第6章-最優(yōu)控制課件

《最優(yōu)控制》

線性二次型最優(yōu)控制

西華大學(xué)電氣信息學(xué)院《最優(yōu)控制》

線性二次型最優(yōu)控制

西華大學(xué)電氣信息學(xué)院什么是最優(yōu)控制？尋找容許控制作用（規(guī)律），使動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（受控對(duì)象）從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到某種要求的終端狀態(tài)，且保證所規(guī)定的性能指標(biāo)（目標(biāo)函數(shù)）取最大（最?。┲怠?/p>

什么是最優(yōu)控制？尋找容許控制作用（規(guī)律），使動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（受控對(duì)

現(xiàn)代控制理論是研究系統(tǒng)狀態(tài)的控制和觀測(cè)的理論，主要包括5個(gè)方面：線性系統(tǒng)理論：研究線性系統(tǒng)的性質(zhì)，能觀性、能控性、穩(wěn)定性等。系統(tǒng)辨識(shí)：根據(jù)輸入、輸出觀測(cè)確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。最優(yōu)控制：尋找最優(yōu)控制向量u(t)最佳濾波（卡爾曼濾波）：存在噪聲情況下，如何根據(jù)輸入、輸出估計(jì)狀態(tài)變量。適應(yīng)控制：參數(shù)擾動(dòng)情況下，控制器的設(shè)計(jì)1.最優(yōu)控制理論的發(fā)展現(xiàn)代控制理論是研究系統(tǒng)狀態(tài)的控制和觀測(cè)的理論，主先期工作：1948年，維納(N.Wiener)發(fā)表《控制論》，引進(jìn)了信息、反饋和控制等重要概念，奠定了控制論(Cybernetics)的基礎(chǔ)。并提出了相對(duì)于某一性能指標(biāo)進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)的概念。

1954年，錢學(xué)森編著《工程控制論》，作者系統(tǒng)地揭示了控制論對(duì)自動(dòng)化、航空、航天、電子通信等科學(xué)技術(shù)的意義和重大影響。

其中“最優(yōu)開關(guān)曲線”等素材，直接促進(jìn)了最優(yōu)控制理論的形成和發(fā)展。

最優(yōu)控制的發(fā)展簡(jiǎn)史：先期工作：最優(yōu)控制的發(fā)展簡(jiǎn)史：1953~1957年，貝爾曼(R.E.Bellman)創(chuàng)立“動(dòng)態(tài)規(guī)劃”原理。

為了解決多階段決策過(guò)程逐步創(chuàng)立的，依據(jù)最優(yōu)化原理，用一組基本的遞推關(guān)系式使過(guò)程連續(xù)地最優(yōu)轉(zhuǎn)移。“動(dòng)態(tài)規(guī)劃”對(duì)于研究最優(yōu)控制理論的重要性，表現(xiàn)于可得出離散時(shí)間系統(tǒng)的理論結(jié)果和迭代算法。

1956~1958年，龐特里亞金創(chuàng)立“最大值原理”。

它是最優(yōu)控制理論的主要組成部分和該理論發(fā)展史上的一個(gè)里程碑。對(duì)于“最大值原理”，由于放寬了有關(guān)條件的使得許多古典變分法和動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法無(wú)法解決的工程技術(shù)問(wèn)題得到解決，所以它是解決最優(yōu)控制問(wèn)題的一種最普遍的有效的方法。同時(shí)，龐特里亞金在《最優(yōu)過(guò)程的數(shù)學(xué)理論》著作中已經(jīng)把最優(yōu)控制理論初步形成了一個(gè)完整的體系。此外，構(gòu)成最優(yōu)控制理論及現(xiàn)代最優(yōu)化技術(shù)理論基礎(chǔ)的代表性工作，還有不等式約束條件下的非線性最優(yōu)必要條件(庫(kù)恩—圖克定理)以及卡爾曼的關(guān)于隨機(jī)控制系統(tǒng)最優(yōu)濾波器等。理論形成階段：1953~1957年，貝爾曼(R.E.Bellman)創(chuàng)立經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)控制方法

