差分方程建模專題講座

差分方程建模專題講座第1頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月差分方程的基本概念1全國賽題選講3差分方程建模專題講座用Matlab求解差分方程問題2第2頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于k階差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(1.1)若有xn=x(n),滿足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,則稱xn=x(n)是差分方程(1.1)的解,包含k個(gè)任意常數(shù)的解稱為(1.1)的通解,x0,x1,…,xk-1為已知時(shí)稱為(1.1)的初始條件,通解中的任意常數(shù)都由初始條件確定后的解稱為(1.1)的特解.差分方程的基本概念1第3頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

若x0,x1,…,xk－1已知，則形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn).

若有常數(shù)a是差分方程(1.1)的解，即F(n;a,a,…,a)=0,則稱a是差分方程(1.1)的平衡點(diǎn).

又對(duì)差分方程(4-6)的任意由初始條件確定的解xn=x(n)都有xn→a(n→∞),則稱這個(gè)平衡點(diǎn)a是穩(wěn)定的.差分方程模型第4頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

一階常系數(shù)線性差分方程

xn+1+axn=b,

(其中a,b為常數(shù)，且a≠-1,0)的通解為xn=C(-

a)n+b/(a+1)

易知b/(a+1)是其平衡點(diǎn)，由上式知，當(dāng)且僅當(dāng)|a|＜1時(shí)，b/(a+1)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn).差分方程模型第5頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

二階常系數(shù)線性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r為常數(shù).

當(dāng)r=0時(shí)，它有一特解x*=0；

當(dāng)r≠0，且a+b+1≠0時(shí)，它有一特解x*=r/(a+b+1).

不管是哪種情形，x*是其平衡點(diǎn).設(shè)其特征方程2+a+b=0的兩個(gè)根分別為

=1,=2.差分方程模型第6頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月①當(dāng)1,2是兩個(gè)不同實(shí)根時(shí)，二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;②當(dāng)1,2=是兩個(gè)相同實(shí)根時(shí)，二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn=x*+(C1+C2n)n;

則差分方程模型第7頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月③當(dāng)1,2=(cos+isin)是一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn=x*+

n(C1cosn+C2sinn

).

易知，當(dāng)且僅當(dāng)特征方程的任一特征根|i|＜1時(shí),平衡點(diǎn)x*是穩(wěn)定的.差分方程模型第8頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于一階非線性差分方程xn+1=f(xn)其平衡點(diǎn)x*由代數(shù)方程x=f(x)解出.

為分析平衡點(diǎn)x*的穩(wěn)定性,將上述差分方程近似為一階常系數(shù)線性差分方程時(shí),上述近似線性差分方程與原非線性差分方程的穩(wěn)定性相同.因此當(dāng)時(shí),

x*是穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí),x*是不穩(wěn)定的.當(dāng)差分方程模型第9頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月問題供大于求現(xiàn)象商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定價(jià)格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量價(jià)格上漲供不應(yīng)求描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律數(shù)量與價(jià)格在振蕩市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型第10頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月gx0y0P0fxy0xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格消費(fèi)者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系供應(yīng)函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點(diǎn)P0(x0,y0)~平衡點(diǎn)一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

第11頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)x1偏離x0P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)蛛網(wǎng)模型穩(wěn)定性分析第12頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月xy0fgy0x0P0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P1P2P3P4xy0y0x0P0fg曲線斜率穩(wěn)定性分析第13頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致穩(wěn)定性分析第14頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月~商品數(shù)量減少1單位,價(jià)格上漲幅度~價(jià)格上漲1單位,(下時(shí)段)供應(yīng)的增量~消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度~生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋第15頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月1.使盡量小，如=0

以行政手段控制價(jià)格不變2.使盡量小，如=0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0x0gf需求曲線變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直結(jié)果解釋－政府干預(yù)第16頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程模型的推廣第17頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即方程的根平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件:平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件比原來的條件放寬了x0為平衡點(diǎn)研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k,xkx0的條件模型的推廣第18頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月用Matlab求解差分方程問題2一、一階線性常系數(shù)差分方程二、高階線性常系數(shù)差分方程三、線性常系數(shù)差分方程組第19頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月一、一階線性常系數(shù)差分方程瀕危物種的自然演變和人工孵化問題Florida沙丘鶴屬于瀕危物種，它在較好自然環(huán)境下，年均增長率僅為1.94%，而在中等和較差環(huán)境下年均增長率分別為-3.24%和

