓力變化量Δp均保持不變；一點沿某族任意一條滑移線移動時，過該動點起、始位置的另一族兩條滑移線的曲率變化量（如dRβ）等于該點所移動的路程（如dSα）；同族滑移線必然有個相同的曲率方向?；凭€的基本性質(zhì)：第56頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月§8.5應(yīng)力邊界條件和滑移線場的繪制一、應(yīng)力邊界條件

（8.11）第57頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月第58頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月第59頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月第60頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月二、滑移線場繪制的數(shù)值計算方法滑移線數(shù)值計算方法的實質(zhì)是：利用差分方程近似代替滑移線的微分方程，計算出各結(jié)點的坐標(biāo)位置，建立滑移線場，然后利用漢蓋應(yīng)力方程計算各結(jié)點的平均應(yīng)力p和角。根據(jù)滑移線場塊的鄰接情況，滑移線場的邊值有三類。第61頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月1）特征線問題這是給定兩條相交的滑移線為初始線，求作整個滑移線網(wǎng)的邊值問題，即所謂黎曼（Riemann）問題。

第62頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月對于任意網(wǎng)點（m,n）的坐標(biāo)（x,y），可將滑移線的微分方程，寫成差分形式

α線β線則有式中則得據(jù)此，可依次逐漸求得場內(nèi)全部結(jié)點的坐標(biāo)，依編碼連線，從而繪制出等傾角差為ΔФ的滑移線網(wǎng)。第63頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月2）特征值問題這是已知一條不為滑移線的邊界AB上任一點的應(yīng)力分量（σx、σy、τxy）的初始值，求作滑移線場的問題，即所謂柯西（Cauchy）問題。第64頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖8-8所示，將邊界線AB分成若干等分，等分點的編碼為（1，1）、（2，2）、……（m,m）。由莫爾圓的關(guān)系式，計算出該邊界上等分點的參數(shù)p(m,m)和Φ(m,n)。利用漢蓋第一定理，計算結(jié)點(m,m+1)的p(m,m+1)和Φ(m,n)。第65頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月3）混合問題這是給定一條α線OA，和與之相交的另一條不是滑移線的某曲線OB（可能是接觸邊界線或變形區(qū)中的對稱軸線）上傾角值Ф1（見圖8-9）。如對稱軸線上，其Ф1等于π/4。

第66頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月第67頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月例題：張角為的雙心扇形場的結(jié)點計算。第68頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月§8.6三角形均勻場與簡單扇形場組合問題及實例金屬塑性加工中，許多平面應(yīng)變問題的滑移線場是由三角均勻場和簡單扇形場組合而成的，稱為簡單滑移線場問題，如平?jīng)_頭壓入半無限體、平?jīng)_頭壓入、某些特定擠壓比下的擠壓、剪切乃至切削加工。第69頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月第70頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月第71頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月第72頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)本章主要介紹了計算塑性加工變形力的一種解法——滑移線法的概念及其要點。舉例解析了三角形均勻場與簡單扇形場和雙心扇形場問題。這里重點要掌握的是滑移線法的概念及要點，了解滑移線法分析變形的方法。第73頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月第9章功平衡法和上限法及其應(yīng)用

§9.1功平衡法§9.2極值原理及上限法§9.3速度間斷面及其速度特性§9.4Johnson上限模式及應(yīng)用§9.5Aviztur上限模式及應(yīng)用第74頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月采用近似解法求解金屬塑性加工變形力學(xué)問題，據(jù)原理有兩類：一類是根據(jù)力平衡條件求近似解，如工程法；另一類是根據(jù)能量原理求近似解，如功平衡法和上限法等。功平衡法是利用塑性變形過程的功平衡原理來求解變形力的近似解；極值原理是根據(jù)虛功原理和最大塑性功耗原理，確定物體總位能接近于最低狀態(tài)下，即物體處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)下變形力的近似解。第75頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.1