幅值裕量、相位裕量（頻率指標(biāo)）

上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量（時(shí)域指標(biāo)）特點(diǎn)：系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)是確定的，控制參數(shù)設(shè)計(jì)一般采用試湊方法，不是最優(yōu)結(jié)果。經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)控制方法幅值裕量、相位裕量

最優(yōu)化(optimization)技術(shù)是研究和解決最優(yōu)化問(wèn)題的一門學(xué)科,它研究和解決如何從一切可能的方案中尋找最優(yōu)的方案。也就是說(shuō)，最優(yōu)化技術(shù)是研究和解決如下兩個(gè)問(wèn)題：（1）如何將最優(yōu)化問(wèn)題表示為數(shù)學(xué)模型（2）如何根據(jù)數(shù)學(xué)模型（盡快）求出其最優(yōu)解

最優(yōu)控制(optimalcontrol)是控制理論中的優(yōu)化技術(shù)。尋找在某種性能指標(biāo)要求下最好的控制。最優(yōu)化(optimization)技術(shù)是研究和解決最現(xiàn)有產(chǎn)品A、B,每種產(chǎn)品各有兩道工序，分別由兩臺(tái)機(jī)器完成，其所需工時(shí)如下表所示，且每臺(tái)機(jī)器每周最多只能工作40小時(shí)。若產(chǎn)品A的單價(jià)為200元，產(chǎn)品B的單價(jià)為500元，應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，即A、B各應(yīng)生產(chǎn)多少可使總產(chǎn)值最高。解：設(shè)該車間每周應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品A、B的件數(shù)分別為X1、X2,由于每臺(tái)機(jī)器工作時(shí)間有限制，則有約束條件：在這些約束條件下選擇X1、X2,使總產(chǎn)值達(dá)到最大。第一道工序第一道工序產(chǎn)品A1.5h2h產(chǎn)品B5h4h

例0-1生產(chǎn)計(jì)劃安排問(wèn)題現(xiàn)有產(chǎn)品A、B,每種產(chǎn)品各有兩道工序，分別由兩臺(tái)機(jī)器

設(shè)有一盛放液體的連續(xù)攪拌槽。如下圖所示。槽內(nèi)裝有不停地轉(zhuǎn)動(dòng)著的攪拌器J，使液體經(jīng)常處于完全混合狀態(tài)。槽中原放0℃的液體，現(xiàn)需將其溫度經(jīng)1小時(shí)后升高到40℃。為此在入口處送進(jìn)一定量的液體，其溫度為u(t)，出口處流出等量的液體，以便保持槽內(nèi)液面恒定。試尋找u(t)的變化規(guī)律，使槽中液體溫度經(jīng)1小時(shí)后上升到40℃，并要求散失的熱量最小。解：因假定槽中液體處于完全混合狀態(tài)，故可用x(t)表示其溫度。由熱力學(xué)可知，槽中液體溫度的變化率與溫差[u(t)一x(t)]成正比，為簡(jiǎn)便計(jì)，令比例系數(shù)為1，于是有

在1小時(shí)內(nèi)散失掉的熱量可用下式表示：其中g(shù)和r都是正的常數(shù)。因此在目前情況下，最

優(yōu)控制問(wèn)題是：找u(t)的變化規(guī)律．使槽中液體

經(jīng)I小時(shí)后從0℃上升到40℃，并要求散失的熱

量最小，即方程(4）中J(u)取最小值。

例0-2攪拌槽的溫度控制設(shè)有一盛放液體的連續(xù)攪拌槽。如下圖所示。槽內(nèi)裝有不停

靜態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題。最優(yōu)化問(wèn)題的解不隨時(shí)間t的變化而變化，則稱為靜態(tài)最優(yōu)化(參數(shù)最優(yōu)化)問(wèn)題。