-3.82%，如果在某自然保護(hù)區(qū)內(nèi)開始有100只鶴，建立描述其數(shù)量變化規(guī)律的模型，并作數(shù)值計(jì)算。第20頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月模型建立記第k年沙丘鶴的數(shù)量為xk,年均增長率為r，則第k+1年鶴的數(shù)量為

xk+1=(1+r)xk

k=0,1,2······已知x0=100,在較好，中等和較差的自然環(huán)境下r=0.0194,-0.0324,和-0.0382我們利用Matlab編程，遞推20年后觀察沙丘鶴的數(shù)量變化情況第21頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月Matlab實(shí)現(xiàn)首先建立一個(gè)關(guān)于變量n,r的函數(shù)functionx=sqh(n,r)a=1+r;x=100;fork=1:nx(k+1)=a*x(k);end第22頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月在command窗口里調(diào)用sqh函數(shù)

k=(0:20);y1=sqh(20,0.0194);y2=sqh(20,-0.0324);y3=sqh(20,-0.0382);round([k',y1',y2',y3'])%一個(gè)行向量%也是一個(gè)行向量%對(duì)變量四舍五入，但是不改變變量的值第23頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月利用plot繪圖觀察數(shù)量變化趨勢(shì)可以用不同線型和顏色繪圖rgbcmykw分別表示紅綠蘭蘭綠洋紅黃黑白色：+o*.Xsd表示不同的線型第24頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

plot(k,y1,k,y2,k,y3)在同一坐標(biāo)系下畫圖

plot(k,y1,'r',k,y2,'y',k,y3,'--')gtext('r=0.0194')gtext('r=-0.0324')gtext('r=-0.0382')在圖上做標(biāo)記。第25頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月人工孵化是挽救瀕危物種的措施之一，如果每年孵化5只鶴放入保護(hù)區(qū)，觀察在中等自然條件下沙丘鶴的數(shù)量如何變化Xk+1=aXk+5,a=1+r如果我們想考察每年孵化多少只比較合適，可以令Xk+1=aXk+b,a=1+r第26頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察200年的發(fā)展趨勢(shì)，以及在較差條件下的發(fā)展趨勢(shì)可以考察每年孵化數(shù)量變化的影響。第27頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月functionx=fhsqh(n,r,b)a=1+r;x=100;Fork=1:nx(k+1)=a*x(k)+b;end第28頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月k=(0:200);n=200;r=-0.0324b=5y=fhsqh(n,r,b)plot(k,y)第29頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月一階線性常系數(shù)差分方程的解、平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

自然環(huán)境下,b=0人工孵化條件下令xk=xk+1=x得差分方程的平衡點(diǎn)k→∞時(shí)，xk→x,稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的第30頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月高階線性常系數(shù)差分方程

如果第k+1時(shí)段變量xk+1不僅取決于第k時(shí)段變量xk，而且與以前時(shí)段變量有關(guān)，就要用高階差分方程來描述第31頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月一年生植物的繁殖一年生植物春季發(fā)芽，夏天開花，秋季產(chǎn)種，沒有腐爛，風(fēng)干，被人為掠取的那些種子可以活過冬天，其中一部分能在第2年春季發(fā)芽，然后開花，產(chǎn)種，其中的另一部分雖未能發(fā)芽，但如又能活過一個(gè)冬天，則其中一部分可在第三年春季發(fā)芽，然后開花，產(chǎn)種，如此繼續(xù)，一年生植物只能活1年，而近似的認(rèn)為，種子最多可以活過兩個(gè)冬天，試建立數(shù)學(xué)模型研究這種植物數(shù)量變化的規(guī)律，及它能一直繁殖下去的條件。第32頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月模型及其求解記一棵植物春季產(chǎn)種的平均數(shù)為c,種子能活過一個(gè)冬天的(1歲種子)比例為b,活過一個(gè)冬天沒有發(fā)芽又活過一個(gè)冬天的（2歲種子）比例仍為b,1歲種子發(fā)芽率a1，2歲種子發(fā)芽率a2。設(shè)c,a1,a2固定，b是變量，考察能一直繁殖的條件記第k年植物數(shù)量為xk，顯然xk與xk-1,xk-2有關(guān)，由

xk-1決定的部分是xk-1Cba1,由xk-2決定的部分是xk-2cb(1-a1)ba2

xk=a1bcxk-1+a2b(1-a1)bcxk-2

第33頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)際上，就是xk=pxk-1+qxk-2

,我們需要知道x0,a1,a2,c,考察b不同時(shí)，種子繁殖的情況。在這里假設(shè)x0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18---0.2這樣可以用matlab計(jì)算了xk=a1bcxk-1+a2b(1-a1)bcxk-2