功平衡法

功平衡法是利用塑性變形過程中的功平衡原理來計算變形力的一種近似方法，又稱變形功法。

功平衡原理是指：塑性變形過程外力沿其位移方向上所作的外部功（WP）等于物體塑性變形所消耗的應(yīng)變功（Wd）和接觸摩擦功（Wf）之和，即：對于變形過程的某一瞬時，上式可寫成功增量形式：WP=Wd+WfdWP=dWd+dWf第76頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月

dWP為外力所作功的增量

dWd為塑性變形功增量

dWf為接觸摩擦所消耗功的增量單元體積的塑性變形功增量為

若接觸面S上摩擦切應(yīng)力及其方向的位移增量為duf，則外力P沿其作用方向產(chǎn)生的位移增量為duP，則第77頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月于是由功平衡方程，得到了總的變形力P為由于塑性變形總是不均勻的，計算是比較困難的，通常可按均勻變形假設(shè)確定，故變形功法又稱為均勻變形功法。第78頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2極值原理及上限法

極值原理包括上限定理和下限定理，都是根據(jù)虛功原理和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析問題的出發(fā)點不同。

上限定理是按運動學(xué)許可速度場（主要滿足速度邊界條件和體積不變條件）來確定變形載荷的近似解，這一變形載荷它總是大于（理想情況下才等于）真實載荷，即高估的近似值，故稱上限解；

下限定理僅按靜力學(xué)許可應(yīng)力場（主要滿足力的邊界條件和靜力平衡條件）來確定變形載荷的近似解，它總是小于（理想情況下才等于）真實載荷，即低估的近似解，故稱下限解。第79頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月第80頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月

虛功原理：穩(wěn)定平穩(wěn)狀態(tài)的變形體中，當(dāng)給予變形體一幾何約束所許可的微小位移（因為該位移只是幾何約束所許可，實際上并未發(fā)生，故稱虛位移）時，則外力在此虛位移上所作的功（稱虛功），必然等于變形體內(nèi)的應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛應(yīng)變功，其表達(dá)式為：

第81頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月

最大塑性功消耗原理：在一切許可的塑性應(yīng)變增量（應(yīng)變速度）或許可的應(yīng)力狀態(tài)中，以符合增量理論關(guān)系的應(yīng)力狀態(tài)或塑性應(yīng)變增量（應(yīng)變速度）所耗塑性應(yīng)變功耗（或功率消耗）最大。第82頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月

上限定理是根據(jù)運動學(xué)許可速度場來分析變形載荷的，設(shè)所擬運動學(xué)許可速度場為，由幾何關(guān)系確定的應(yīng)變速度場，再由該應(yīng)變速度場按幾何方程與增量理論確定的應(yīng)力場為。而變形體中實際的應(yīng)力場為，于是根據(jù)虛功原理和塑性功耗原理可以導(dǎo)出在一般情況下塑性加工中常用的上限定理的功率表達(dá)形式為：式中，為真實載荷。第83頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月

用上限法計算塑性加工過程的極限載荷的關(guān)鍵在于擬設(shè)塑性變形區(qū)內(nèi)的虛擬運動學(xué)許可速度場，這種速度場應(yīng)滿足以下三個條件：（1）速度邊界條件；（2）體積不變條件；(3)保持變形區(qū)內(nèi)物質(zhì)的連續(xù)性。而與此速度場對應(yīng)的應(yīng)力場則不一定要求滿足力平衡條件和力的邊界條件。第84頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月上限法中虛擬的運動學(xué)許可速度場模式有三種：（1）Johnson模式，通常稱為簡化滑移線場的剛性三角形上限模式，主要適用于平面應(yīng)變問題。（2）Avitzur模式，通常稱為連續(xù)速度場的上限模式，它既可適用平面應(yīng)變問題、軸對稱問題，也可用于某些三維問題，用途比較廣泛。（3）上限單元技術(shù)（UBET）,目前比較實用的是圓柱坐標(biāo)系的圓環(huán)單元技術(shù)。它可用于解軸對稱問題，以及某些非對稱軸的三維問題。第85頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.3速度間斷面及其速度特性速度間斷面

第86頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月速端圖及速度間斷量的計算

速端圖是以代表剛性區(qū)內(nèi)一不動點O為所有速度矢量的起始點（也稱為基點或極點），所作變形區(qū)內(nèi)各質(zhì)