解決方法：線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃法。

動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題。如果最優(yōu)化問(wèn)題的解隨時(shí)間t的變化而變化，

即變量是時(shí)間t的函數(shù)，則稱為動(dòng)態(tài)最優(yōu)化(最優(yōu)控制)問(wèn)題。

解決方法：動(dòng)態(tài)規(guī)劃和最大值原理。

其它分類：無(wú)約束與有約束

確定性和隨機(jī)性

線性和非線性

2.最優(yōu)化問(wèn)題的分類靜態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題。最優(yōu)化問(wèn)題的解不隨時(shí)間t的變化而變化，則稱3.最優(yōu)化問(wèn)題的解法1)間接法(又稱解析法)對(duì)于目標(biāo)函數(shù)及約束條件具有簡(jiǎn)單而明確的數(shù)學(xué)解析表達(dá)式的最優(yōu)化問(wèn)題，通?？刹捎瞄g接法(解析法)來(lái)解決。其求解方法是先按照函數(shù)極值的必要條件，用數(shù)學(xué)分析方法(求導(dǎo)數(shù)方法或變分方法)求出其解析解，然后按照充分條件或問(wèn)題的實(shí)際物理意義間接地確定最優(yōu)解。間接法(解析法)

無(wú)約束法有約束法經(jīng)典微分法極大值法經(jīng)典變分法庫(kù)恩-圖克法3.最優(yōu)化問(wèn)題的解法1)間接法(又稱解析法)間接法無(wú)約2)直接法(數(shù)值解法)對(duì)于目標(biāo)函數(shù)較為復(fù)雜或無(wú)明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式或無(wú)法用解析法求解的最優(yōu)化問(wèn)題，通常可采用直接法(數(shù)值解法)來(lái)解決。直接法的基本思想，就是用直接搜索方法經(jīng)過(guò)—系列的迭代以產(chǎn)生點(diǎn)的序列(簡(jiǎn)稱點(diǎn)列)，使之逐步接近到最優(yōu)點(diǎn)。直接法常常是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或試驗(yàn)而得到的。直接法(數(shù)值解法)

區(qū)間消去法(一維搜索)

爬山法(多維搜索)

菲波納奇（Fibonacci）法黃金分割(0.618)法函數(shù)逼近法（插值法）變量加速法步長(zhǎng)加速法方向加速法單純形及隨機(jī)搜索法2)直接法(數(shù)值解法)直接法區(qū)間消去法爬山法菲波3)以解析法為基礎(chǔ)的數(shù)值解法。解析與數(shù)值計(jì)算相結(jié)合的方法。4)網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)化方法。以網(wǎng)絡(luò)圖作為數(shù)學(xué)模型，用圖論方法進(jìn)行投索的尋優(yōu)方法。3)以解析法為基礎(chǔ)的數(shù)值解法。解析與數(shù)值計(jì)算相結(jié)合的方4.最優(yōu)控制問(wèn)題最優(yōu)控制問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，就是求解給定條件下給定系統(tǒng)的控制規(guī)律，致使系統(tǒng)在規(guī)定的性能指標(biāo)(目標(biāo)函數(shù))下具有最優(yōu)值?？刂蒲b置受控對(duì)象要求狀態(tài)初始狀態(tài)控制作用性能最好限制條件4.最優(yōu)控制問(wèn)題最優(yōu)控制問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，就是求解給定條1.最優(yōu)控制問(wèn)題的性能指標(biāo)(1)積分型性能指標(biāo)(拉格朗日型)(2)末值型性能指標(biāo)（梅耶型）(3)綜合性能指標(biāo)（鮑爾扎型）1.最優(yōu)控制問(wèn)題的性能指標(biāo)(1)積分型性能指標(biāo)(2)末2.最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型用以下4個(gè)方程來(lái)描述(1)給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程(3)給定性能指標(biāo)(2)狀態(tài)方程的邊界條件(4)允許控制域u(t)