第34頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月functionx=zwfz(x0,n,b)c=10;a1=0.5;a2=0.25;p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c;X(1)=x0;X(2)=p*(x1);fork=3:nx(k)=p*x(k-1)+q*x(k-2);endxk=a1bcxk-1+a2b(1-a1)bcxk-2

第35頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月k=(0:20)’;y1=zwfz(100,21,0.18);y2=zwfz(100,21,0.19);y3=zwfz(100,21,0,20);pound([k,y1’,y2’,y3’])plot(k,y1,k,y2,’:’,k,y3,’o’),gtext(‘b=0.18’),gtext(‘b=0.19’),gtext(‘b=0.20’)第36頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)果分析：xk=pxk-1+qxk-2

(1)

x1=px0(2)

對(duì)高階差分方程可以尋求形如xk=λk

的解。代入(1)式得λ2-pλ-q=0

稱為差分方程的特征方程。差分方程的特征根：方程(1)的解可以表為c1,c2

由初始條件x0,x1確定。第37頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月本例中，用待定系數(shù)的方法可以求出b=0.18時(shí),c1=95.64,c2=4.36，這樣實(shí)際上，植物能一直繁殖下去的條件是b>0.191第38頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月線性常系數(shù)差分方程組汽車租賃公司的運(yùn)營一家汽車租賃公司在3個(gè)相鄰的城市運(yùn)營，為方便顧客起見公司承諾，在一個(gè)城市租賃的汽車可以在任意一個(gè)城市歸還。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)和市場調(diào)查，一個(gè)租賃期內(nèi)在A市租賃的汽車在A,B,C市歸還的比例分別為0.6,0.3,0.1;在B市租賃的汽車歸還比例0.2,0.7,0.1;C市租賃的歸還比例分別為0.1,0.3,0.6。若公司開業(yè)時(shí)將600輛汽車平均分配到3個(gè)城市，建立運(yùn)營過程中汽車數(shù)量在3個(gè)城市間轉(zhuǎn)移的模型，并討論時(shí)間充分長以后的變化趨勢(shì)。第39頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月0.60.3ABCABCABC假設(shè)在每個(gè)租賃期開始能把汽車都租出去，并都在租賃期末歸還0.10.70.20.10.60.30.1第40頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月模型及其求解記第k個(gè)租賃期末公司在ABC市的汽車數(shù)量分別為x1(k),x2(k),x3(k)(也是第k+1個(gè)租賃期開始各個(gè)城市租出去的汽車數(shù)量），很容易寫出第k+1個(gè)租賃期末公司在ABC市的汽車數(shù)量為(k=0,1,2,3···)第41頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月用矩陣表示用matlab編程，計(jì)算x(k),觀察n年以后的3個(gè)城市的汽車數(shù)量變化情況第42頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月functionx=czqc(n)A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6];x(:,1)=[200,200,200]';fork=1:nx(:,k+1)=A*x(:,k);end如果直接看10年或者20年發(fā)展趨勢(shì)，可以直接在命令窗口（commondwindow）作，而不是必須編一個(gè)函數(shù)第43頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6];n=10;fork=1:nx(:,1)=[200,200,200]';x(:,k+1)=A*x(:,k);endround(x)第44頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月作圖觀察數(shù)量變化趨勢(shì)

k=0:10;plot(k,x)，gridgtext('x1(k)'),gtext('x2(k)'),gtext('x3(k)')第45頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月可以看到時(shí)間充分長以后3個(gè)城市汽車數(shù)量趨于180，300，120可以考察這個(gè)結(jié)果與初始條件是否有關(guān)若最開始600輛汽車都在A市，可以看到變化時(shí)間充分長以后，各城市汽車數(shù)量趨于穩(wěn)定，與初始值無關(guān)第46頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月直接輸入x（:,1）的值即可x(:,1)=[600,0,0];round(x');plot(k,x)grid第47頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月商品銷售量預(yù)測(cè)

在利用差分方程建模研究實(shí)際問題時(shí)，常常需要根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)并用最小二乘法來擬合出差分方程的系數(shù).其系統(tǒng)穩(wěn)定性討論要用到代數(shù)方程的求根.對(duì)問題的進(jìn)一步研究又常需考慮到隨機(jī)因素的影響，從而用到相應(yīng)的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí).第48頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

某商品前5年的銷售量見表.現(xiàn)希望根據(jù)前5年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)第6年起該商品在各季度中的銷售量.第49頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

從表中可以看出，該商品在前5年相同季節(jié)里的銷售量呈