確定一個(gè)最優(yōu)控制u*(t)，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(t0)，轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)x(tf)，并使性能指標(biāo)J(u)具有極大（極?。┲?。2.最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型用以下4個(gè)方程來(lái)描述(1)給第5章線性二次型的最優(yōu)控制本章主要內(nèi)容：

6.1線性二次型問(wèn)題

6.2狀態(tài)調(diào)節(jié)器

6.3輸出調(diào)節(jié)器

6.4跟蹤器線性二次型問(wèn)題的特點(diǎn)（1）最優(yōu)解可寫成統(tǒng)一的解析表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)求解過(guò)程規(guī)范化（2）可以兼顧系統(tǒng)的性能指標(biāo)（快速性、準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性、靈敏度）第5章線性二次型的最優(yōu)控制本章主要內(nèi)容：線性二次型問(wèn)題的6.1線性二次型問(wèn)題線性二次性問(wèn)題的提法：設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

假設(shè)控制向量不受約束，用表示期望輸出，則誤差向量為正定二次型

半正定二次型實(shí)對(duì)稱陣A為正定（半正定）的充要條件是全部特征值>0（>=0)。加權(quán)矩陣總可化為對(duì)稱形式。求最優(yōu)控制，使下列二次型性能指標(biāo)最小。6.1線性二次型問(wèn)題線性二次性問(wèn)題的提法：假設(shè)控制向性能指標(biāo)的物理含義：加權(quán)矩陣的意義：（1）F,Q,R是衡量誤差分量和控制分量的加權(quán)矩陣，可根據(jù)各分量的重要性靈活選取。（2）采用時(shí)變矩陣Q(t),R(t)更能適應(yīng)各種特殊情況。例如：

Q(t)可開始取值小，而后取值大性能指標(biāo)的物理含義：加權(quán)矩陣的意義：線性二次型問(wèn)題的本質(zhì)：用不大的控制，來(lái)保持較小的誤差，以達(dá)到能量和誤差綜合最優(yōu)的目的。

線性二次型問(wèn)題的三種重要情形：

線性二次型問(wèn)題的本質(zhì)：線性二次型問(wèn)題的三種重要情形：6.2狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

假設(shè)控制向量不受約束，求最優(yōu)控制，使系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)取極小值。6.2.1有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題物理意義：以較小的控制能量為代價(jià)，使?fàn)顟B(tài)保持在零值附近。

6.2狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為解：1.應(yīng)用最小值原理求解u(t)關(guān)系式因控制不受約束，故沿最優(yōu)軌線有：（R(t)正定，保證其逆陣的存在。）規(guī)范方程組：寫成矩陣形式：其解為：下面思路：確定與的關(guān)系，帶入（5-6）形成狀態(tài)反饋解：1.應(yīng)用最小值原理求解u(t)關(guān)系式因控制不受約束，故沿橫截條件給出了終端時(shí)刻二者的關(guān)系：即為了與（5-10）建立聯(lián)系，將（5-9）寫成向終端轉(zhuǎn)移形式：（5-13）-（5-12）*F可得橫截條件給出了終端時(shí)刻二者的關(guān)系：即為了與（5-10）建立聯(lián)可實(shí)現(xiàn)最優(yōu)線性反饋控制下面思路：求解P(t),但直接利用（5-16）求解，涉及矩陣求逆，運(yùn)算量大R-1(t)BT(t)B(t)A(t)1/sP(t)x(t)x(t0)u(t)可實(shí)現(xiàn)最優(yōu)線性反饋控制下面思路：R-1(t)BT(t)B(t（5-17）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)2.應(yīng)用其性質(zhì)求解p(t)（5-20）與（5-19）相等，可得黎卡提方程（Riccati)邊界條件：

（5-17）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)2.應(yīng)用其性質(zhì)求解p(t)（5-20）還可進(jìn)一步證明，最優(yōu)性能指標(biāo)為：黎卡提方程求解問(wèn)題：（1）可以證明，P(t)為對(duì)稱矩陣，只需求解n(n+1)/2個(gè)一階微分方程組。（2）為非線性微分方程，大多數(shù)情況下只能通過(guò)計(jì)算機(jī)求出數(shù)值解。還可進(jìn)一步證明，最優(yōu)性能指標(biāo)為：黎卡提方程求解問(wèn)題：（1）根據(jù)系統(tǒng)要求和工程實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，選取加權(quán)矩陣F,Q,R3.狀態(tài)調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)步驟（2）求解黎卡提微分方程，求得矩陣P(t)（3）求反饋增益矩陣K(t)及最優(yōu)控制u*(t)（4）求解最優(yōu)軌線x*(t)（5）計(jì)算性能指標(biāo)最優(yōu)值（1）根據(jù)系統(tǒng)要求和工程實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，選取加權(quán)矩陣F,Q,R3.在MATLAB中，命令可解連續(xù)時(shí)間的線性二次型調(diào)節(jié)器問(wèn)題，并可解與其有關(guān)的黎卡提方程。該命令可計(jì)算最優(yōu)反饋增益矩陣K，并且產(chǎn)生使性能指標(biāo)。在約束方程條件下達(dá)到極小的反饋控制律在MATLAB中，命令可解連續(xù)時(shí)間的線性二次型調(diào)節(jié)器問(wèn)題，并另一個(gè)命令

也可計(jì)算相關(guān)的矩陣?yán)杩ㄌ岱匠痰奈ㄒ徽ń釶。如果為穩(wěn)定矩陣，則總存在這樣的正定矩陣。利用這個(gè)命令能求閉環(huán)極點(diǎn)或的特征值。

對(duì)于某些系統(tǒng)，無(wú)論選擇什么樣的K，都不能使為穩(wěn)定矩陣。在此情況下。這個(gè)矩陣?yán)杩ㄌ岱匠滩淮嬖谡ň仃?。?duì)此情況，命令不能求解，詳見MATLABPrgram6.1。另一個(gè)命令也可計(jì)算相關(guān)的矩陣?yán)杩ㄌ岱匠痰奈ㄒ徽ń釶。如例[5-1]已知一階系統(tǒng)的微分方程為求使性能指標(biāo)為極小值時(shí)的最優(yōu)控制。解：二次型性能指標(biāo)為：其中p(t)為黎卡提方程的解最優(yōu)軌為如下時(shí)變一階微分方程的解(可得出解析解）例[5-1]已知一階系統(tǒng)的微分方程為求使性能指標(biāo)為極小值時(shí)的利用matlab進(jìn)行最優(yōu)控制系統(tǒng)仿真利用matlab進(jìn)行第6章-最優(yōu)控制ppt課件第6章-最優(yōu)控制ppt課件設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

假設(shè)控制向量不受約束，求最優(yōu)控制，使系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)取極小值。6.2.1無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題說(shuō)明：1）要求系統(tǒng)完全能控。2）F=0,人們所關(guān)心的總是系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)的響應(yīng)設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為假設(shè)控制最優(yōu)軌線滿足下列線性定常齊次方程：性能指標(biāo)最優(yōu)值可以證明：

P為正定常數(shù)矩陣，滿足下列黎卡提矩陣代數(shù)方程?？梢宰C明：線性定常最優(yōu)調(diào)節(jié)器組成的閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)，是漸近穩(wěn)定的。最優(yōu)軌線滿足下列線性定常齊次方程：性能指標(biāo)最優(yōu)值可以例[5-1]研究如圖所示的系統(tǒng)。假設(shè)控制信號(hào)為試確定最優(yōu)反饋增益矩陣K，使得下列性能指標(biāo)達(dá)到極小式中

由圖可看出，被控對(duì)象的狀態(tài)方程為式中例[5-1]研究如圖所示的系統(tǒng)。假設(shè)控制信號(hào)為試確定最優(yōu)反饋以下說(shuō)明退化矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程如何應(yīng)用于最優(yōu)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。求解(6.26），將其重寫為注意到A為實(shí)矩陣，Q為實(shí)對(duì)稱矩陣，P為實(shí)對(duì)稱矩陣。因此，上式可寫為該方程可簡(jiǎn)化為以下說(shuō)明退化矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程如何應(yīng)用于最優(yōu)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)由上式可得到下面3個(gè)方程將這3個(gè)方程聯(lián)立，解出且要求P為正定的，可得參照式(6.25）,最優(yōu)反饋增益矩陣K為由上式可得到下面3個(gè)方程將這3個(gè)方程聯(lián)立，解出且要求P為正定因此，最優(yōu)控制信號(hào)為注意，由上式給出的控制律對(duì)任意初始狀態(tài)在給定的性能指標(biāo)下都能得出最優(yōu)結(jié)果。圖6.8是該系統(tǒng)的方塊圖。因此，最優(yōu)控制信號(hào)為注意，由上式給出的控制律對(duì)任意初始狀態(tài)在在MATLAB中，命令可解連續(xù)時(shí)間的線性二次型調(diào)節(jié)器問(wèn)題，并可解與其有關(guān)的黎卡提方程。該命令可計(jì)算最優(yōu)反饋增益矩陣K，并且產(chǎn)生使性能指標(biāo)。在約束方程條件下達(dá)到極小的反饋控制律在MATLAB中，命令可解連續(xù)時(shí)間的線性二次型調(diào)節(jié)器問(wèn)題，并另一個(gè)命令

也可計(jì)算相關(guān)的矩陣?yán)杩ㄌ岱匠痰奈ㄒ徽ń釶。如果為穩(wěn)定矩陣，則總存在這樣的正定矩陣。利用這個(gè)命令能求閉環(huán)極點(diǎn)或的特征值。

對(duì)于某些系統(tǒng)，無(wú)論選擇什么樣的K，都不能使為穩(wěn)定矩陣。在此情況下。這個(gè)矩陣?yán)杩ㄌ岱匠滩淮嬖谡ň仃?。?duì)此情況，命令不能求解，詳見MATLABPrgram6.1。另一個(gè)命令也可計(jì)算相關(guān)的矩陣?yán)杩ㄌ岱匠痰奈ㄒ徽ń釶。如MATLABProgram6.1%——Designofquadraticoptimalregulatorsystem——%*****DeterminationoffeedbackgainmatrixKforquadratic%optimalcontrol*****%*****EnterstatematrixAandcontrolmatrixB*****A=[-11;02]B=[1;0];%*****EntermatricesQandRofthequadraticperformanceQ=[10;01];R=[1];%*****Toobtainoptimalfeedbackgainmatrix,K,enterthefollowingcommand*****K=lqr(A,B,Q,R)Warning:Matrixissingulartoworkingprecision.K=NaNNaN%*****lfweenterthecommand[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R).then*****[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)Warning;Matrixissingulartoworkingprecision.K=NaNNaNP=-lnf-lnf-lnf-lnfE=-2.0000-1.4142MATLABProgram6.1%——Designof[例6.13]考慮系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中在確定最優(yōu)控制律時(shí)，假設(shè)輸入為零，即r=0。

確定狀態(tài)反饋增益矩陣K（t），使得性能指標(biāo)達(dá)到極小。這里假設(shè)控制信號(hào)u為[例6.13]考慮系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中在確定最優(yōu)控制為了得到快速響應(yīng)，與和R相比必須充分大。為了利用MATLAB求解，可使用命令在該例中，選取MATLABProgram6.4A=[010;001;0-2-3];B=[0;0;1]Q=[10000;010;001];R=[1];為了得到快速響應(yīng)，與和R相比必須充分大。為了利用MATLAB%--------Designofquadraticoptimalcontrolsystem——%*****ToobtaintheoptimalstatefeedbackgainmatrixK,%enterthefollowingcommand*****K=lqr(A,B,Q,R)k=100.000053.120011.6711k1=K(1),k2=K(2),k3=K(3)k1=100.0000k2=53.1200k3=11.6711%--------Designofquadratico采用確定的矩陣K來(lái)研究所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的響應(yīng)特性。所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

輸出方程為為求對(duì)單位階躍輸入的響應(yīng)，使用下列命令式中采用確定的矩陣K來(lái)研究所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的響應(yīng)特性。所

MATLABProgram6.5可求出該系統(tǒng)對(duì)單位階躍的響應(yīng)。圖6.10畫出了輸出y對(duì)時(shí)間t的響應(yīng)曲線，圖6.11在同一張圖上畫出了,和對(duì)t的響應(yīng)曲線。

MATLABProgram6.5A=[010;001;0-2-3];B=[0;0;1]K=[100.000053.120011.6711];K1=K(1);k2=K(2);k3=K(3);C=[100];D=[0];AA=A-B*K;BB=B*k1;CC=C;DD=D;MATLABProgram6.5可求出該系統(tǒng)對(duì)單位階躍t=0:0.01:8;[y,x,t]=step[AA,BB,CC,DD);%*****Toplottheunit-stepresponsecurvey(=xl)versust,%enterthefollowingcommand*****plot(t,y)gridtitle(‘Unit-StepResponseofQuadraticOptimalControlSystem’)ylabel(‘Outputy=xl’)%*****Toplotcurvesx1,x2,x3versustononediagram,enter%thefollowingcommand*****plot(t,x)gridtitle(‘ResponseCurvesx1,x2,x3,versust’)xlabel(‘tSec’)ylabel(‘x1,x2,x3’)text(2.6,1.35,’x1’)text(1.2,1.5,’x2’)text(0.6,3.5,’x3’)t=0:0.01:8;二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線對(duì)t的響應(yīng)曲線二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線對(duì)t的響應(yīng)曲線例[5-2]已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程為求使性能指標(biāo)為極小值時(shí)的最優(yōu)控制。解：化為標(biāo)準(zhǔn)矩陣形式二次型性能指標(biāo)為：驗(yàn)證系統(tǒng)能控性例[5-2]已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程為求使性能指標(biāo)為極小值時(shí)的展開整理得到三個(gè)代數(shù)方程

P滿足下列黎卡提矩陣代數(shù)方程：系統(tǒng)完全能控，且Q,R為正定對(duì)稱矩陣，故最優(yōu)控制存在且唯一解之利用矩陣P正定的性質(zhì)展開整理得到三個(gè)代數(shù)方程P滿足下列黎卡提矩陣代數(shù)方程：系與給定條件矛盾，故假設(shè)不成立下面用反證法證明不是所求的根最優(yōu)控制為：利用矩陣P正定的性質(zhì)與給定條件矛盾，故假設(shè)最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)為

a>2,實(shí)根，過(guò)阻尼a<2,復(fù)根，衰減震蕩1/s1/sa+1Gx1(t

)u*(t)x1(t)最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)閉環(huán)利用matlab計(jì)算和仿真A=[01;00]B=[0;1]a=2b=1Q=[1b;ba]R=1K=lqr(A,B,Q,R,0)利用matlab計(jì)算和仿真A=[01;第6章-最優(yōu)控制ppt課件6.3輸出調(diào)節(jié)器6.2.1有限時(shí)間輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

假設(shè)控制向量不受約束，求最優(yōu)控制，使下列二次型性能指標(biāo)最小。

物理意義：以較小的控制能量為代價(jià)，使輸出保持在零值附近。

根據(jù)系統(tǒng)能觀條件，輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題

6.3輸出調(diào)節(jié)器6.2.1有限時(shí)間輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題設(shè)將（5-29）代入（5-30）

若是半正定的，則轉(zhuǎn)化為狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題。最優(yōu)控制為：可以證明，如果系統(tǒng)完全可觀測(cè)，則是半正定的。將（5-29）代入（5-30）若有限時(shí)間最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。說(shuō)明：（1）仍然是狀態(tài)反饋，而不是輸出反饋，說(shuō)明構(gòu)成最優(yōu)控制系統(tǒng)需要全部信息。（2）從工程上講，x(t)是通過(guò)y(t)觀測(cè)出來(lái)的，所以控制的先決條件是，受控系統(tǒng)應(yīng)是可觀測(cè)的。R-1(t)BT(t)B(t)A(t)1/sP(t)x(t)x(0)u(t)C(t)y(t)有限時(shí)間最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。說(shuō)明：R-1(t)B(t)6.2.2無(wú)限時(shí)間輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

假設(shè)控制向量不受約束，求最優(yōu)控制，使下列二次型性能指標(biāo)最小。

與無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題類似，最優(yōu)控制為：

6.2.2無(wú)限時(shí)間輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)例[5-3]（學(xué)生自己看）已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程為求使性能指標(biāo)為極小值時(shí)的最優(yōu)控制。解：化為標(biāo)準(zhǔn)矩陣形式二次型性能指標(biāo)為：驗(yàn)證系統(tǒng)能控性驗(yàn)證系統(tǒng)能觀性例[5-3]（學(xué)生自己看）已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程為求使性能指展開整理得到三個(gè)代數(shù)方程

P滿足下列黎卡提矩陣代數(shù)方程：系統(tǒng)完全能控且完全能觀，故最優(yōu)控制為：解之利用矩陣P正定的性質(zhì)展開整理得到三個(gè)代數(shù)方程P滿足下列黎卡提矩陣代數(shù)方程：系閉環(huán)傳遞函數(shù)為：最優(yōu)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖：說(shuō)明：加權(quán)系數(shù)r的取值，只影響閉環(huán)系統(tǒng)的增益，阻尼系數(shù)不變1/s2r-1/2+2y(t

)u(t)r-1/4s閉環(huán)傳遞函數(shù)為：最優(yōu)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖：說(shuō)明：加權(quán)系數(shù)r的利用matlab計(jì)算和仿真A=[01;00]B=[0;1]C=[10]D=0sys=ss(A,B,C,D)Q=1R=1K=lqry(sys,Q,R,0)利用matlab計(jì)算和仿真A=[01;第6章-最優(yōu)控制ppt課件6.4跟蹤器（學(xué)生自己看）設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（系統(tǒng)完全可觀測(cè)）

假設(shè)控制向量不受約束，用表示期望輸出，則誤差向量為求最優(yōu)控制，使下列二次型性能指標(biāo)最小。物理意義：以較小的控制能量為代價(jià)，使誤差保持在零值附近。

6.4.1線性時(shí)變系統(tǒng)的跟蹤問(wèn)題6.4跟蹤器（學(xué)生自己看）設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（系解：1.應(yīng)用最小值原理求解u(t)關(guān)系式規(guī)范方程組：寫成矩陣形式：因控制不受約束，故沿最優(yōu)軌線有：為非齊次線性時(shí)變微分方程，其中右邊第二項(xiàng)起著驅(qū)動(dòng)函數(shù)的作用。解：1.應(yīng)用最小值原理求解u(t)關(guān)系式規(guī)范方程組：寫成矩陣橫截條件給出了終端時(shí)刻二者的關(guān)系：將（5-42）代入（5-41），并化簡(jiǎn)整理，可得：其解為：橫截條件給出了終端時(shí)刻二者的關(guān)系：將（5-42）代入（5-4（5-43）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)2.應(yīng)用系統(tǒng)特性求解p(t)，g(t)（5-45）與（5-46）相等，可得（